031矩形菱形正方形D.docx
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031矩形菱形正方形D
一、选择题
1.（2014广西河池，8，3分）在□ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出□ABCD是矩形,那么这个条件是（）
A.AB=BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
答案:
B
2.（2014来宾，6，3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是
A.8B.4
C.8
D.16
【答案】A.
3.（2014广西省崇左市，8，3分）下列说法正确的是（）
A．对角线相等的平行四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．有一个角是直角的平行四边形是菱形
【答案】B
4.（2014广西省梧州市，10，3分）如图1，在
中，对角线AC、BD交于点O，并且∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，点E是AD上一动点，延长EO交BC于点F。
当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D、点A不重合），则四边形AFCE的变化是（）
（A）.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
（B）.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
（C）.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
（D）.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】B
5.（2014湖南湘西州，16，4分）下列说法中，正确的是（）
A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直
【答案】C．
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二、填空题
1.（2014年辽宁省葫芦岛，15，3分）如图7，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上任一点．若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值为．
【答案】3
2.（2014辽宁锦州，15，3分）菱形ABCD的边长为2，
E是AD边中点，点P是对角线BD上的动点，当AP+PE的值最小时，PC的长是__________．
【答案】
3.（2014山东济南，20，3分）如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于__________.
【答案】4或8
4.（2014内蒙古通辽，16，3分）如图：
在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,点E是BC边上的一点，连接AE把∠B沿AE折叠，是使点B落在点
处，当
为直角三角形时，BE长为____________
【答案】3或
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三、解答题
1.（2014来宾，22，8分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规做图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：
DE=BF．
【答案】解：
（1）答题如图：
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO=DO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴DE=BF．
2.（2014钦州市，20，7）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF.求证CE＝DF.
第20题
【答案】证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠DCB＝90°,
∵AE＝BF，
∴BE=CF，
∴△EBC≌△FCD（SAS）,
∴CE＝DF.
3.（2014广西百色，22，8分）如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上，AE＝CF，DE∥BF，∠1＝∠2．
（1）求证：
△AED≌△CFB；
（2）若AD⊥CD，四边形ABCD是什么特殊的四边形？
请说明理由．
【答案】
解：
（1）
∵DE∥BF
∴∠E＝∠F
又∵AE＝CF，
∠1＝∠2，
∴△AED≌△CFB
（2）四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△AED≌△CFB
∴AD＝BC，∠EAD＝∠BCF
∵∠EAD＋∠DAC＝180°，∠BCF＋∠BCA＝180°
∴∠DAC＝∠BCA
∴AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
又∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°
∴四边形ABCD为矩形．
4.（2014广西省贵港市，23，7分）如图所示，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：
DF＝AE；
（2）当AB＝2时，求BE2的值．
【答案】解：
（1）
连接CF，可得△CDF≌△CEF（HL），所以DF＝EF，
∵正方形ABCD，∴∠CAF＝45°，∴AE＝EF，
∴DF＝AE
（2）
过点E作EM⊥AB，∵AB＝2∴AC＝
∵CE＝CD，∴AE＝
∴AM＝EM＝
∴MB＝
∴在Rt△MBE中，BE2＝EM2＋MB2＝
5.（2014年湖北省恩施州，18，8分）如图9，在□ABCD中，点M、N分别在AB、AD上，且BM=DN.过点M作ME∥AD交CD于点E,过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G.求证：
四边形CEGF是菱形.
【答案】解：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD，CD∥AB.
∵ME∥AD，NF∥AB,
∴BC∥ME，CD∥NF.
∴四边形CEGF是平行四边形.
且GF＝BM,GE＝DN,
∴GF=GE
∴□CEGF是菱形.
6.（2014辽宁朝阳，21，8分）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：
四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．
【答案】
解：
（1）证明：
S△OCD＝S△OCB＝
S△ABC
∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形OCED为平行四边形
∵四边形ABCD为矩形，
∴OD＝OC
∴四边形OCED为菱形．
（2）
∵S△OCD＝S△OCB＝
S△ABC＝
×3×4＝6
∴S菱形OCED＝2S△OCD＝12．
7.（2014年辽宁省葫芦岛，20，8分）如图9，△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A做AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：
△AEF≌△BED；
（2）若BD=CD，求证：
四边形AFBD是矩形．
【答案】解：
（1）如图所示，
∵AF∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵点E是AB的中点
∴AE=BE
∴△AEF≌△BED（AAS）
（2）∵△AEF≌△BED
∴AF=BD
∵AF∥BD
∴四边形AFBD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵AB=AC，
又∵BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
则∠ADB=90°
∴□AFBD是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形）
8.（2014山东济南，23，3分）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点.
求证：
EB=EC.
【答案】证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴△ABE≌△DCE，
∴EB=EC.
9.（2014四川乐山，19，9分）如图8，在△ABC中，AB=AC，四边形ADEF是菱形，求证：
BE=CE.
【答案】∵四边形ADEF是菱形，
∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC.
∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF.
又∵AB=AC，∴∠B=∠C.
在△DBE与△FCE中，
∵∠B=∠C，DE=FE，∠BED=∠CEF，
∴△DBE≌△FCE.
∴BE=CE.
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