教案1022连续型随机变量及其概率密度.docx

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教案1022连续型随机变量及其概率密度

教学对象

管理系505-13、14、15；经济系205-1、2

计划学时

2

授课时间

2006年3月3日；星期五；1—2节

教学内容

第二节连续型随机变量及其概率密度

一、概率密度的概念

二、均匀分布

三、指数分布

教学目的

通过教学，使学生能够：

1、理解概率密度的概念和作用

2、掌握均匀分布

3、了解指数分布

知识：

1、概率密度

2、均匀分布

3、指数分布

技能与态度

1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系

2、会计算均匀分布的概率问题

教学重点

概率密度的概念

教学难点

概率密度的理解

教学资源

自编软件

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见

对授课进度计划

修改意见

对本教案的修改意见

教学资源及学时

调整意见

其他

教研室主任：

系部主任：

教学活动流程

教学步骤、教学内容、时间分配

教学目标

教学方法

一、复习导入新课

复习内容：

（5分钟）

1、分布律的概念

2、二项分布

3、泊松分布

4、作业讲评

导入新课：

（2分钟）

上一节研究了离散型随机变量，它们的取值是有限个或可列无穷多个。

但在许多的随机试验中，随机变量的取值可以是某一区间内的实数，如电池的使用寿命，某一地区的年降水量，它们的取值不是集中在有限或可列无穷多个点上，可以说它们的取值更多，因为它们取值是连续的，因此用离散型随机变量的分布律来研究这类随机变量是无法实现的。

我们只有确定了X在某一区间取值的概率P{a

连续型随机变量是一种重要的非离散型的随机变量。

在这一节中我们要给出连续型随机变量的定义、性质、概率计算，并介绍一些常用的连续型随机变量的分布

巩固所学知识，与技能

引出本节要学习的主要内容

提问讲解

二、明确学习目标（2分钟）

1、理解概率密度的概念和作用

2、掌握均匀分布

3、了解指数分布

三、知识学习（50分钟）

一、连续型随机变量及其概率密度

补充内容：

频率直方图的概念作法，频率密度折线

连续型随机变量的概率密度可由频率直方图的极限形式得到。

此处直接给出定义

1、定义：

对于随机变量X，若存在非负可积函数f（x），（-∞

P{a

，

则称X为连续型随机变量。

f（x）为X的概率密度函数，简称概率密度，或密度函数，或密度。

2、密度函数的性质

（1）f（x）>0

（2）

=P{-∞

说明：

判断一个函数是否能成为某个随机变量的密度函数，以这两条性质为标准进行验证。

由频率密度折线引出概率密度曲线的概念

掌握密度函数的概念

理解性质

掌握几何意义

讲授法

软件演示

3、概率密度函数的几何意义（P25）

由定积分

的几何意义可知：

X在[a，b]内取值的概率P{a

又由于P{x

=f（ξ）△x，（积分中值定理）

如果将连续型X在（x，x+△x）内的取值对应于离散型X在X=ξ处的取值，则有P{X=ξ}=f（ξ）dx，可见f（ξ）dx相当于离散型X的分布律中的pk

需要特别指出：

对于连续型随机变量X来说，它取某一指定的实数值x0的概率为零，即P{x=x0}=0

据此，对连续型随机变量X，有

P{a

即在计算X落在某区间里的概率时，可以不考虑区间是开的、闭的或半开半闭的情况。

这里，事件{X=x0}并非不可能事件，它是会发生的，也就是说零概率事件也是有可能发生的。

不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。

同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。

例1、设随机变量X具有概率密度函数

f（x）=

，

求

（1）常数k，

（2）P{1

解：

（1）由性质2：

=1，有

=1，

说明密度函数的作用

性质应用

作图说明

软件演示

讲授法

得

=1，即

k=1，所以k=

（2）P{1

（3）P{X<1}=

连续型X也有一些常见的分布。

下面先介绍较为简单的分布。

二、均匀分布

定义：

若随机变量X具有概率密度函数

f（x）=

，则称X在区间[a,b]上服从均匀分布，记为X~U（a,b）

在[a,b]上服从均匀分布的随机变量X，具有下述等可能性：

即它落在区间[a,b]中任意长度相同的子区间的概率是相同的，或者说X落在子区间里的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。

事实上对于任一长度为L的子区间（c,c+L]，a≤c

P{c

例2、电视台每隔半小时报时一次，某人在任一时刻打开电视机的可能性相等，求他等候报时少于5分钟的概率。

解：

设等候报时的时间为随机变量X，依题意有：

X~U[0,30]，f（x）=

，

则所求概率为P{X<3}=

说明：

候车时间也服从均匀分布

三、*指数分布

定义：

若随机变量X具有概率密度函数

f（x）=

，其中λ>0是常数，则称X服从以λ为参数的指数分布。

指数分布的应用：

无线电元件的使用寿命，动植物的寿命，随机服务系统的服务时间等都服从指数分布

例5：

设X服从参数为3的指数分布，求

理解均匀分布的概念

举例计算

了解指数分布的概念

讲授法

板书

（1）X的概率密度，

（2）P{X≥1}，（3）P{-1

解：

（1）X的概率密度f（x）=

（2）P{X≥1}=

=

（3）P{-1

=

四、技能学习（20分钟）

例1、设随机变量Y服从（1,6）上的均匀分布，求一元两次方程x2+Yx+1=0有实根的概率。

解：

因为当Δ=Y2-4≥0时，方程x2+Yx+1=0有实根，故所求概率为

P{X2-4≥0}=P{X≥2或X≤-2}=P{X≥2}+P{X≤-2}

而X的密度函数为f（x）=

，

因此所求概率

P{X2-4≥0}=P{X≥2}+P{X≤-2}=

+0=

掌握分布律的性质

教师提问引导学生写出答案

五、态度养成

认真的态度

六、技能训练（16分钟）

例1、设随机变量X具有概率密度f（x）=

，试确定常数A

解：

由

，知A=3

例2：

某种电子元件的使用寿命（单位：

小时）X服从参数为λ=

的指数分布，求下列事件的概率

（1）任取其中一只，正常使用达到1000小时以上

（2）若任取的一只已经使用了1000小时，以后继续使用1000小时以上

解：

X的概率密度f（x）=

（1）P{X≥1000}

通过实际训练，使学生理解样本的写法与含义

学生练习老师巡视，解答问题

=

=

=0.6065

（2）P{X>2000|X>1000}

=

=

=0.6065

本例中的两问概率值相等，这不是巧合，而是指数分布的一个特点：

没有记忆性。

这一特征的一般叙述是：

对于某些寿命相当长的考察对象，在已经有了较长时间T的经历后，能再持续△T的概率与前面的时间T无关。

这相当于忘记了前面时间T中的经历。

有人称指数分布为永远年轻的分布。

七、课堂小结（3分钟）

本节主要讨论了连续型随机变量的研究工具，概率密度函数。

我们可以通过概率密度曲线与某段区间所围图形的面积大小来表示随机变量在某个区间取值的概率。

这样可以方便地研究连续型随机变量。

常用的分布有均匀分布、指数分布，还有第四节的正态分布。

概括总结，帮助学生构建知识体系

简要概括本节内容

八、布置作业（1分钟）

复习本节内容

预习分布函数

P37—10、11、12

巩固所学的知识

培养自学能力

..

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