等式的基本性质.docx

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等式的基本性质

等式的基本性质

教学目标：

1、通过天平演示保持平衡的几种变换情况，让学生初步认识等式的基本性质。

2、利用观察天平保持平衡所发现的规律能直接判断天平变化后能否保持平衡。

3、培养学生观察与概括、比较与分析的能力。

教学重难点：

理解，并能用自己的话来阐述天平保持平衡的几种变换情况，进而发现等式保持不变的规律。

教具准备：

天平及相关物品。

教学过程：

一、导入新课：

同学们用天平做过实验吗？

今天我们就要用天平去发现一些重要的规律，有信心吗？

二、新知探究

（一）探寻发现“天平保持平衡的规律1”。

第一步，出示天平，左盘放一茶壶，右盘放两茶杯，天平保持平衡。

问：

这说明什么？

如果设一把茶壶重a克，1个茶杯重b克，则可以用一个等式来表示：

即a=2b（板），

第二步，问：

想一想，怎样变换能使天平仍然保持平衡呢？

待学生思考片刻，进而问：

往两边各放一个茶杯，天平会发生什么变化？

教师演示加以验证，在已平衡的天平两边同时增加一个相同的杯子，天平保持平衡。

这个过程可以表示为a+b=2b+b。

第三步，问：

如果两边各放上2个茶杯，天平还保持平衡？

两边各放上同样的一个茶壶呢？

学生回答后，老师一一演示验证。

第四步，想一想，怎样变换能使天平保持平衡？

天平两边增加同样的物品，天平保持平衡。

如果天平两边减少同样的物品，天平会保持平衡吗？

第五步，在第三步的基础上同时减少一个茶壶，天平保持平衡，用式子表示就是2a-a=2b+a-a。

因此天平保持平衡的规律概括起来可以怎么说？

天平两边增加或减少同样的物品，天平会保持平衡。

（课件）

第六步，应用，进一步验证。

展示数学书P55页第2幅图的场景，1个花盆和几个花瓶同样重呢？

该怎么办？

两边同时减少一个花瓶，天平保持平衡。

（二）探寻发现“天平保持平衡的规律2”。

第一步，出示天平，左盘放一瓶墨水，右盘放两个铅笔盒，天平保持平衡。

一瓶墨水等于两个铅笔盒的质量，如果设一瓶墨水重c克，1个铅笔盒重d克，则可以用一个等式来表示：

即c=2d（板），

第二步，问：

想一想，如果在左边再放上1瓶墨水，右边再放上2个铅笔盒，天平还保持平衡吗？

验证，天平两边加的东西不同，数量也不同，为什么还能保持平衡呢？

学生可能会说，因为两边增加的质量相同，肯定；同时引导，天平左边的质量在原来的基础上发生了什么变化？

（扩大了2倍），右边呢？

（也扩大了两倍）因此，天平两边尽管所增加的东西不同，数量不同，但两边质量所发生的变化是相同的，都扩大了2倍，所以天平仍然保持平衡。

用式子表示就是c×2=2d×2。

第三步，刚才的演示反过来，就是天平两边同时缩小相同的倍数，天平保持平衡，用式子表示就是2c÷2=4d÷2。

因此，天平除了在两边同时增加或减少同样的物品会保持平衡外，还可怎么变换也可以保持平衡？

归纳得出：

天平两边物品的质量同时扩大或缩小相同的倍数，天平保持平衡。

第四步，进一步验证，出示P56的情景，问要求1个排球和几个皮球同样重该怎么办？

两边质量同时缩小2倍，即把两边的球都平均分成2份，保留其中的一份，按其操作，天平保持平衡，得出结论：

1个排球和3个皮球同样重。

（三）小结天平保持平衡的变换规律，引出等式不变的规律。

通过刚才的实验，我们发现了什么，谁来总结一下。

得出天平保持平衡的变换规律：

（1）天平两边同时增加或减少同样的物品，天平保持平衡；

（2）天平两边的质量同时扩大或缩小相同的倍数，天平保持平衡。

老师引导：

我们可以发现，天平保持平衡时可以用一个等式来表示，当天平两边发生变化时，等式的两边也在发生变化，天平保持平衡，等式也保持不变。

从天平保持平衡的规律，我们可以发现等式保持不变的规律吗？

想一想，四人小组讨论。

交流，发现：

等式保持不变的规律：

（1）等式两边都加上或减去相同的数，等式保持不变；

（2）等式两边都乘或除以相同的数（0除外），等式不变。

三、练习。

四：

小结。

有什么收获？

还有什么问题？

课后反思

方程的意义

教学内容：

数学书P53-54及“做一做”，练习十一1-3题。

教学目标：

1、初步理解方程的意义，会判断一个式子是否是方程。

2、会按要求用方程表示出数量关系。

3、培养学生观察、比较、分析概括的能力。

教学重难点：

会用方程的意义去判断一个式子是否是方程。

教具准备：

天平、空水杯、水（可根据实际变换为其它实物）

教学过程：

一、导入新课：

今天我们上课要用到一种重要的称量工具，它是什么呢？

对，它是天平。

同学们对天平有哪些了解呢？

天平由天平称与砝码组成，当放在两端托盘的物体的质量相等时，天平就会平衡，根据这个原理，从而称出物体的质量。

二、新知学习

1、实物演示，引出方程。

操作天平：

第一步，称出一只空杯子重100克，板书：

1只空杯子=100克；

第二步，往往空杯子里倒入约150毫升水（可在水中滴几滴红墨水），问：

发现了什么？

天平出现了倾斜，因为杯子和水的质量加起来比100克重，现在还需要增加砝码的质量。

第三步，增加100克砝码，发现了什么？

杯子和水比200克重。

现在，水有多重，知道吗？

如果将水设为x克，那么用一个式子该怎么表示杯子和水比200克重这个关系呢？

100+x>200。

第四步，再增加100克砝码，天平往砝码这边倾斜。

问：

哪边重些？

怎样用式子表示？

让学生得出：

100+x<300.

第五步，把一个100克的砝码换成50克，天平出现平衡。

现在两边的质量怎样？

用式子怎样表示？

让学生得出：

100+x=250。

像这样含有求知数的等式，人们给它起了个名字，你们知道叫什么吗？

对，叫方程。

请大家试着写出一个方程。

1、写方程，加深对方程的认识。

学生试着写出各种各样的方程，再在全班展示，当然也有可能会出现一些不是方程的式子，教师应引导学生说出它不是方程的原因。

看书第54页，看书上列出的一些方程，让学生读一读。

然后小结：

一个式子要是方程需要具备哪些条件？

两个条件，一要是等式，二要含有求知数（即字母），这也是判断一个式子是不是方程的依据。

1、反馈练习。

完成做一做，在是方程的式子后面打上“√”。

对于不是方程的几个式子要说明其理由。

2、小结：

这节课学习了什么？

怎么判断一个式子是不是方程？

提问：

方程是不是等式？

等式一定是方程吗？

四：

练习

1、完成练习十一第2题，先让学生说出图意，再根据图意再列出相应的方程。

2、独立完成第3题，评讲时，介绍什么叫数量关系，然后让学生先说出各幅图中的数量关系，再说出相应的方程，同一幅图由于数量关系有不同的形式，因此方程形式也可能不同。

解方程

教学目标：

1、结合具体图例，根据等式不变的规律会解方程。

2、掌握解方程的格式和写法。

3、 进一步提高学生分析、迁移的能力。

教学重难点：

掌握解方程的方法。

教学过程：

一、导入新课

前面，我们学习了等式保持不变的规律，等式在哪些情况下变换仍然保持不变呢？

等式这些规律在方程中同样适用吗？

完全可以，因为方程就是等式，今天我们将学习如何利用等式保持不变的规律来解方程。

板书：

解方程。

二、新知学习

（一） 教学例1

出示例1，从图中可以获取哪些信息？

图中表示了什么样的等量关系？

盒子中的皮球与外面的3皮个球加起来共有9个，方程怎么列？

得到x+3=9

要求盒子中一共有多少个皮球，也就是求x等于什么，我们该怎么利用等式保持不变的规律来求出方程的解呢？

抽答。

方程两边同时减去一个3，左右两边仍然相等。

板书：

x+3-3=9-3

化简，即得：

x=6

这就是方程的解，谁再来回顾一下我们是怎样解方程的？

左右两边同时减去的为什么是3，而不是其它数呢？

因为，两边减去3以后，左边刚好剩下一个x，这样，右边就刚好是x的值。

因此，解方程说得实际一点就是通过等式的变换，如何使方程的一边只剩下一个x即可。

追问：

x=6带不带单位呢？

让学生明白x在这里只代表一个数值，因此不带单位。

要检验x=6是不是正确的答案，还需要验算。

怎么验算呢？

可抽学生回答。

板书：

方程左边=x+3

=6+3

=9

=方程右边

所以，x=6是方程的解。

小结：

通过刚才解方程的过程，我们知道了在方程的左右两边同时减去一个相同的数，左右两边仍然相等。

不过需要注意的是，在书写的过程中写的都是等式，而不是递等式。

（二）    教学例2

利用等式不变的规律，我们再来解一个方程。

出示方程：

3x=18，怎样才能求到1个x是多少呢？

同桌的同学互相讨论，如有问题，可以出示书上的示意图帮助分析。

抽答，在方程两边同时除以3即可。

为什么两边同时除以的是3，而不是其它数呢？

刚好把左边变成1个x。

让学生打开书59页，把例2中的解题过程补充完整。

展示、订正。

通过，刚才的学习，我们知道了在方程的两边同时减去一个相同的数或同时除以一个不为0的数，左右两边仍然相等。

这是我们解方程常用的两种方法，想不想用它们来试一试呢？

（三）反馈练习

1、 完成“做一做”的第1题，先找到等量关系，再列方程，解方程。

集体评讲。

2、  思考“想一想”：

如果方程两边同时加上或乘上一个数，左右两边还相等吗？

依据是什么？

等式保持不变的规律。

试着解方程：

x-2.4=6x÷9=0.7（强调验算）

三、课堂小结。

这节课学习了什么？

讨论：

什么时候应该在方程的两边加，什么时候该减，什么时候该乘，什么时候该除呢？

课后反思：

利用方程解应用题

教学内容：

数学书P60：

例3、及61页的做一做，练习十一的第8题。

教学目标：

1、初步学会如何利用方程来解应用题

2、能比较熟练地解方程。

3、进一步提高学生分析数量关系的能力。

教学重难点：

找题中的等量关系，并根据等量关系列出方程。

教学过程：

一、复习导入

解下列方程：

x+5.7=10x-3.4=7.61.4x=0.56x÷4=2.7

学习方程的目的是为了利用方程解决生活中的问题，这节课就来学习如何用方程来解决问题。

板书：

解决问题。

二、新知学习。

1、  教学例3.

（1） 出示题目。

出示洪泽湖的图片，介绍到：

洪泽湖是我国五大淡水湖之一，位于江苏西部淮河下游，风景优美，物产丰富。

但每当上游的洪水来临时，湖水猛涨，给湖泊周围的人民的生命财产带来了危险。

因此，密切注视水位的变化情况，保证大坝的安全十分重要，如果湖水到了警戒水位的高度，就要引起高度警惕，超出警戒水位越多，大坝的危险就越大。

下面，我们来就来看一则有关大坝水位的新闻。

谁来当主持人，为大家播报一下。

“今天上午8时，洪泽湖蒋坝水位达14.14m，超过警戒水位0.64m.”

我们结合这幅图片来了解一下，课件演示警戒水位、今日水位，及其关系。

同学们想想，“警戒水位是多少米？

”

（2）  分析，解题。

根据刚才所了解的信息，这个问题中有哪几个关键的数量呢？

警戒水位、今日水位、超出部分。

它们之间有哪些数量关系呢？

（板）

警戒水位+超出部分=今日水位①

今日水位—警戒水位=超出部分②

今日水位—超出部分=警戒水位③

同学们能解决这个问题吗？

学生独立解决问题。

（3）  评讲、交流。

（侧重如何用方程来解决本题。

）

学生展示，可能会是算术方法，也可能列方程。

对于算术方法，给予肯定即可。

学生列出的方程可能有：

①x+0.64=14.14②14.14﹣x=0.64③14.14﹣0.64=x

每一种方法，都需要学生说出是根据什么列出的方程。

如第一种，学生根据的是“警戒水位+超出部分=今日水位”这一数量关系（由于左右相等，也称等量关系）所得到的。

解出方程，注意书写格式，并记着检验（口头检验）。

对于第二种，可以肯定学生所列的方程是正确的，但方程不容易解，为什么呢？

因为x是被减去的，因此，在小学阶段解决问题，列的方程，未知数前最好不是减号。

对于第三种，可让学生让算术解法与之作比较，让其发现，大同小异，因此，在列方程的过程中，通常不会让方程的一边只有一个x。

（4） 小结

在解决问题中，我们是怎样来列方程的？

将未知数设为x，再根据题中的等量关系列出方程。

三、 练习。

（5）解决“做一做”中的问题。

从题中知道哪些信息？

有哪些等量关系？

用方程解决问题，四人小组交流方法，评讲，特别提醒：

别忘了检验。

（6）独立完成练习十一中的第8题。

四、 课堂小结

这节课学习了什么？

（板书课题：

列方程解应用题）还有什么问题？

五、板书

列方程解应用题

解：

警戒水位+超出部分=今日水位①x+0.64=14.14

今日水位—警戒水位=超出部分②x+0.64-0.64=14.14-0.64

今日水位—超出部分=警戒水位③x=13.5

课后反思：

平行四边形面积的计算

教学目标：

　　1．使学生在理解的基础上掌握平行四边形面积的计算公式，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积．

　　2．通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力．

　　3．对学生进行辩诈唯物主义观点的启蒙教育．

教学重点：

理解公式并正确计算平行四边形的面积．

教学难点：

理解平行四边形面积公式的推导过程．

学具准备：

每个学生准备一个平行四边形。

教学过程：

1、什么是面积？

2、请同学翻书到80页，请观察这两个花坛，哪一个大呢？

假如这块长方形花坛的长是3米，宽是2米，怎样计算它的面积呢？

二、导入新课

根据长方形的面积=长×宽（板书），得出长方形花坛的面积是6平方米，平行四边形面积我们还没有学过，所以不能计算出平行四边形花坛的面积，这节课我们就学习平行四边形面积计算。

三、讲授新课

（一）、数方格法

用展示台出示方格图

1、这是什么图形？

（长方形）如果每个小方格代表1平方厘米，这个长方形的面积是多少？

（18平方厘米）

2、这是什么图形？

（平行四边形）每一个方格表示1平方厘米，自己数一数是多少平方厘米？

请同学认真观察一下，平行四边形在方格纸上出现了不满一格的，怎么数呢？

可以都按半格计算。

然后指名说出数得的结果，并说一说是怎样数的。

2、请同学看方格图填80页最下方的表，填完后请学生回答发现了什么？

小结：

如果长方形的长和宽分别等于平行四边形的底和高，则它们的面积相等。

（二）引入割补法

以后我们遇到平行四边形的地、平行四边形的零件等等平行四边形的东西，都像这样数方格的方法来计算平行四边形的面积方不方便？

那么我们就要找到一种方便、又有规律的计算平行四边形面积的方法。

（三）割补法

1、这是一个平行四边形，请同学们把自己准备的平行四边形沿着所作的高剪下来，自己拼一下，看可以拼成我们以前学过的什么图形？

2、然后指名到前边演示。

3、教师示范平行四边形转化成长方形的过程。

刚才发现同学们把平行四边形转化成长方形时，就把从平行四边形左边剪下的直角三角形直接放在剩下的梯形的右边，拼成长方形。

在变换图形的位置时，怎样按照一定的规律做呢？

现在看老师在黑板上演示。

①先沿着平行四边形的高剪下左边的直角三角形。

②左手按住剩下的梯形的右部，右手拿着剪下的直角三角形沿着底边慢慢向右移动。

③移动一段后，左手改按梯形的左部。

右手再拿着直角三角形继续沿着底边慢慢向右移动，到两个斜边重合为止。

请同学们把自己剪下来的直角三角形放回原处，再沿着平行四边形的底边向右慢慢移动，直到两个斜边重合。

（教师巡视指导。

）

4、观察（黑板上在剪拼成的长方形左面放一个原来的平行四边形，便于比较。

）

①这个由平行四边形转化成的长方形的面积与原来的平行四边形的面积比较，有没有变化？

为什么？

②这个长方形的长与平行四边形的底有什么样的关系？

③这个长方形的宽与平行四边形的高有什么样的关系？

教师归纳整理：

任意一个平行四边形都可以转化成一个长方形，它的面积和原来的平行四边形的面积相等，它的长、宽分别和原来的平行四边形的底、高相等。

5、引导学生总结平行四边形面积计算公式。

这个长方形的面积怎么求？

（指名回答后，在长方形右面板书：

长方形的面积＝长×宽）

那么，平行四边形的面积怎么求？

（指名回答后，在平行四边形右面板书：

平行四边形的面积＝底×高。

）

6、教学用字母表示平行四边形的面积公式。

板书：

S＝a×h，告知S和h的读音。

说明在含有字母的式子里，字母和字母中间的乘号可以记作“·”，写成a·h，也可以省略不写，所以平行四边形面积的计算公式可以写成S＝a·h，或者S＝ah。

（6）完成第81页中间的“填空”。

7、验证公式

学生利用所学的公式计算出“方格图中平行四边形的面积”和用数方格的方法求出的面积相比较“相等”，加以验证。

条件强化：

求平行四边形的面积必须知道哪两个条件？

（底和高）

（四）应用

1、学生自学例１后，教师根据学生提出的问题讲解。

3、判断，并说明理由。

（1）两个平行四边形的高相等，它们的面积就相等（）

（2）平行四边形底越长，它的面积就越大（）

4、做书上82页2题。

四、体验

今天，你学会了什么？

怎样求平行四边形的面积?

平行四边形的面积计算公式是怎样推导的?

六、板书设计

平行四边形面积的计算

长方形的面积＝长×宽平行四边形的面积＝底×高

S=a×hS=a·h或S=ah

课后反思：

三角形面积的计算

教学目标：

　　1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算．

　　2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力．

　　3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神．

教学重点:

理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积．

教学难点:

理解三角形面积公式的推导过程．

学具准备：

每个学生准备三种类型三角形（每种类型准备2个完全一样的）和一个平行四边形。

教学过程：

一、激发：

1．出示平行四边形

提问：

（1）这是什么图形?

怎样计算平行四边形的面积。

（板书：

平行四边形面积＝底×高）

（2）底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。

（3）平行四边形面积的计算公式是怎样推导的?

2．出示三角形。

三角形按角可以分为哪几种?

3．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?

（揭示课题：

三角形面积的计算）

教师：

今天我们一起研究“三角形的面积”（板书）

二、指导探索

（一）推导三角形面积计算公式．

1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比较它们的大小．

2．启发提问：

你能否依照平行四边形面积的方法把三角形转化成已学过的图形，再计算面积呢？

3．用两个完全一样的直角三角形拼．

（1）教师参与学生拼摆，个别加以指导

（2）演示课件：

拼摆图形

　　（3）讨论

①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我们推导出三角形面积公式吗？

为什么？

②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

4．用两个完全一样的锐角三角形拼．

（1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示）

（2）演示课件：

拼摆图形（突出旋转、平移）

教师提问：

每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

5．用两个完全一样的钝角三角形来拼．

（1）由学生独立完成．

（2）演示课件：

拼摆图形

6．讨论：

（1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？

（2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？

（3）三角形面积的计算公式是什么？

7、引导学生明确：

①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。

②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。

（同时板书）

③这个平行四边形的底等于三角形的底。

（同时板书）

④这个平行四边形的高等于三角形的高。

（同时板书）

（3）三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?

为什么要加上“除以2”？

（强化理解推导过程）

板书：

三角形面积＝底×高÷2

（4）如果用S表示三角形面积，用a和h表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么？

（二）教学例1

红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？

　　1．由学生独立解答．

　　2．订正答案（教师板书）

　　三、质疑调节

（一）总结这一节课的收获，并提出自己的问题．

（二）教师提问：

（1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？

（2）求三角形面积为什么要除以2？

　　四、反馈练习

（一）下面平行四边形的面积是12平方厘米，求画斜线的三角形的面积．

（二）计算下面每个三角形的面积．

　　1．底是4.2米，高是2米；

　　2．底是3分米，高是1.3分米；

3．底是1.8米，高是.1.2米；

（三）判断

1一个三角形的底和高是4厘米，它的面积就是16平方厘米。

（）

2、等底等高的两个三角形，面积一定相等。

（）　

3、两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。

（）　

4、三角形的底是3分米，高是20厘米，它的面积是30平方厘米。

（）

板书设计:

三角形面积的计算

因为：

平行四边形的面积=底×高，例1……

三角形面积=拼成的平行四边形的一半，100×33÷2=1650（cm）

所以三角形面积=底×高÷2

S=ah÷2

课后反思：

梯形面积的计算

教学目标：

1．理解、掌握梯形面积的计算公式，并能运用公式正确计算梯形的面积。

2．发展学生空间观念。

培养抽象、概括和解决实际问题的能力。

3．掌握“转化”的思想和方法，进一步明白事物之间是相互联系，可以转化的。

教学重点：

理解、掌握梯形面积的计算公式。

教学难点：

理解梯形面积公式的推导过程。

教学过程：

1．导入新课

（1）投影出示一个三角形，提问：

这是一个三角形，怎样求它的面积？

三角形面积计算公式是怎样推导得到的？

学生回答后，指名学生操作演示转化的方法。

（2）展示台出示梯形，让学生说出它的上底、下底和各是多少厘米。

（3）教师导语：

我们已学会了用转化的方法推导三角形面积的计算公式，那怎样计算梯形的面积呢？

这节课我们就来解决这个问题。

（板书课题，梯形面积的计算）

2．新课展开

第一层次，推导公式

（1）操作学具

①启发学生思考：

你能仿照求三角形面积的办法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗？

②学生拿出两个完全一样的梯形，拼一拼，教师巡回观察指导。

③指名学生操作演示。

④教师带领学生共同操作：

梯形（重叠）旋转平移平形四边形。

（2）观察思考

①教师提出问题引导学生观察。

a.用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

这个平行四边形的底和高与梯形的底和高有什么关系？

b.每个梯形的面积与拼成的平形四边形的面积有什么关系？

（3）反馈交流，推导公式。

①学生回答上述问题。

②师生共同总结梯形面积的计算公式。

板书：

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

③字母表示公式。

教师叙述：

如果有S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，怎样用字母表示梯形面积的计算公式呢？

学生回答后，教师板书：

“S=（a+b）h÷2”。

第二层次，深化认识。

（1）启发学生回忆平行四边形面积公式的推导方法。

①提问：

想一想平行四边形面积公式是怎样推导得到的？

②学生回答，教师在展示台再现平行四边形面积公式的推导方法。

（2）引导操作。

①学习平行四边形面积时，我们用割补的方法把平行四边形转化成长方形。

能否仿照求平行四边形面积的方法，把一个梯形转化成已学过的图形，