位移与时间的关系学案.docx
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位移与时间的关系学案
3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
[目标定位] 1.了解位移公式的推导过程，理解公式的含义，知道位移对应v－t图象与坐标轴围成的面积.2.会利用公式x＝v0t＋
at2和匀变速直线运动的v－t图象解决有关问题.3.了解匀速直线运动的x－t图象的意义、特点，会用它处理简单的相关问题．
一、匀速直线运动的位移
做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt，在速度图象中，位移在数值上等于v－t图象与对应的时间轴所围的矩形面积．
图2－3－1
想一想：
在上图中，质点在5s内的位移是多大？
答案 速度－时间图象中矩形的面积表示质点的位移，由图可知质点3秒内的位移为3×3＝9（m），后2秒的位移为2×2＝4（m），5秒内的位移是9m＋4m＝13m.
二、匀变速直线运动的位移
1．由v－t图象求位移：
（1）物体运动的速度－时间图象如图2－3－2甲所示，把物体的运动分成几个小段，如图乙，每段位移≈每段起始时刻速度×每段时间＝对应矩形面积．所以整个过程的位移≈各个小矩形面积之和．
图2－3－2
（2）把运动分成更多的小段，如图丙，各小矩形的面积之和，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
（3）把整个过程分得非常非常细，小矩形合在一起形成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
（4）结论：
匀变速直线运动的v－t图象与t轴包围的面积代表匀变速直线运动相应时间内的位移．
2．位移与时间关系式：
x＝v0t＋
at2.
想一想：
如果物体运动的v－t图象如图2－3－3所示，5s内物体的位移是多大？
图2－3－3
答案 根据速度－时间图象面积表示位移，可知物体t时间内的位移等于梯形的面积：
x＝S＝
m＝20m.
三、用图象表示位移（x－t图象）
1．定义：
以时间为横坐标，以位移为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图象叫位移－时间图象．
2．静止物体的x－t图象：
是一条平行于时间轴的直线．
3．匀速直线运动的x－t图象：
是一条倾斜的直线．
想一想：
如果质点的位移－时间图象是一条平行于时间轴的直线，但是在x的负半轴上，这表示质点做什么运动呢？
答案 只要是平行与时间轴的位移－时间图象即表示物体静止．
一、匀变速直线运动的位移公式及有关计算
1．位移时间公式x＝v0t＋
at2的推导
如图2－3－4所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得v－t图象与时间轴所围成的“面积”表示位移．
图2－3－4
速度图线和时间轴所包围的梯形面积为S＝
（OC＋AB）·OA.
与之对应的物体的位移x＝
（v0＋v）t.
由速度公式v＝v0＋at，代入上式得x＝v0t＋
at2.
2．对位移公式x＝v0t＋
at2的理解
（1）适用条件：
匀变速直线运动．
（2）公式x＝v0t＋
at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．
①若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．
②若位移的计算结果为正值，说明位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移的方向与规定的正方向相反．
（3）两种特殊形式：
①当a＝0时，x＝v0t，（匀速直线运动）．
②当v0＝0时，x＝
at2（由静止开始的匀加速直线运动）．
3．用速度—时间图象求位移
图线与时间轴所围成的面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
例1
一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12s，驶过了180m，汽车开始加速时的速度为多少？
解析 以汽车初速度方向为正方向，运动示意图如图所示
由x＝v0t＋
at2得：
v0＝
－
at2
＝
m/s－
×12m/s2
＝9m/s.
答案 9m/s
例2
（2013～2014江苏高一期中）物体由静止开始在水平面上行驶，0～6s内的加速度随时间变化的图线如图2－3－5所示．
图2－3－5
（1）画出物体在0～6s内的v－t图线；
（2）求在这6s内物体的位移．
解析
（1）第1秒内为初速度0的匀加速直线运动，末速度v1＝at＝4m/s，速度－时间图象是倾斜的直线，1～4s加速度为0，速度不变为匀速直线运动，4～6s初速度即第1秒的末速度v1＝4m/s，加速度a′＝－2m/s2，末速度v6＝v1＋a′t＝0，第1秒和最后2秒的速度时间是倾斜的直线，图象如图：
（2）速度－时间图象所围成的面积代表位移，即x＝
m＝18m
答案
（1）如解析图
（2）18m
二、位移时间图象（x－t图象）
1．几种常见的位移－时间图象
（1）静止的物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图2－3－6a.
（2）匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图b.
（3）匀变速直线运动的x－t图象是抛物线，如图c.
图2－3－6
2．对x－t图象的几点说明
（1）纵坐标：
初、末位置的纵坐标差的绝对值表示位移的大小；初、末位置纵坐标差的正负号表示位移的方向；正值表示位移沿正方向；负值表示位移沿负方向．
（2）斜率：
斜率的绝对值表示速度的大小；斜率的正负号表示速度的方向：
斜率为正值，表示速度为正方向；斜率为负，表示速度为负方向．
（3）截距：
纵截距表示物体起始位置，横截距表示物体开始运动的时刻．
（4）交点：
交点表示两物体在同一时刻处于同一位置，即相遇．
3．注意：
（1）无论是v－t图象还是x－t图象都不是物体的运动轨迹．
（2）v－t图象和x－t图象都只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
例3
（2013～2014江西高一期中）如图2－3－7是在同一条直线上运动的A、B两质点的位移－时间图象，由图可知（ ）
图2－3－7
A．t＝0时，A在B后面
B．B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面
C．在0～t1时间内B的运动速度比A大
D．A物体在0～t1做加速运动，之后做匀速运动
解析 由图象可知，t＝0时，B在A后面，故A不对；B物体在t2秒末追上A并在此后跑在A的前面，B正确；在0～t1时间内B的斜率小于A，故B的运动速度比A小，C不对；A物体在0～t1做匀速运动，故D不对．
答案 B
三、刹车类问题
车辆刹车类问题是实际问题，刹车后的车辆可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止．解答此类问题的思路是：
先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝
，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解．
注意：
对于末速度为零的匀减速直线运动，也可采用逆向思维法，即把运动倒过来看成是初速度为零的匀加速直线运动．
例4
一辆汽车以108km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为6m/s2，则从开始刹车经过7s汽车通过的距离是多少？
解析 设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝108km/h＝30m/s，由v＝v0＋at得t0＝
＝
s＝5s
方法一：
可见，汽车刹车时间为5s，之后汽车是静止的．由x＝v0t＋
at2知刹车7s内通过的距离等于刹车5s内经过的位移，由x＝v0t0＋
at
＝30×5m＋
×（－6）×52m＝75m.
方法二：
逆向思维法：
把汽车的运动看做反向的加速运动：
x＝
at
＝
×6×52m＝75m.
答案 75m
匀变速直线运动的位移及有关计算
1．某质点的位移随时间变化的关系是x＝4t＋4t2，x与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是（ ）
A．v0＝4m/s，a＝4m/s2B．v0＝4m/s，a＝8m/s2
C．2s内的位移为24mD．2s末的速度为24m/s
解析 将位移随时间变化的关系与位移公式x＝v0t＋
at2相对照即可判定v0＝4m/s，a＝8m/s2，A错误，B正确．把t＝2s代入公式可得x＝24m，C正确．由于v＝v0＋at，即v＝4＋8t，把t＝2s代入可得v＝20m/s，D错误．
答案 BC
2．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1s末的速度达到4m/s，物体在第2s内的位移是（ ）
A．6mB．8m
C．4mD．1.6m
解析 根据速度时间公式v1＝at，得a＝
＝
m/s2＝4m/s2.第1s末的速度等于第2s初的速度，所以物体在第2s内的位移x2＝v1t＋
at2＝4×1m＋
×4×12m＝6m．故选A.
答案 A
位移－时间图象（x－t图象）
3．（2013～2014湖南高一期中）甲、乙两质点同时开始做直线运动，它们的位移x与时间t的图象如图2－3－8所示，则（ ）
图2－3－8
A．甲物体做匀加速直线运动，乙物体做曲线运动
B．甲、乙两物体从同一地点出发
C．当甲、乙两物体速度相同时，二者之间的距离为零
D．甲、乙两物体有两次相遇
解析 由于图象是x－t图象，过原点的直线表示物体做匀速直线运动，所以甲做匀速直线运动，A不对；甲从原点出发，乙从x0处出发，故B不对；当甲、乙两物体速度相同时，是曲线乙上的切线与甲平行时，由图可以看出，此时二者对应的位移并不相等，故C不对；由图看出，甲、乙有两个交点，故两物体有两次相遇，D是正确的．
答案 D
刹车类问题
4．一辆卡车紧急刹车过程加速度的大小是5m/s2，如果在刚刹车时卡车的速度为10m/s，求：
（1）刹车开始后1s内的位移大小；
（2）刹车开始后3s内的位移大小和3s内的平均速度大小．
解析
（1）x＝v0t1－
at
解得x＝7.5m.
（2）设经时间t0停下
t0＝
＝
s＝2s
t2＝3s的位移大小等于前2s内的位移大小
x2＝v0t0＋
at
＝10m
3s内的平均速度v＝
＝
m/s.
答案
（1）7.5m
（2）10m
m/s
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