初中数学课本上隐藏的知识点与易错知识.docx
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初中数学课本上隐藏的知识点与易错知识
初中数学课本上隐藏的知识点与易错知识
几何篇
●平行四边形（实用度：
★★）
两边长为a和b，两对角线长为m和n，可以拿这个公式和托勒密定理对比记忆。
●三角形
A.勾股数（实用度：
★★）
常见的最简勾股数有：
3、4、5
5、12、13
8、15、17
7、24、25
9、40、41
B.面积公式（实用度：
★★）
边角边公式：
利用两边及其夹角求面积。
S=1/2SinB*ac。
两边对应于ac,夹角是B,
边边边公式
公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积。
PS：
几何中的三角形面积公式只需要记这两个个，其他的公式连竞赛都很难用得上。
C.三角恒等式（实用度：
★）
这几个公式对于初中来说确实没什么用，很少能用到。
不过如果有兴趣，记下来了，高中需要背的时候就会少一些麻烦。
D.正余弦定理（实用度：
★★）
在遇到45度、60度、75度之类的非直角三角形题目时，我们可以用上这两个公式。
其他时候很少能用得上。
所以要记得：
E.重心（质量法）（实用度：
★★★）
三角形的重心将中线分为2：
1的两段。
质量法：
（填空压轴题重点！
！
）
两个小球A、B，如果质量相等，如
（1），那么它们的重心是AB的中点D。
如果质量不等，质量比为m/n，如
（2），那么重心D仍在AB上，而AD/DB=n/m。
（即杠杆原理）
如果三个质量相等（都等于1）的小球A、B、C构成三角形ABC要求它们的重心可以分为两步：
先求出B、C的重心，即B、C的中点D，可以用质量为2（=1+1）的小球放在D点，以取代B、C两个小球。
再求A、D的重心，由于D处的质量为2，A处的质量为1，所以重心G在AD上，且分AD为2：
1（即AG：
GD=2：
1）。
下面，我们举一个简单的例子。
例：
如图△ABC，AB上有一点E，BC上有一点D，AD交CE于点G，当AE：
EB=1：
2，BD：
DC=1：
2时，AG：
GD等于多少？
解：
我们在C处放质量为1的小球，B处放质量为2的小球，A处放质量为4的小球。
此时AB、BC的重心E、D满足AE：
EB=1：
2，BD：
DC=1：
2。
我们将B、C的质量集中在D点，质量为3。
A点质量为4。
故AG：
GD=3：
4
同样如果需要，我们可以求得EG：
GC=1：
6
●圆
A.弦切角定理（实用度：
★★）
解释：
顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
如图所示，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。
定理：
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
在上图中，我们有∠TCB=∠CAB、∠PCA=∠CBA
B.圆幂定理（实用度：
★★★）
相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的统称。
①相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图I，即有AP·PB=CP·PD
②割线定理：
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，
如图II，即有PA·PB=PC·PD
③切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图III，即有PA^2=PC·PD
④切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
如图IV，即有PA=PC
C.托勒密定理（实用度：
★★）
圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
如图，即有AB·CD+AD·BC=AC·BD
D.四点共圆（实用度：
★★★）
（填空压轴题重点！
！
）
①对角互补的四边形四点共圆。
∠ADC+∠ABC=180度
②一个角的对角等于其补角的四边形四点共圆。
∠ADC=∠EBC
③同底、同侧且对底边张等角的四点共圆。
∠ADB=∠ACB
④相交弦定理的逆定理。
AP·PC=BP·PD
⑤割线定理的逆定理。
PA·PB=PC·PD（图中未给出）
⑥托勒密定理的逆定理AB·CD+AD·BC=AC·BD
⑦西姆松定理及逆定理。
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
西姆松定理的逆定理为：
若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
上述定理的核心之处就在于各个定理通过四点共圆和相似三角形联系在一起。
我们举一个例子进行练习。
例：
如图，△ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，连接AE、BE，∠BEC=60度，若AE=3，CE=7，则BE=________。
解：
因为△ABC为等边三角形，
所以∠BAC=∠BEC=60度，
所以A、E、B、C四点共圆
由托勒密定理可得：
AB·CE=AC·BE+AE·BC，
因为AB=AC=BC，
所以CE=AE+BE，
所以BE=CE-AE=4
解析几何篇
●点线之间的距离（实用度：
★★★）
A.点与点
对于点（x1，y1）和点（x2，y2），距离
两点的中点坐标
过两点的直线斜率
B.点与线
对于点（x0，y0）和线y=kx+b，距离
C.线与线
对于线y=kx+b1和线y=kx+b2（注意k必须相等，即平行线才有距离），距离
●三角形的面积公式（实用度：
★★★）
对于一个点在原点，另两个点分别为（x1，y1）和（x2，y2）的三角形面积为
代数篇
●立方公式（实用度：
★）
●头同尾合十（实用度：
★★★）
名词解释
例如28*22，两个两位数，十位数字2相同，个位数字8+2=10，故称头同尾合十。
巧算方法
尾数相乘，得出的答案占后两位；头乘（头+1），占前一位到两位，就可以得出积。
比如28*22，尾数相乘：
2*8=16，2*（2+1）=6，依次排序就是616。
用法
85*85，口算时，为8*（8+1）=72，5*5=25，一边算一边写就得出了答案7225。
47*45，口算时，折分成（45+2）*45来计算。
45*45=2025，在脑子里对2025加上90，即得2115。
PS：
这个是小学速算，本质是整式的乘法。
小学时也学过不少别的技巧，不过感觉这个最实用，尤其是对于35^2，65^2之类，效果很好，初中高中都能用到，能省半分钟时间且没有算错的可能，也就没有了验算的麻烦。
初中数学易错知识
01
数学式
陷阱1：
在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。
常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。
陷阱2：
要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。
陷阱3：
注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。
陷阱4：
非负数的性质：
若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：
绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。
陷阱5：
五个基本数的混合运算：
0指数，基本三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简，这些需牢记。
陷阱6：
科学计数法中，精确度和有效数字的概念要清楚。
02
方程与不等式
陷阱1：
运用等式性质解方程时，切记等式两边不能直接约去含有未知数的公因式，必须要考虑约去的含有未知数的公因式为零的情形。
陷阱2：
常在考查不等式的题目时候埋设关于性质3的陷阱，许多人因忘记改变符号的方向而导致结果出错。
陷阱3：
关于一元二次方程中求某参数的取值范围的题目中，埋设二次项系数包含参数这一陷阱，易忽视二次项系数不为0导致出错。
陷阱4：
解分式方程时，首要步骤是去分母，分数相当于括号，易忘记最后对根的检验，导致运算结果出错。
陷阱5：
关于一元一次不等式组有解无解的条件，易忽视相等的情况；利用函数图象求不等式的解集和方程的解时，注意端点处的取值。
03
函数
陷阱1：
关于函数自变量的取值范围埋设陷阱。
注意：
①分母≠0，二次根式的被开方数≥0，0指数幂的底数≠0；②实际问题中许多自变量的取值不能为负数。
陷阱2：
根据一次函数的性质（或者实际问题、动点问题等）判断函数的图象出错，一次函数图象性质与k、b之间的关系掌握不到位。
陷阱3：
二次函数y=ax2+bx+c的图象位置和参数a,b,c的关系。
常在选择题中的压轴题来考查。
陷阱4：
在有些函数或方程的表述形式上埋设陷阱，如表述为“函数y=ax2+bx+c”，这里因为没有特别注明是二次函数，所以一定要注意当a=0的情况，如表述为“方程ax2+bx+c=0”，则该方程不一定为一元二次方程，故还要考虑当a=0的情况。
陷阱5：
在关于二次函数的应用题中，常见陷阱是当y取得最值时，自变量x不在其范围内。
陷阱6：
根据反比例函数性质比较大小时，要注意看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上，则直接利用正负情况比较大小；若在同一分支上，则利用增减性判断；若未明确点所在象限，要分类讨论。
04
三角形
陷阱1：
三角形三边之间的不等关系，注意其中的“任何两边”。
最短距离的方法。
陷阱2：
在论证三角形全等、三角形相似等问题时，对应点或者对应边容易出错。
注意边边角（SSA）不能证两个三角形全等。
陷阱3：
关于等腰三角形的陷阱比较多，并且几乎每年必考，如在解决仅告诉某三角形是等腰三角形，而没有具体说明哪两条边是腰、那两个角是底角的计算与证明问题时，注意需分类讨论。
陷阱4：
运用勾股定理及其逆定理计算线段的长、证明线段的数量关系、解决与面积有关的问题以及简单的实际问题时，注意先确定直角或者斜边，如不能确定，需分类讨论。
陷阱5：
涉及三角形面积时，确定底边对应的高容易出错（特别拿钝角三角形为陷阱诱导考生出错）。
05
四边形
陷阱1：
平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
如利用性质“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”时，注意“同一组对边”这个关键词。
陷阱2：
常通过条件中没有给出图形这一方法埋设陷阱，大家要善于利用已知条件画出所有可能的情形，当题目中有不确定的已知条件时，要注意分类讨论。
防止在解题过程中只看到一种情形，要注意全面考虑。
陷阱3：
四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题，注意其中的不变与变化。
06
圆形
陷阱1：
对弧、弦、圆周角等概念理解不深刻，特别是弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，两条弦之间的距离也要考虑两种情况。
陷阱2：
考查圆与圆的位置关系时，相切有内切和外切两种情况，包括相交也存在两圆圆心在公共弦同侧和异侧两种情况，许多人容易忽视其中的一种情况。
陷阱3：
圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
07
对称图形
陷阱1：
图形的轴对称或旋转问题，要充分运用其性质解题，即运用图形的“不变性”，如在轴对称和旋转中角的大小不变，线段的长短不变。
陷阱2：
将轴对称与全等混淆，关于直线对称与关于轴对称混淆。
08
统计与概率
陷阱1：
求概率的方法：
（1）简单事件；
（2）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：
利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（3）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
陷阱2：
判断是否公平的方法是判断概率是否相等，注意频率与概率的联系与区别。
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