完整版等差数列的性质以及常见题型.docx
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完整版等差数列的性质以及常见题型
等差数列的性质以及常见题型
上课时间：
上课教师：
上课重点：
掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质上课规划：
掌握等差数列的解题技巧和方法
一等差数列的定义及应用
1.已知数列an的通项公式为an3n2，试问该数列是否为等差数列
2.已知：
1,1,1成等差数列，求证：
xyz
思考题型;已知数列an的通项公式为anpn2qn（p,qR,且p,q为常数）
（1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？
（2）求证：
对于任意实数p和q，数列an1an是等差数列。
二等差数列的性质考察
anam问题
nm
一）熟用ana1（n1）dam（nm）d，d
（注意：
知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式）
1、等差数列an中，a350，a530，则a9.
2、等差数列an中，a3a524，a23，则a6.
3、已知等差数列an中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an.
4、一个等差数列中a15=33，a25=66，则a35=．_
5、已知等差数列an中，apq，aqp，则apq．
（二）公差d的巧用
（注意：
等差数列的项数）
1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于
三）mnstamanasat性质的应用注意：
角标的数字）
1.等差数列a
n中，
若a3
a4
a5a6
a7
450，则a2a8
2.等差数列an
中，
若a4
a5
a6a7
450，
则S10。
3.等差数列an
中，
若S13
20。
则a7
___。
4.等差数列an
中，
若a11
10，
则S21
___。
5.在等差数列
an中
a3a11
40
，则a4
a5
a6a7a8a9a10
6.等差数列an
中,
a1a2
a3
24,a18
a19
a2078,则S20__
7.在等差数列an中，a4a512，那么它的前8项和S8等于。
8.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2La7。
9.在等差数列an中，已知a1a2a3a4a520，那么a3等于。
10.等差数列an中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则a7.
11.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1+a3+a5+⋯+a21=。
12.｛an｝为等差数列，a1+a2+a3=15，an+an-1+an-2=78，Sn=155，则n=。
（四）方程思想的运用
（注意：
联立方程解方程的思想）
1.已知等差数列｛an｝中，S3=21，S6=24，求数列｛an｝的前n项和Sn
2.已知等差数列｛an｝中，a3a716,a4a60,求数列｛an｝的前n项和Sn
（五）Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用
1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和。
2、等差数列｛an｝的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为。
3.已知等差数列｛an｝中，S34,S912,求S15的值.
4.已知等差数列｛an｝中，a1a2a32,a4a5a64,则a16a17a18的值
5.a1，a2，a3，⋯⋯a2n+1为等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项数.
6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的
和为390，则这个数列有
7.在等差数列｛an｝中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是。
（六）anS2n1的运用2n1
1.设Sn和Tn分别为两个等差数列an,bn的前n项和，若对任意nN*，都有
Sn7n1，则a11=。
Tn4n27b11
2.设Sn和Tn分别为两个等差数列an,bn的前n项和，若对任意nN*，都有
an，bn，其前n项和分别为Sn，Tn，若对nN有TSn
Tn
成立，
求ab55=（
）。
（七）
an与Sn的关系问题;
1.数列
an的前n
项和Sn＝3n
n2，则an＝
2.数列
an的前n
项和Sn＝n2
n1，则an＝
3.数列
an的前n
项和Sn＝n
2n2，则an＝
4.数列
an的前n
项和Sn＝3n2
4n，则an＝
5.数列
an的前n
项和Sn＝2n
1，则an＝
6.数列｛4n2｝的前n项和Sn＝.
7.数列｛4n8｝的前n项和Sn＝.
8.数列｛an｝的前n项和Sn＝8n2-10.则an
（八）巧设问题；
一般情况,三个数成等差数列可设:
ad,a,ad;四个数成等差数列可设:
a3d,ad,ad,a3d.
1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.
2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.
3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.
4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.
5.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为
32：
27，求公差
（九）．最值问题:
；
5.等差数列an中，a10,S4S9，则n的取值为多少时？
Sn最大
6.在等差数列｛an｝中,a4＝－14,公差d＝3,求数列｛an｝的前n项和Sn的最小值
7.已知等差数列｛an｝中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.
8.在等差数列｛an｝中，若a3a9，公差d<0，那么使其前n项和Sn为最大值的自然数n的值是__.
（十）累加法的应用裂项相消
1.已知数列｛an｝满足:
anan12n1,a11,求an.
2.已知数列｛an｝满足:
an1an4n1,a11,求an.
（十一）由an求an的前n项和
1.数列an的前n项和Snn24n，则|a1||a2|L|a10|
2.数列an的前n项和Snn24n，bnan，则数列{bn}的前n项和Tn
3.数列an中，a18,a42，满足an22an1an0,nN
（1）求通项an；
（2）设Sn
a1
a2L
an，求Sn；
1*
（3）设bn,nN*,Tn
b1
b2L
bn,nN*，是否存在最大的整数m，
n12an
使得对于任意nN*，均有Tn
m
32
成立，
若有求之，若无说明理由．
十二）由Sn得an的题型、
直接法
3，且满足2Sn12Sn3an1
1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1
（nN*）。
1）求数列{an}通项公式an；
111
2）求证：
当n2时，121212La2a3a4
倒数法
1.已知数列an中，an≠０，a1＝1，an1＝an（n∈N），求an
212an
1
2.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a12,an2SnSn10（n2）
1
（错误!
未找到引用源。
）判断S1是否为等差数列？
并证明你的结论；（错
误!
未找到引用源。
）求Sn和an；
22211
（错误!
未找到引用源。
）求证：
S12S22Sn22141n。
1）求f（x）的解析式
2）如记xn
f（xn1），且x11，nN，且xn。
数列与函数
1.已知二次函数yf（x）f（x）3x22x，数列｛an｝的前n项和为Sn，点（n,Sn）（nN）均在函数yf（x）的图像上。
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）设bn3,Tn是数列｛bn｝的前n项和，求使得Tnm对所有nN都成
anan120
立的最小正整数m；
倒序相加
1
2.设函数fxx
42
（1）证明：
对一切xR，f（x）+f（1-x）
是常数；
12
n1
（2）记anf0ff
.f
f1,nN，求an,并求
nn
n
出数列{an}的前n项和。
思维扩展题型
1）当a21时，求及a3的值
2）数列an是否可能为等差数列？
若可能，求出它的通项公式：
若不可
能，说明理由
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