四中图形的旋转教学设计及反思.docx

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四中图形的旋转教学设计及反思

我们对几何综合题的想法

四中初三数学备课组

如何教会学生解几何综合题

1、从知识点叠加的角度透视几何综合题，明晰综合题的一种产生方法，从而得出认真分析题干，剥离干扰，直指问题实质的分析习惯。

2、面对题海要有一定的思考切入模式，对较批量出现的题目，要有一定的分类概括，总结一些较为普适的应对策略。

3、题是永远也做不完的，要立足于更高的视点抓住综合题的实质，进行概括、改编、创新，这就是说题，说思路想法的缘起，说题干项目的立意，说题目可以进行的变式推广，……。

图形旋转

（一）

北京四中王正

2011年11月24日

科目

数学

课题

图形旋转

（一）

班级

初三

（1）班

任课教师

王正

地点

阶梯教室

学

生

情

况

通过前一阶段的学习，学生已经掌握旋转的概念和性质，对初中阶段的三种图形变换都已了解。

本节课在此基础上，进行旋转与过往知识的初步综合。

教

学

目

标

引导学生将各章节建立联系，综合分析问题；

引导学生剥离背景，转化为基本旋转问题，选择适当方法灵活解题；

体会归纳总结各章节知识的方法，培养良好的学习方法。

教学

重点

发现复杂问题中的旋转特征和本质，呈现基本问题。

教学

难点

准确提炼复杂背景中的核心条件，转化为基本问题

教学过程

复习引入：

结合PPT动画演示复习旋转的三要素和基本性质。

一、坐标系中的旋转

例1．如图，在直角坐标系中，已知点

，

，对△

连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为．

引申：

（1）第11个三角形的直角顶点的坐标为．

（2）第n个三角形的直角顶点的坐标为．

设计说明

通过复习强化基础知识，同时为后面例题的分析做好铺垫。

逐一分析每次旋转的三要素，强调旋转中心的变化；学生发现规律，求出答案。

通过此题将坐标系引入旋转问题，在引申

（1）中进一步体会在旋转变换下求坐标；引申

（2）留作业。

例2.如图，在直角坐标系中，直角梯形ABCO，AB为直角腰，点C在x轴正半轴上，AO=3，BC=5，在y轴正半轴上有点D满足DO=CO，则△AOD的面积为__________.

引申：

（1）如上图，直角梯形的直角腰AB=3，则AD=_________.

（2）自行设计题目，将此题和二次函数相结合，例如设计关于过点A、B、C的抛物线的题目。

二、圆中的旋转

例3.如图，圆中三条弦AB、AC、AD满足∠BAC=∠CAD=60°，猜想线段AB、AC、AD的关系，并说明理由。

引申：

（1）改为∠BAC=∠CAD=30°，其他条件不变，探究线段AB、AC、AD的关系

（2）改为∠BAC=∠CAD=30°，其他条件不变，

探究线段AB、AC、AD的关系

三、相似与旋转

例4.如左图，两个等边三角形ABC和A＇B＇C＇一边共线，且BC和B＇C＇中点都是点O；将小等边三角形绕点O逆时针旋转，连接AA＇和CC＇，如右图。

求证:

旋转过程中AA＇:

CC＇为定值。

小结：

旋转变换与坐标系、圆、相似等问题结合。

作业：

例1的引申

（2），例2的引申

（2），例3的引申

（2）

在坐标系里求面积，学生第一反应会以坐标轴上的线段OD为底，分析后发现这样不利于使用其它条件，进而考虑能否以AO为底，结合关键条件“OD=OC”，学生可能会想到把三角形AOD绕点O顺时针旋转90度，或者把梯形绕点O逆时针旋转90度。

整合学生想法，让学生体会在坐标系中的几何问题，有时需要撇开坐标系背景，关注核心条件，单纯发掘几何特征。

通过引申问题，使学生深入体会数形结合、转化和整合的数学思想；通过开放性问题的布置和探究，发散学生的思维，完善对本节知识的反思和提升.

构造旋转的基本特征从而利用旋转变换“补短”求解。

相似是学生刚开始学习的新知识，用起来还比较生疏，跟旋转结合还比较困难，所以通过特殊位置先猜测这个比值是多少，进而启发构造相似的方法，让学生体会在旋转中保持相似的图形变换。

给出总结知识的思路，启发学生按照这节课的思路继续思考旋转与过往知识的结合点和问题的生长点。

老师反思：

这节课旨在给学生一个方向——把旋转与过往知识相结合，而不是孤立的看待，从而灵活选用已有知识探寻旋转变换，进而加深对旋转的理解。

课上给出了旋转与坐标系、圆、相似的结合问题，并抛出了与二次函数相结合的话题留作课后思考，从作业反馈来看，例1例3的引申问题解答得不错，但对于例2的引申

（2）多数B班同学不知所措，还是停留在课上明确给出的方向上。

图形旋转

（二）

北京四中董嵩2011年11月24日

科目

数学

课题

图形旋转

（二）——等边旋转问题

班级

B3

任课教师

董嵩

地点

初三（3）班教室

教学过程

设计意图

例1．如图，△ADB中，∠ADB＝120°，以AB为边向三角形外作等边△ABC，把△CAD绕着点C按逆时针方向旋转60°到△CBE的位置．若AD＝a，BD＝b．求：

（1）∠CDE的度数；

（2）求CD的长．

例2．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B、C、D在一条直线上，AC和BE相交于点M，AD和CE相交于点N．

（1）求证：

△BCE≌△ACD；△BCM≌△ACN．

（2）求BE和AD的所成的角的大小．

例3．如图1，已知等边△ABC和菱形BDEF，其中DF=DB，连接AF、CD．

（1）观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？

直接写出结论，不必证明；

（2）将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部，在图2中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？

若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．

图1图2

通过一个旋转问题，引导学生归纳出“旋转的条件和实施的方法”，说明本节课研究的内容是有关“等边旋转”的问题．

分析两个等边三角形中的旋转图形结构，使学生会用旋转的观点看问题，教学生如何开展进一步的探究．

看出问题的本质，仍然是“等边旋转”问题．

教学过程

设计意图

例4．请阅读下列材料，然后解决问题．

问题：

如图1，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=

，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边△ABC的边长．

李明同学的思路是：

将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形，所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，进而求出等边△ABC的边长为

．问题得到解决．

请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

，BP=

，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的面积．

图1图2图3

例5．如图，在四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB＝2，BC＝

．

（1）若以线段BD、AB、BC作为三角形的三边，则BD边所对的角的度数为；

（2）求四边形ABCD的面积．

例6．如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点．

（1）证明：

AM≤BM+CM；

（2）线段AM是否存在最大值？

是否存在最小值？

三、总结

1．旋转的目的：

使分散的条件集中．

2．旋转的条件：

具有公共端点的等线段．

3．旋转的方法：

以公共端点为旋转中心，两条线段的夹角为旋转角．

通过阅读型问题分层指导学生：

基础弱的学生阅读材料，学习如何进行图形旋转去解决问题；基础好的学生会分析图形旋转的原因和目的．从而提出：

旋转可以把分散的条件变集中，构造三角形来解决问题；具备“等边旋转”的特征，构造出基本图形来解决问题．

引导学生：

如何将三条线段首尾相连？

如何进行图形旋转？

预案：

学生可能旋转△ABC，这样易求第

（1）问而不易解第

（2）问．因此要兼顾两问，统筹安排．

备用题：

“等边旋转”问题的引申，特别注意取得最值时对应的图形形状．

教学过程

设计意图

四、课后练习

1．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1，求∠BPC的度数．

2．P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0）．

（1）求∠APB的度数．

（2）求正方形ABCD的面积．

3．已知：

，

，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．

（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；

（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

4．（10西城一模）如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，AD=AE．

（1）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF．求证：

；

（2）请你在图3中画图探究：

当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？

直接写出你的结论．

教学设计说明

一、背景介绍

本节课之前，学生已经学习了旋转的基础知识，懂得如何用数学语言去描述图形的旋转，解决有关旋转变换的数学问题，形成了一些基本的解题策略．但是，面对纷繁复杂的各类旋转问题，应该如何去识别、归类、形成系统的知识体系和解题思路，这还是学生急需解决的问题．

二、设计意图

本节课分成三个部分．

第一部分从一个基本的旋转问题出发，帮助学生复习旋转的基本性质，能在题目给定图形旋转的情况下解决有关问题，并引导学生发现图形能够进行旋转的基本特征，即具有公共端点的相等线段．提出“等边”图形（如等腰三角形，菱形、正方形以至于正多边形）是可以形成旋转结构的基本背景．

第二部分从两个等边三角形形成的全等三角形问题出发，使学生学会以旋转的观点来看待图形结构和分析问题，将“对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角”升华为“对应线段（所在直线）所成的角等于旋转角或其补角”，以便于学生在复杂的问题中发现线段之间的位置关系．进而将基本图形进行位置的变化和形状的变化——旋转两个全等三角形，将特殊的位置关系变为一般的位置关系，发现图形变换过程中的不变元素；将一个等边三角形变为含60°角的菱形，发现图形的本质仍然是两个等边三角形的旋转问题．

第三部分是本节的难点，选择的问题依然是以两个等边三角形的旋转问题为背景，难点在于去除了其中部分线段，需要学生添加辅助线还原基本图形．题目需要学生主动进行旋转变换，将分散的条件集中于一个三角形中，从而达到转移已知条件沟通结论的目的．问题的引申分为两部分：

一是形状的改变，即从等边三角形发展为等腰直角三角形；二是大小的改变，即从特殊的勾股关系发展为一般的三边关系．在解题时对比特殊的解题方法和一般的解题方法，优化解题策略．

几个例题始终围绕“等边旋转”这个基本图形结构进行，层层深入，便于学生逐步加深对图形结构的理解，最终形成解题策略．在课后练习中继续将问题进行发展，重点让学生去研究等腰直角三角形和菱形有关的旋转问题．

三、课程反思

1．课前要求学生进行预习，完成三个熟悉的基础问题，课上可以直接进行点评交流，提高课堂效率．

2．课上注重问题的分析和归纳，对于知识的掌握还有待进一步落实．

3．B层学生水平存在很大差异，本节课很难达到全员落实和理解的地步，对于部分基础薄弱生，还需要长时间的辅导和训练才有可能使他们掌握和领悟．

4．本人驾驭课堂的能力还需要提高，有些好的想法还没有完全展现和实施，希望日后能够进一步改进．

图形旋转（三）

北京四中梁威2011年11月24日

科目

数学

课题

图形旋转（三）

班级

初三B2班

任课教师

梁威

地点

初三2班

学

生

情

况

分

析

本章学习图形变换中的第三种——旋转．前期学生已经初步了解图形的旋转，能够理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角．由于旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，是经常用到的思考方法。

因此，我们希望通过一系列旋转的相对综合的问题引导学生依次体会这部分知识发生发展的过程。

学生已经经过两节课的相关学习：

旋转问题的结合途径（综合问题的来源），从旋转的角度看问题（综合问题的思考角度），应该说初步体会了这种几何图形的认识方法。

针对B班实际情况，在相对综合和困难的旋转问题中，我们力争分层次落实，多层次兼顾，使多数同学对于处理几何问题的方法各有所得。

设

计

意

图

一般的学生容易对看起来相对复杂的几何问题产生畏难心理，总是感觉无从下手，特别是在需要添加辅助线的时候比较盲目。

因此，我们希望借助旋转问题的自主处理，使学生积累应对较复杂问题的解题策略，建立处理复杂问题的信心。

对于不同层次的学生，提出不同要求：

较吃力的学生要有想得起来用得上的实际操作方法，中等学生要能够从变换的角度更容易发现不变的量，从而更容易解决一般化的问题，较高水平的学生学会发现知识的联系和发展。

教

学

目

标

帮助学生落实几何书写规范，关注学生对于自己想法的表述详略（阐述想法），

培养学生学会倾听他人发言并引导其关注发言中的信息筛选及积累

积累解题策略和技巧（几何直觉，关注关键词处理，入手思路产生，等）

体会与图形的变换过程中方法的迁移（特殊——一般），关注变化中的不变

体会知识发生发展的过程，找到发展题目的方向

教学

重点

几何问题的入手方法和解题策略的积累——以不变应万变

体会知识发生发展的过程——举一反三

教学

难点

知识的联系和发展

（一）探索解题

例.已知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°,点M为EC中点.

⑴如图1，若点D在AC上，求证：

△BDM为等腰直角三角形.

图1图2

⑵将图1中△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D在AB上，△BDM是否仍为等腰直角三角形？

说明理由.

⑶仿照第⑵问，将图1中△ADE绕点A旋转一个其他的特殊角度，请给出旋转角度，画出相应图形，并判断△BDM是否仍为等腰直角三角形？

说明理由.

图3图4

⑷根据上面3问，同学们可否猜想，将△ADE绕点A任意旋转一定的角度，△BDM是否仍为等腰直角三角形？

请画出相应图形，说明理由.

（二）小结反思

1.解决问题的基本策略与技巧：

需处理的图、条件或结论→可采用的方法

2.问题发展的几个方向（展示联系）

（三）课后作业

1．仿照示例，将一个已有的旧问题发展为一道新题，并绘制相应图形。

2．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

⑴求证：

EG=CG；

⑵将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．

问⑴中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

⑶将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论？

试说明理由．

3．如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及PG：

PC的值．

小聪同学的思路是：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

⑴写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PG：

PC的值；

⑵将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

教学设计说明

经过前面两节课的铺垫，学生已经拥有一定的旋转这种图形变换的想法，因此考虑开门见山，少量铺垫，直接抛出问题。

本节课希望帮助学生找到问题的入手方法并积累策略，因此，关注学生在表述时，说清从哪里想到的，核心证明步骤。

利用实物投影直接对证明格式加以指正。

这两问对原有题目稍加改造，毕竟学生在处理问题时不太可能借助几何画板等电子手段，必要的画图能力很重要，这也是学生处理问题的前提。

学生在这里体会：

1.解题策略的适用程度与筛选

2.旋转前后，改变与不变的是什么，关键是抓住不变量

3.从旋转的角度去发展题目

这里根据学生实际情况进行积累，预计集中在：

1．何种条件适合旋转

2．中点的处理方法

3．相同辅助线不同说法

4．特殊——一般，抓变换中的不变

图形的位置变换，某一条件的变换，结合其他元素的考察等，都成为问题发展的方向，期待学生学会自住发展

考虑到不同层次学生的水平和能力，希望他们各自找到适合自己水平的问题发展。

这个问题来自上学期我们的周末练习原题，实质上和今天研究的问题是一样的，当时连A班都处理困难的问题，换个角度入手会收到不同的效果，让同学们建立信心，让同学们关注新问题和就问题的转化。

同时，也为后面的问题的发展提供过渡。

这是08年的中考题，恰巧可以看到是今天题目的相应发展，并可以借助今天学到的解题策略对其进行解决。

对这节课的反思：

1.在上课之前，想要通过课程给予学生的积累内容较多，根据学生上课的实际情况适当的加以取舍，使得课程的呈现更加紧凑；但是到课程临近结束时有想要把自己希望说的画图的调整再说一下，纠结的结果是说得不够清楚，还不如当机立断放弃这点，直接进入小结，这样课程会更加紧凑；

2.事先将学案布置下去，会使得学生不会毫无准备的看综合题，这对于讲题的效率是比较好的，但是学生情况参差不齐，完成情况不够好，但是还好上课的时候学生发挥很好，这说明，学生平时存在普遍的思维懒惰现象，通过公开课能够展示实际水平；

3.学生在课堂上相互启发，互相补充，层层推进，不仅尝试了优化解题方法，也尝试了通用策略的形成；

4.最后利用计算机展示题目的动态发展过程，便于学生在题目分析之后回归发现变化中的不变，个人认为比之一开始就展示对于学生说题更为合适，学生可以先有思考，再有验证，如果可以的话，还可以把其他的类似发展也展示一下，使得体系更为完整；

5.课下学生的后续问题处理态度不如上课好，还需多加落实。

以上就是我对这节课的教学设计说明和反思，时间仓促，不足之处敬请批评指正。