积化和差公式积化和差公式积化和差公式.docx
《积化和差公式积化和差公式积化和差公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《积化和差公式积化和差公式积化和差公式.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
积化和差公式积化和差公式积化和差公式
[积化和差公式]积化和差公式：
积化和差公式
[积化和差公式]积化和差公式:
积化和差公
式
篇一:
积化和差公式:
积化和差公式-计算公式，积化和差公式-推导过程
积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。
可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。
积化和差公式_积化和差公式-计算公式
积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
sinαsinβ=-[cos-cos]/2
cosαcosβ=[cos+cos]/2
sinαcosβ=[sin+sin]/2
积化和差公式_积化和差公式-推导过程
积化和差公式sin=sinαcosβ+cosαsinβ，sin=sinαcosβ-cosαsinβ
把两式相加得到:
sin+sin=2sinαcosβ
所以，sinαcosβ=[sin+sin]/2
同理，把两式相减，得到:
cosαsinβ=[sin-sin]/2
cos=cosαcosβ-sinαsinβ，cos=cosαcosβ+sinαsinβ
把两式相加，得到:
cos+cos=2cosαcosβ
所以，cosαcosβ=[cos+cos]/2
同理，两式相减，得到sinαsinβ=-[cos-cos]/2
这样，得到了积化和差的4个公式:
sinαcosβ=[sin+sin]/2
cosαcosβ=[cos+cos]/2
sinαsinβ=-[cos-cos]/2
cosαsinβ=[sin-sin]/2
积化和差公式_积化和差公式-记忆方法
积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域来判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如:
cos-cos
=一般也是三角函数，但其ω与傅里叶系数公式中的三角函数不同，这就为最终求解系数带来很大困难，因为求解系数的过程中，要求1个在2π周期内的积分，若被积函数是cosxcosnx,直接积分非常困难，若运用积化和差将乘积的积分化为加减运算的积分，将使问题变得容易解决，使用计算机处理时效率也会更高。
篇二:
和差化积,积化和差公式是怎样推导出来的?
和差化积,积化和差公式是怎样推导出来的?
和差化积,积化和差公式是怎样推导出来的?
sin=sinacosb+cosasinb
sin=sinacosb-cosasinb
两式相加得:
sinacosb=1/2[sin+sin]...
两式相减得:
cosasinb=1/2[sin-sin]...
cos=cosacosb-sinasinb
cos=cosacosb+sinasinb
两式相加得:
cosacosb=1/2[cos+cos]...
两式相减得:
sinasinb=-1/2[cos-cos]...
用/2、/2分别代替上面四式中的a,b
就可得到和差化积的四个式子。
如:
式可变为:
sina+sinb=2sin[/2]*cos[/2]
其它依次类推即可。
篇三:
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sinα+sinβ=2sin[/2]?
cos[/2]
sinα-sinβ=2cos[/2]?
sin[/2]
cosα+cosβ=2cos[/2]?
cos[/2]
cosα-cosβ=-2sin[/2]?
sin[/2]
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sinα+sinβ=2sin[/2]?
cos[/2]的证明过程因为sin=sinαcosβ+cos
αsinβ，sin=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin+sin=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=/2,β=/2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[/2]cos[/cotα?
cotβ=sin/
tanα+cotβ=cos/tanα-cotβ=-cos/证明:
左边
=tanα?
tanβ=sinα/cosα?
sinβ/cosβ=/=sin/=右边?
等式成立
编辑本段注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名;若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
1
生动的口诀:
帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然
编辑本段记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
,
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如:
cos-cos
=[-]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。
熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是/2和/2，也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二
是“半差角”/2的三角函数名。
2
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
）注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
/2的三角函数名规律为:
和化为积时，以cos/2的形式出现;反之，以sin/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把/2替换为/2，结果应当是一样的，从而/2的形式是cos/2;另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如/2和/2在的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
各自的简单记忆方法。
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消
的两项相同而造成有系数2，如:
cos-cos
=-
=2sinαsinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差
仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差;异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差,
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为:
“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和;反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项4
调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和;另一种
情况可以类似说明。
不大于cos。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos放到cos前面，要么就在式子的最前面加上负号。
2-sin]=[cos-sin]/[sin+cos]=[1-tan]/[1+]
tanα=tan[2*]=2tan/[1-tan]=[2tan]/[1-]
5
篇四:
和差化积、积化和差、万能公式
正、余弦和差化积公式
指高中数学三角函数部分的一组恒等式
sinα+sinβ=2sin[/2]?
cos[/2]
sinα-sinβ=2cos[/2]?
sin[/2]
cosα+cosβ=2cos[/2]?
cos[/2]
cosα-cosβ=-2sin[/2]?
sin[/2]
以上四组公式可以由积化和差公式推导得到
证明过程
sinα+sinβ=2sin[/2]?
cos[/2]的证明过程因为sin=sinαcosβ+cosαsinβ，sin=sinαcosβ-cosαsinβ，将以上两式的左右两边分别相加，得sin+sin=2sinαcosβ，设α+β=θ，α-β=φ那么α=/2,β=/2把α，β的值代入，即得sinθ+sinφ=2sin[/2]cos[/cotα?
cotβ=sin/
tanα+cotβ=cos/tanα-cotβ=-cos/证明:
左边
=tanα?
tanβ=sinα/cosα?
sinβ/cosβ=/=sin/=右边?
等式成立
编辑本段注意事项
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。
若是异名，必须用诱导公式化为同名;若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀
正加正，正在前，余加余，余并肩
正减正，余在前，余减余，负正弦
反之亦然
1
生动的口诀:
帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂反之亦然
编辑本段记忆方法
和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。
结果乘以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其积的值域也应该是[-1,1]，而和差的值域却是[-2,2]，因此乘以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如:
cos-cos
=[-]
=2sinαsinβ
故最后需要乘以2。
只有同名三角函数能和差化积
无论是正弦函数还是余弦函数，都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
乘积项中的角要除以2
在和差化积公式的证明中，必须先把α和β表示成两角和差的形式，才能够展开。
熟知要使两个角的和、差分别等于α和β，这两个角应该是/2和/2，也就是乘积项中角的形式。
注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”，但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。
使用哪两种三角函数的积
这一点较好的记忆方法是拆分成两点，一是是否同名乘积，二是“半差角”/2的三角函数名。
2
是否同名乘积，仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以，余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。
/2的三角函数名规律为:
和化为积时，以cos/2的形式出现;反之，以sin/2的形式出现。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果要使和化为积，
那么α和β调换位置对结果没有影响，也就是若把/2替换为/2，结果应当是一样的，从而/2的形式是cos/2;另一种情况可以类似说明。
余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如/2和/2在的范围内，其正弦的乘积应大于0，所以要么反过来把cosβ放到cosα前面，要么就在式子的最前面加上负号。
积化和差公式
sinαsinβ=[cos-]=-1/2[cos-cos]其他的3个式子也是相同的证明方法。
-β）-cos]/2的式子，这种代换称为万能置换。
:
sinα=2sincos=[2sincos]/[sin+cos]=[2tan]/[1+]
cosα=[cos-sin]=[cos-sin]/[sin+cos]=[1-tan]/[1+]
tanα=tan[2*]=2tan/[1-tan]=[2tan]/[1-]
5
升级会员 