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一次函数

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

●结合实例，了解常量、变量和函数等相关概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.

●通过一定的探索活动，探索并理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

重点难点：

●重点：

理解函数、正比例和一次函数的概念，掌握一次函数及正比例函数的图象、性质。

●难点：

对函数概念的理解及对函数模型思想的应用

学习策略：

●通过实例了解一次函数和正比例函数概念，解析式的形式及图象的特征，并总结图象特征与关系式的联系和规律，经过思考、尝试，知道一次函数不同表达形式的相互转化，及图象的简单画法。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）在一个变化过程中，我们称数值　　　　　　　　的量为变量；

在一个变化过程中，我们称数值　　　　　　　　的量为常量.

（二）长方形相邻两边长分别为x、y，面积为10，则用含x的式子表示y为　　　　　　　　，则这个问题中，　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　是常量；　　　　　　是变量．

（三）一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是　　　　　　，y是x的　　　　　　．如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的　　　　　　　　．

（四）已知三角形底边长为8，高为h，三角形的面积为s，则s与h的函数关系式为　　　　　　　　，其中自变量是　　　　　　，自变量的函数是　　　　　　。

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

详细内容请参看网校资源ID：

#tbjx5#205064

知识点一：

函数的概念

在某变化的过程中有　　　　个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有　　

　　　　确定的值与它对应，那么称x是　　　　　　，y是x的　　　　　　．（理解函数概念把握三点：

①　　　　　　　　，②　　　　　　　　，③　　　　　　

　　。

判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据）

知识点二：

一次函数与正比例函数的定义

（1）一般地，形如　　　　　　　　　　　　　的形式，则称y是x的一次函数；

（2）特别地当　　　　　　时，即形如　　　　　　　　　的函数，叫做正比例函数，其中k叫做　　　　　　　　　。

（3）显然，正比例函数是　　　　　　　，而一次函数　　　　　（一定或不一定）是正比例函数，而正比例函数是一次函数的　　　　　情况。

知识点三：

一次函数与正比例函数的图象

正比例函数y=kx（

）的图象经过点（0，　　）（1，　　）的一条直线，一次函数y=kx十b（k，b为常数，

）的图象经过点（　　　，b）（　　　，0）的一条直线，具体的见下表：

图象

k>0

k<0

正比例函数y=kx（

）

一次函数y=kx十b

（

）

b>0

b<0

b>0

b<0

知识点四：

正比例函数、一次函数的性质

（1）正比例函数的性质：

y=kx（k为常数，

）的图象是一条经过　　　　的直线，也可称直线　　　　；当k>0时，y随x的增大而　　　　，且直线y=kx过　　、　　象限，图象　　　　；当　　　　时，y随x的增大而减小，且直线y=kx过　　、　　象限，图象　　　　。

（2）一次函数的性质：

一次函数　　　　　　　　　　　　　　　　　也可称直线y=kx十b；与正比例函数有相同的性质即当　　　　时，y随x的增大而增大，当

　　　　时，y随x的增大而减小．

知识点五：

一次函数表达式的确定

一次函数表达式的确定通常有下列几种情况：

（1）　　　　　　　　：

根据直线上两点坐标列出方程组确定k，b，求出一次函数表达式．

（2）根据图象求出一次函数表达式．

知识点六：

函数的三种表示方法：

列表法、图像法、解析式法

（1）　　　　　　——用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；

（2）　　　　　　——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系；

（3）　　　　　　——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合，叫做这个函数的　　　　。

注：

函数的三种表示方法各有优缺点，往往根据解决问题的需要而选择其中的一种或几种，给出了函数解析式，可以通过计算，列出反映两个变量的对应关系的数值表，根据所列出的表，得到表示函数关系的有序数对，便可描点画出图象.但用列表或图象法表示的函数，　　　　（一定或不一定）有一个解析式，如某地一天中气温随时间变化的函数，不能用解析式表示函数关系.而一次函数这三种方法都可以用，但通常用解析式法和图象法，求一次函数的解析式一般用待定系数法，画一次函数的图象只要找到直线上的　　　个点，就可画出。

知识点七：

确定函数解析式应具备的条件

（1）由于正比例函数y=kx（k为常数，

）中只有一个待定系数　　　　，故只要有　　对x，y的值或　　个点，就可以求得　　值；

（2）一次函数y=kx十b中有两个待定系数　　　　,需要两个独立条件确定两个关于k,b的方程，这两个条件通常为　　个点或　　对x,y的值。

经典例题——自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID：

#jdlt0#205064

类型一：

自变量的取值范围

例1.

小强要制作一个周长为80cm的等腰三角形，请你写出底边长y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

思路点拨:

腰长x、底边长y要　　　0，同时还要注意两腰之和2x　　　底边长y.

解析：

举一反三：

【变式1】函数y＝

中，自变量x的取值范围是　　　　　　．

答案：

☆【变式2】一报亭从报社订购某晚报的价格是每份0．7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸还可以以每份0．2元的价格退回报社，在一个月内（以30天计算）有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x，每月所获利润为y（元）．

（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；

（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？

最大利润是多少？

答案：

类型二：

函数图象的应用

例2.图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）汽车共行驶了　　　　　　km；

（2）汽车在行驶途中停留了　　　　　　h；

（3）汽车在整个行驶过程中的平均速度为　　　　　　km/h；

（4）汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是　　　　　　.

思路点拨:

读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中　　　　　　　变化过程，横轴代表　　　　　，纵轴代表　　　　　　　　.图象上的最高点就是　　　　　　　　的距离.汽车来回一次，共行驶了　　　　　　，整个过程用时　　　小时，平均速度为　　　　　　　　（千米/时），行驶途中　　　　　　之间汽车没有行驶.

解析：

总结升华：

举一反三：

☆【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。

答案：

☆【变式2】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：

根据图象解答下列问题：

（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？

清洗时洗衣机中的水量是多少升？

（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.

①求排水时y与x之间的关系式；

②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.

分析：

依题意解读图象可知：

从分钟在进水，分钟在清洗，此时，洗衣机内有水升，15分钟后开始.

解：

类型三：

一次函数的解析式

例3.下列函数中，哪些是一次函数？

哪些是正比例函数？

（1）y=-

x；

（2）y=-

；（3）y=-3-5x；

（4）y=-5x2；（5）y=6x-

（6）y=x（x-4）-x2.

思路点拨:

本题主要考查对一次函数及正比例函数的概念的理解．

解析：

总结升华：

举一反三：

【变式1】当m为何值时，函数y=-（m-2）x

+（m-4）是一次函数？

分析：

某函数是一次函数，除应符合外，还要注意条件．

解：

【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y的值；

（3）当y=4时，求x的值．

答案：

类型四：

函数解析式的求法

☆例4.求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

思路点拨:

图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为，则可设此表达式为，再将点代入，求出即可．

解析：

举一反三：

【变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．

分析：

题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式，再由已知条件可知，．求出即可．

解：

【变式2】已知直线y=2x+1．

（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．

解：

【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．

分析：

由于确定一条直线，故选取其中，求经过这的函数表达式，再把点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．

解：

类型五：

一次函数的性质

☆☆例5.己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．

思路点拨:

设函数的图象与y轴交于点B（），则=

由△AOB的面积，可求出，又由点A在直线上，可求出并由函数的性质确定　取值．

解析：

举一反三：

【变式1】已知关于x的一次函数

．

（1）m为何值时，函数的图象经过原点?

（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?

（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?

（4）m为何值时，y随x的增大而减小？

答案：

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。