高二数学下 126《双曲线的性质》教案1 沪教版.docx

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高二数学下126《双曲线的性质》教案1沪教版

2019-2020年高二数学下12.6《双曲线的性质》教案

（1）沪教版

一、教学内容分析

本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.

本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.

二、教学目标设计

本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.

三、教学重点及难点

重点：

双曲线的性质.

难点：

双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.

四、教学流程设计

五、教学过程设计

一、复习引入

1．观察

复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中的意义（与椭圆对比）

2．思考

（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？

[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.

3．讨论

研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？

二、学习新课

1．概念辨析

以双曲线标准方程，为例进行说明.

1．范围:

观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：

双曲线在两条直线的外侧.

从双曲线的方程如何验证？

由标准方程可得，当时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

2.对称性：

双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心

3．顶点：

双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.（结合图形），所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，它们是双曲线的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长

而在方程中令x=0得，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点，在双曲线中也有非常重要的作用把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长

归纳：

顶点：

特殊点：

实轴：

长为2a，a叫做半实轴长.

虚轴：

长为2b，b叫做虚半轴长.

注意：

名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异

4．

渐近线：

经过作轴、轴的平行线，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为.

（1）定义：

如果有一条直线使得当曲线上的一点沿曲线无限远离原点时，点到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；

（2）直线与双曲线在无穷远处是否相交？

解：

不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分

与直线的位置关系;

设是

上的点，是直线上与有相同横坐标的点，则,

，∴在的下方.

∴

，是关于的减函数，∴无限增大时，无限趋近于，而到直线的距离，∴无限增大时，也无限趋近于，但永不相交.其他象限类似证明；

（3）求法：

在方程中，令右边为零，则，得渐近线方程即；

若方程为，则渐近线方程为.

2．问题拓展

（一）等轴双曲线

1、定义：

若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

2、方程：

或.

3、等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

；

（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：

当时交点在轴，当时焦点在轴上.

例：

等轴双曲线的两个焦点在直线上，线段的中点是原点，分别写出等轴双曲线和两条渐近线的方程.

（二）共轭双曲线

1、定义：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

2、方程：

（1）的共轭双曲线为；的共轭双曲线为;

（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为或;

3、性质：

有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；

4、注意：

（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如和；

（2）与（a≠b）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；

例如：

分清①、与②、③、④、⑤之间的关系.

（三）共渐近线的双曲线系方程

问题

（1）与;

（2）与的区别?

（1）不同（互换）相同，焦点所在的坐标轴也变了,但二者具有相同的渐近线（共轭双曲线）;

（2）不同,不同，焦点所在的坐标轴未变且二者具有相同的渐近线.由此:

双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则很多.

问题:

共用同一对渐近线的双曲线的方程具有什么样的特征？

如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：

或写成.

当时交点在x轴，当时焦点在y轴上.

即:

双曲线（）与双曲线有共同的渐近线.

证明：

若，则双曲线方程可化为，渐近线，双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同；

若，则双曲线方程可化为，渐近线，即，又∵双曲线的渐近线方程为，

∴两双曲线渐近线相同，所以，原命题结论成立.

[说明]与双曲线（）有共同渐近线的所有双曲线方程为（）．

3．例题分析

1、若双曲线以为渐近线,根据下列条件，分别求双曲线标准方程.

（1）且实轴长为；

（2）过点；（3）一个焦点坐标为.

解：

（1）设双曲线方程为,

当时焦点在x轴上，，双曲线方程;

当时焦点在y轴上，，双曲线方程;

（2）设双曲线方程为

将代入得，双曲线方程

（3）设双曲线方程为，因为焦点坐标为，所以，，双曲线方程为.

2、

（1）求双曲线的两条渐近线包含双曲线的部分所成的角；

（2）焦距为，两条渐近线包含双曲线的部分所成角为，求双曲线标准方程.

解：

（1）渐近线方程为，

，;

（2）当焦点在轴上时，方程为;

当焦点在轴上时，方程为.

三、巩固练习

1、中心在原点，一个焦点为（3，0），一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是.

2、求与双曲线共渐近线且过的双曲线的方程.

3、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.

4、以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是.

四、课堂小结

双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线的渐近线是，但反过来此渐近线对应的双曲线则是

或写成.

五、作业布置

1、习题册P363，4，5，6，7

2、补充作业

（1）求方程mx2＋ny2＋mn=0（m

翰林汇3

（2）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，求双曲线方程.

（3）求以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程.

七、教学设计说明

1．研究双曲线的性质的方法和研究椭圆的方法是类似的，所以采用类比的教学方法，让学生在已有经验的基础上，研究双曲线并得出结论，比较两者之间的异同.这样可以激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题的能力.

2．渐近线是双曲线所特有的，证明双曲线上的点到渐近线的距离越来越接近于零，是本节的难点.已知双曲线方程求渐近线方程，或已知渐近线方程求双曲线方程是本节需要熟练应用的内容，所以引导学生研究了共渐近线的双曲线系方程，加深学生对渐近线的认识.

3．等轴双曲线和共轭双曲线是两类比较特殊的双曲线，通过研究可以使学生进一步熟悉双曲线的性质，开拓视野.

2019-2020年高二数学下12.7《抛物线的标准方程》教案

（1）沪教版

　一、教学内容分析

本节研究的是抛物线，是解析几何基本思想方法的又一次应用.我们从研究已经熟悉的抛物线的性质入手，概括出了抛物线的定义；运用坐标的观点，选取适当的平面直角坐标系，求得了抛物线标准方程的四种形式.其重点和难点是抛物线定义的得出和求解抛物线标准方程.

从二次函数图像——抛物线上任意一点到已知点和已知定直线的距离相等着手，再去研究满足到一个定点和到一条定直线的距离相等的点一定在抛物线上，得出抛物线的定义。

这种从必要条件中寻找充要条件的想法是一种重要的数学思想方法，它可以使寻找范围大大缩小.从研究抛物线性质入手概括抛物线定义的过程中，对坐标轴的选取作了提示，不仅可以免除硬性规定坐标系的选法，而且还可以发展学生的联想对比能力.

　在求抛物线的标准方程这一过程中，可以使学生体会解析几何将几何问题代数化的基本思想，培养用已知解释未知以及分析、解决问题的能力.

二、教学目标设计

1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程.

2、通过对抛物线概念和标准方程的学习，体验解析法，形成分析和概括的能力.

3、通过对抛物线问题的分析和解决，形成良好的学习和思维习惯，初步形成勇于探索、严谨细致的科学态度.

三、教学重点及难点

抛物线的概念、抛物线标准方程.数形结合思想方法在概念理解与解题中的运用.

四、教学流程设计

五、教学过程

（一）抛物线的定义

1．引入课题

我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种曲线，今天学习第四种曲线——抛物线.同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨迹，在函数中，二次函数的图像也被称之为抛物线.

问题1：

抛物线是满足什么条件的动点的轨迹？

我们知道圆、椭圆、双曲线的几何性质都是由距离刻画的，那么抛物线上的点的性质能否用距离来刻画呢？

我们可以从考察最简单的二次函数的图像入手来探索这个问题.

问题1．1二次函数图像上的点具有怎样的几何性质？

2

发现，图像上的点到定点F（）的距离等于到直线y=的距离.

那么，到定点F（）的距离与直线y=的距离相等的点是否都在二次函数的图像上？

因为以上各步可逆所以答案是肯定的.

问题1．2是否所有的二次函数的图像都具有类似的几何性质？

我们只要看，能否作类似的变形即可.

，可以看到，抛物线y=上所有点到定点与定直线相等.

问题1．3函数图像上的点呢？

由的图像平移而得.其几何特性不变.

所以抛物线上任意一点到已知定点和定直线的距离相等.

由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？

目前尚不能.轨迹必须既满足纯粹性，又满足完备性，这里知证明了抛物线上的点所具有的几何性质，还未证明其完备性.（证略）

我们还可以作一个直观的演示：

把一根直尺固定在画图板内直线的位置上；把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘；把一条绳子的一端固定在三角板的另一条直角边上的一点A，截取绳子的长等于从点A到直线的距离AC，并且把绳子的另一端固定在画图板的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线.

问题1．4能否从几何的角度来概括抛物线定义？

定义：

平面内与一个定点F和一条定直线（定点F不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.

思考：

如果定点F在定直线上，动点的轨迹是什么？

（二）抛物线的标准方程

问题2如何求抛物线的标准方程？

设定点F到定直线的距离为（定点不在定直线上），下面，我们来求抛物线的方程.

问题2.1首先要建立直角坐标系，如何建立直角坐标系？

以对称轴为x轴，原点定在何处？

由学生思考：

可能出现的结果：

（1）

（2）（3）

可供选择的原点的位置：

一、准线与对称轴交点，二、焦点，三、前述两点的中点.

问题2.2如何分别求出不同坐标系下抛物线方程?

（注意求轨迹方程的五个步骤）

（1）以准线为y轴：

（2）以焦点为原点：

（3）以顶点为原点：

（1）和

（2）中的方程都含有常数项，而（3）的形式更简单.

我们按上述第三种方法（如图３），取经过且垂直于准线的直线为轴，轴与相交于，以线段的中垂线为轴，且使位于轴正半轴，建立直角坐标系，所得到的方程叫做抛物线的标准方程.其中是焦点到准线的距离.

问题2.3顶点在原点，焦点在y轴正半轴，焦点在x轴负半轴，焦点在y轴负半轴.你能写出这三种情况下抛物线的方程吗？

除了按定义推导外，有没有简单的方法？

选择焦点在y正半轴，定点在原点的抛物线，求它的方程.

（1）

（2）坐标变换.对于，若是将它的坐标逆时针旋转，得到的抛物线的方程：

.

同理也可以求出其它情况，完成下列表格：

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

（0,0）

x轴

（,0）

（0,0）

x轴

（-,0）

（0,0）

y轴

（0,）

（0,0）

y轴

（0,-）

我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程.

由列表知，若给出抛物线标准方程，就可以找到抛物线的焦点坐标与准线方程，反之，若抛物线顶点在原点，已知焦点坐标或准线方程（取其一）就可以写出抛物线标准方程.

问题2.4回到最初的问题，y=x222222的图像是怎样的抛物线呢？

y=x222222的图像是顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线。

请学生写出焦点坐标与准线方程.

巩固练习：

如果将方程改为y=-2x2呢？

写出它的焦点坐标与准线方程.如果该曲线上有一点到焦点的距离是4，试问，它到y轴的距离是多少？

你能求出它的坐标吗？

（三）小结与作业

1）小结

回顾本节课的学习过程，请学生作一小结.

我们从一个熟悉的二次函数出发，通过探究二次函数的图像的几何特性，学习了抛物线的定义，为抛物线建立了四种形式的标准方程.为什么把这种性质的曲线称为抛物线呢？

因为抛射物体的轨迹也具有这种性质.

2）习题册1，2，3，4

3）