一元二次方程易错题压轴题集合.docx

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一元二次方程易错题压轴题集合

一．选择题（共2小题）

1．（2011河北区模拟）在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：

甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：

先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该找补给乙多少元（　　）

A．1元B．2元C．3元D．4元

2．（2015株洲）有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

　二．填空题（共5小题）

3．（2016潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于　　　　　　．

4．（2015港南区二模）阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣

，x1x2=

根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则

的值为　　　　　　．

5．（2014贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=　　　　　　秒时，S1=2S2．

6．（2014南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　　　　　　．

7．（2012德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+

）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　　　　　　．

三．解答题（共9小题）

8．（2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

∴x2﹣4＞0可化为

（x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　　　　　　；

（2）分式不等式

的解集为　　　　　　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

9．（2014江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．

（1）求出S关于t的函数关系式；

（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC

（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变证明你的结论．

10．（2013合肥模拟）实验与操作：

小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．

（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为　　　　　　cm2；

（2）如果在第

（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为　　　　　　cm2；

（3）如果把

（1）、

（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a≠1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2如果能，求出a，如果不能，请说明理由．

11．（2011西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打折销售；

②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元．

请问哪种方案更优惠

12．（2012重庆模拟）已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm

（3）在

（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2说明理由．

13．（2012开县校级模拟）某店买进一批运动衣用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件

14．（2011淄博）已知：

ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+

﹣

=0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少

15．（2011安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店2010年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为600万元，占春节销售总收入的40%，该旗舰店预计2012年春节期间各项商品销售总收入要达到2160万元，且计划从2010年到2012年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计2011年春节期间各项商品销售总收入为多少万元

16．（2010春乐安县校级期末）某种产品的年产量不超过1000t，该产品的年产量（t）与费用（万元）之间的函数关系如图

（1）；该产品的年销售量（t）与每吨销售价（万元）之间的函数关系如图

（2）．若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量为多少吨时，当年可获得7500万元毛利润（毛利润=销售额﹣费用）

曹子杨一元二次方程2

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题）

1．（2011河北区模拟）在俄罗斯民间流着这样一道数学趣题：

甲、乙两人合养了若干头羊，而每头羊的卖价又恰与羊的头数相等，全部卖完后，两人按下面的方法分钱：

先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去．为了平均分配，甲应该找补给乙多少元（　　）

A．1元B．2元C．3元D．4元

【分析】先设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10﹣（5+y）=5﹣y元，再根据2y是奇数和偶数两种情况进行讨论即可．

【解答】解：

设甲、乙两人合养了n头羊，两人先分了x次，每人每次10元，最后一次甲先拿了10元，乙拿了2y（0＜2y＜10，2y是整数）元，当甲找给乙钱后，甲乙都得到了（5+y）元，甲给了乙10﹣（5+y）=5﹣y元，

∴有n2=20x+10+2y，

∵（20x+10）个位为0，2y是完全平方数的个位数，2y=1，4，5，6，9，

若2y是奇数，则2y=1，5，或9，

∴20x+10+2y=20x+11，20x+15或20x+19，

∵20x+11、20x+15、20x+19除以4的余数都是3，它们不是完全平方数，

∴2y是偶数，2y=4或6，y=2或3．

若y=2，n2=20x+14=2（10x+7），右边不是完全平方数

∴y=3，

∴甲应该找给乙5﹣3=2（元）钱．

故选：

B．

【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是根据题意设出相应的未知数，得出关于n、x、y的方程，再分类讨论．

2．（2015株洲）有两个一元二次方程M：

ax2+bx+c=0；N：

cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．

【解答】解：

A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；

B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，

＞0，所以a与c符号相同，

＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；

C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+

b+a=0，所以

是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；

D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；

故选：

D．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

△＞0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△＜0方程没有实数根．也考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的定义．

二．填空题（共5小题）

3．（2016潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中x＞y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y=2，则x的值等于　+1　．

【分析】根据三角形的相似很容易证明对应边的相似比，③所在的小直角三角形和，③②构成的大直角三角形相似，根据相似比可求出x值．

【解答】解：

∵三角形相似对应边成比例．

∴

=，

∵y=2．

∴x2﹣2x﹣4=0

解得：

x=1﹣（舍去），x=+1．

故答案为：

+1．

【点评】本题考查理解题意能力，关键是在图中找到相似比构造方程求解．

4．（2015港南区二模）阅读材料：

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=﹣

，x1x2=

根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则

的值为　7　．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据

=

，代入数值计算即可．

【解答】解：

∵x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根，

∴x1+x2=﹣3，x1x2=1．

∴

=

==7．

故答案为：

7．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

5．（2014贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=　6　秒时，S1=2S2．

【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1=2S2，即可列方程求解．

【解答】解：

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，

∴AD=BD=CD=8cm，

又∵AP=t，

则S1=

APBD=

×8×t=8t，PD=8﹣t，

∵PE∥BC，

∴△APE∽△ADC，

∴

，

∴PE=AP=t，

∴S2=PDPE=（8﹣t）t，

∵S1=2S2，

∴8t=2（8﹣t）t，

解得：

t=6．

故答案是：

6．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．

6．（2014南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于　4　．

【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0，即可确定出最小值．

【解答】解：

∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，

∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，

则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．

故答案为：

4．

【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

7．（2012德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+

）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是　3＜k≤4　．

【分析】根据原方程可得出：

①x﹣1=0，②x2﹣2x+

=0；根据根与系数的关系，可求出②方程的x1+x2和x1﹣x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围．

【解答】解：

由题意，得：

x﹣1=0，x2﹣2x+

=0；

设x2﹣2x+

=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n=2，mn=

；

m﹣n=

=

；

根据三角形三边关系定理，得：

m﹣n＜1＜m+n，即

＜1＜2；

∴

，解得3＜k≤4．

【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系以及三角形三边关系定理．

三．解答题（共9小题）

8．（2012湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：

解一元二次不等式x2﹣4＞0

解：

∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）

∴x2﹣4＞0可化为

（x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，

解不等式组②，得x＜﹣2，

∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，

即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　x＞4或x＜﹣4　；

（2）分式不等式

的解集为　x＞3或x＜1　；

（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．

【分析】

（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；

（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；

（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；

【解答】解：

（1）∵x2﹣16=（x+4）（x﹣4）

∴x2﹣16＞0可化为

（x+4）（x﹣4）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞4，

解不等式组②，得x＜﹣4，

∴（x+4）（x﹣4）＞0的解集为x＞4或x＜﹣4，

即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4．

（2）∵

∴

或

解得：

x＞3或x＜1

（3）∵2x2﹣3x=x（2x﹣3）

∴2x2﹣3x＜0可化为

x（2x﹣3）＜0

由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得

或

解不等式组①，得0＜x＜

，

解不等式组②，无解，

∴不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜

．

【点评】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．

9．（2014江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．

（1）求出S关于t的函数关系式；

（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC

（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变证明你的结论．

【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=

QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．

【解答】解：

（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t

∴

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10

∴

（4分）

（2）∵S△ABC=

（5分）

∴当t＜10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）

当t＞10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）

∴当点P运动

秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

证明：

过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．

又∵EM=AC=10∴DE=5

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

同理，当点P在点B右侧时，DE=5

综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．

10．（2013合肥模拟）实验与操作：

小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4cm的正方体．

（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为　110　cm2；

（2）如果在第

（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为　118　cm2；

（3）如果把

（1）、

（2）中的边长为1cm的通孔均改为边长为acm（a≠1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118cm2如果能，求出a，如果不能，请说明理由．

【分析】

（1）打孔后的表面积=原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积．

（2）打孔后的表面积=图①中的表面积﹣4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积．

（3）根据

（1）

（2）中的面积计算方法，用a表示出图①和图②的面积．然后让用得出的图②的表面积=118计算出a的值．

【解答】解：

（1）表面积S1=96﹣2+4×4=110（cm2），故填110；

（2）表面积S2=S1﹣4+4××2=118（cm2），故填118；

（3）能使橡皮泥块的表面积为118cm2，理由为：

∵S1=96﹣2a2+4a×4，S2=S1﹣4a2+4×4a﹣4a2

∴96﹣2a2+16a﹣8a2+16a=118

96﹣10a2+32a=118

5a2﹣16a+11=0

∴a1=，a2=1

∵a≠1，＜4

∴当边长改为cm时，表面积为118cm2．

【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．

11．（2011西宁）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价．商品房销售价格明码标价后，可以自行降价、打折销售，但涨价必须重新申报．某市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于新政策的出台，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：

①打折销售；

②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月元．

请问哪种方案更优惠

【分析】

（1）关系式为：

原价×（1﹣降低率）2=现在的价格，把相关数值代入后求得合适的解即可；

（2）①费用为：

总房价××平米数；

②费用为：

总房价，把相关数值代入后求出解，比较即可．

【解答】解：

（1）设平均每次下调的百分率为x．

5000×（1﹣x）2=4050．

（1﹣x）2=，

∴1﹣x=±，

∴x1==10%，x2=（不合题意，舍去）．

答：

平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案一的总费用为：

100×4050×=396900元；

方案二的总费用为：

100×4050﹣2×12××100=401400元；

∴方案一优惠．

【点评】主要考查了一元二次方程的应用；掌握增长率的变化公式是解决本题的关键．

12．（2012重庆模拟）已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm

（3）在

（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2说明理由．

【分析】

（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．

（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；

（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．

【解答】解：

（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6

×（5﹣x）×2x=6

整理得：

x2﹣5x+6=0

解得：

x=2或x=3

答：

2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2

（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，

∴（5﹣t）2+（2t）2=52，

5t2﹣10t=0，

t（5t﹣10）=0，

t1=0，t2=2，

∴当t=0或2时，PQ的长度等于5cm．

（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，

×（5﹣x）×2x=8

整理得：

x2﹣5x+8=0

△=25﹣32=﹣7＜0

∴△PQB的面积不能等于8cm2．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．

13．（2012开县校级模拟）某店买进一批运动衣用了1000元，每件按10元卖出，假如全部卖出这批运动衣所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进11件运动衣所用的款，求这批运动衣有多少件

【分析】设这批运动衣有x件，则根据题中的关系，买进一批运动衣共用了1000元，则每件衣服为元，又每件按10元卖出，则利润为10x﹣1000，可以列出方程

，从而解出其中x的值（负数舍去）．

【解答】解：

设这批运动衣有x件，则

方程两边同乘以x则变形为

10x2﹣1000x﹣1000×11=0

解得：

x1=110，x2=﹣10（舍去）

答：

这批运动衣有110件．

【点评】做此类应用题时，要明确题目中所给的信息，并找到其中相等的量可以用不同的表达式表示就可以列出方程．

14．（2011淄博）已知：

ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+

﹣

=0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少

【分析】

（1）让根的