中考数学难点分类讲解 第四讲 一元二次方程与二次函数.docx

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中考数学难点分类讲解第四讲一元二次方程与二次函数

2019-2020年中考数学难点分类讲解第四讲一元二次方程与二次函数

【前言】

前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。

几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。

中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。

所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。

但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分真题精讲

【例1】2010，西城，一模

已知：

关于

的方程

．

⑴求证：

取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数

的图象关于

轴对称．

①求二次函数

的解析式；

②已知一次函数

，证明：

在实数范围内，对于

的同一个值，这两个函数所对应的函数值

均成立；

⑶在⑵条件下，若二次函数

的图象经过点

，且在实数范围内，对于

的同一个值，这三个函数所对应的函数值

，均成立，求二次函数

的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。

由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。

第二问的第一小问考关于Y轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。

第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。

事实上这个一次函数

恰好是抛物线

的一条切线，只有一个公共点（1，0）。

根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。

于是通过代点，将

用只含a的表达式表示出来,再利用

构建两个不等式,最终分析出a为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解：

（1）分两种情况：

当

时，原方程化为

，解得

，（不要遗漏）

∴当

，原方程有实数根.

当

时，原方程为关于

的一元二次方程，

∵

.

∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？

再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）

综上所述，

取任何实数时，方程总有实数根.

（2）①∵关于

的二次函数

的图象关于

轴对称，

∴

.（关于Y轴对称的二次函数一次项系数一定为0）

∴

.

∴抛物线的解析式为

.

②∵

，（判断大小直接做差）

∴

（当且仅当

时，等号成立）.

（3）由②知，当

时，

.

∴

、

的图象都经过

.（很重要，要对那个等号有敏锐的感觉）

∵对于

的同一个值，

，

∴

的图象必经过

.

又∵

经过

，

∴

.（巧妙的将表达式化成两点式，避免繁琐计算）

设

.

∵对于

的同一个值，这三个函数所对应的函数值

均成立，

∴

，

∴

.

又根据

、

的图象可得

，

∴

.（a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值）

∴

.

∴

.

而

.

只有

，解得

.

∴抛物线的解析式为

.

【例2】2010，门头沟，一模

关于

的一元二次方程

.

（1）当

为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点

是抛物线

上的点，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，若点

与点

关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点

的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。

第二问给点求解析式，比较简单。

值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】：

（1）由题意得

解得

解得

当

且

时，方程有两个不相等的实数根.

（2）由题意得

解得

（舍）（始终牢记二次项系数不为0）

（3）抛物线的对称轴是

由题意得

（关于对称轴对称的点的性质要掌握）

与抛物线有且只有一个交点

（这种情况考试中容易遗漏）

另设过点

的直线

（

）

把

代入

，得

，

整理得

有且只有一个交点，

解得

综上，与抛物线有且只有一个交点

的直线的解析式有

，

【例3】

已知P（

）和Q（1，

）是抛物线

上的两点．

（1）求

的值；

（2）判断关于

的一元二次方程

=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线

的图象向上平移

（

是正整数）个单位，使平移后的图象与

轴无交点，求

的最小值．

【思路分析】拿到题目，很多同学不假思索就直接开始代点，然后建立二元方程组，

十分麻烦，计算量大，浪费时间并且可能出错。

但是仔细看题，发现P,Q纵坐标是一样的，说明他们关于抛物线的对称轴对称。

而抛物线只有一个未知系数，所以轻松写出对称轴求出b。

第二问依然是判别式问题，比较简单。

第三问考平移，也是这类问题的一个热点，在其他区县的模拟题中也有类似的考察。

考生一定要把握平移后解析式发生的变化，即左加右减（单独的x）,上加下减（表达式整体）然后求出结果。

【解析】

（1）因为点P、Q在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．

所以，抛物线对称轴

，所以，

．

（2）由

（1）可知，关于

的一元二次方程为

=0．

因为，

=16－8=8

0．

所以，方程有两个不同的实数根，分别是

，

．

（3）由

（1）可知，抛物线

的图象向上平移

（

是正整数）个单位后的解析式为

．

若使抛物线

的图象与

轴无交点，只需

无实数解即可．

由

=

=

<0，得

又

是正整数，所以

得最小值为2．

【例4】2010，昌平，一模

已知抛物线

，其中

是常数．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若

，且抛物线与

轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

【思路分析】本题第一问较为简单，用直接求顶点的公式也可以算，但是如果巧妙的将a提出来,里面就是一个关于X的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给

合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值.

（1）依题意，得

，

∴

∴抛物线的顶点坐标为

（2）∵抛物线与

轴交于整数点，

∴

的根是整数．

∴

是整数．

∵

，

∴

是整数．

∴

是整数的完全平方数．

∵

，

∴

．（很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手）

∴

取1，4，

当

时，

；当

时，

．

∴

的值为2或

．

∴抛物线的解析式为

或

．

【例5】2010，平谷，一模

已知：

关于

的一元二次方程

（

为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求

的取值范围；

（2）在

（1）的条件下，求证：

无论

取何值，抛物线

总过

轴上的一个固定点；

（3）若

是整数，且关于

的一元二次方程

有两个不相等的整数根，把抛物线

向右平移

个单位长度，求平移后的解析式．

【思路分析】本题第一问比较简单，直接判别式≥0就可以了，依然不能遗漏的是m－1≠0。

第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m提出,对其进行因式分解得到y=（mx－x－1）（x+1）就可以看出当x=－1时,Y=0，而这一点恰是抛物线横过的X轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性（在X轴上）,也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解：

（1）

∵方程有两个不相等的实数根,

∴

∵

∴

的取值范围是

且

.

（2）证明：

令

得

.

∴

.

∴

（这样做是因为已经知道判别式是

计算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了）

∴抛物线与

轴的交点坐标为

∴无论

取何值，抛物线

总过定点

（3）∵

是整数∴只需

是整数.

∵

是整数，且

∴

当

时，抛物线为

．

把它的图象向右平移

个单位长度，得到的抛物线解析式为

【总结】中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容，但是考点无非也就是因式分解，判别式，对称轴，两根范围，平移以及直线与抛物线的交点问题。

总体来说这类题目不难，但是需要计算认真，尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。

这种题目大多包涵多个小问。

第一问往往是考验判别式大于0，不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。

第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察，考生需要熟记对称轴，顶点坐标等多个公式的直接应用。

至于根与系数的关系（韦达定理）近年来中考已经尽量避免提及，虽不提倡但是应用了也不会扣分，考生还是尽量掌握为好，在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分发散思考

【思考1】.2010，北京中考

已知关于

的一元二次方程

有实数根，

为正整数.

（1）求

的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于

的二次函数

的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在

（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在

轴下方的部分沿

轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：

当直线

与此图象有两个公共点时，

的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说，判别式大于0加上k为正整数的条件求k很简单.第二问要分情况讨论当k取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】2009，东城，一模

已知：

关于

的一元二次方程

（1）若

求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求

的值．

【思路分析】本题也是整根问题，但是不像上题，就三个值一个个试就可以试出来结果。

本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】2009，海淀，一模

已知:

关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc

（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式

的值；

（3）求证:

关于x的一元二