数学建模典型例题.docx
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数学建模典型例题
一、人体重变化
某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。
每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克• 天）乘以她得体重（千克）。
假设以脂肪形式贮存得热量100%地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。
试研究此人体重随时间变化得规律.
一、问题分析
人体重W（t）随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。
二、模型假设
1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效
2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存
3、假设体重得变化就是一个连续函数
4、初始体重为Ｗ0
三、模型建立
假设在△t时间内：
体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W（t）;
身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t））
将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量；
转换成微分方程为:
ｄ[W（t+△t）-Ｗ（t）］=（１0467—５038－6９*W（ｔ））ｄt;
四、 模型求解
d（５42９—6９W）/（54２9-69W）＝-６9ｄt/416８6
W（0）=W0
解得：
５4２9-６９W=（54２９－69W0）ｅ（－6９t/４1686）
即：
W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０）/５４29e（-6９t/41686）
当t趋于无穷时，ｗ=８１;
二、投资策略模型
一、问题重述
一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。
５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本）.以千元计数ａiｊ得由下面得表给出：
ａij
年2
年３
年4
年５
年6
年１
４
６
9
１2
2０
年2
5
7
1１
16
年3
6
８
13
年4
８
11
年５
１0
请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。
二、问题分析
本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。
3、条件假设
除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用;
4、模型建立
二
5
11 7三６
4
1６
6 １3 8 四
一 9
12 811
20
五
1０
六
运用Dijiｋｓｔra算法
１ ２ 3 4 ５ ６
0 ４ 6 ９ 122０
６ 9 12 ２０
9 12 ２0
12 20
20
可发现，在第二次运算后，数据再无变化,可见最小路径已经出现
即在第一年买进2００辆,在第三年全部卖出,第三年再买进2０0第六年全部卖出。
三、飞机与防空炮得最优策略
1、问题重述：
红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方得防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。
那么双方各采取什么策略?
2、问题分析
该问题显然就是红方与蓝方得博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题。
1、对策参与者为两方（红蓝两方）
2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。
蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1－1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为２－1—1－０）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2—2-0—0）.显然就是不需要在某个区域布置３个防空炮得。
三、问题假设：
（1）红蓝双方均不知道对方得策略。
（2）蓝方可以在一个区域内布置３，4门大炮，但就是大炮数量大于飞机得数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取.
（3）红方有两种方案，一就是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种就是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。
（4）假设蓝方四门大炮以及红方得两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策。
4、模型建立
行动及其产生得结果
红方
蓝方
2架一起
两架分开
1—1-1－１
1、0
０、0０
２—1—1
0、75
0、5０
2－2－0—0
0、50
０、8３
由此可得赢得矩阵蓝方为A,红方为Ｂ
A＝ 10
0、75 0、５0
0、500、83
Ｂ= 0 0、2５ 0、5
1０、5 0、17
没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题
设蓝方采取行动ｉ得概率为xｉ（i＝1，2,3）,红方采取行动j得概率为yj（ｊ=1,2），则蓝方与红方策略集分别为：
Ｓ1＝｛x=（x1,x2,x３）0〈 ｘi〈1，∑xi＝1},
S2＝｛y=（y1,y2）０<ｙi＜1,∑yｉ＝1}.
5、模型求解
下列线性规划问题得解就就是蓝军得最优混合策略x*
Maｘ v1
0*x1+0、２5*ｘ2+0、5＊x3>v1
x1＋０、5*x2+0、17＊x3〉v1
x1+ｘ2+ｘ3=1
xi＜=1
下列线性规划问题得解就就是红军得最优混合策略ｙ＊
Ｍｉnv2
y２0、25*y1＋0、５*y2〈v2
0、5*y1＋0、１７* y２〈v2
y1+y2=1
yi＜=1
四、雷达计量保障人员分配
开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员就是提高计量保障效能得关键。
所谓合理分配就是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同得工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大得军事效益。
现某雷达团共部署1２种型号共1６部雷达,部署情况及计量保障任务分区情况如表所示:
区域
部署雷达
计量保障任务划分
计量保障任务数量
区域1（雷达一营）
区域２（雷达二营）
区域3（雷达三营）
A、A、B、Ｃ、D、Ｅ
C、F、G、Ｈ、I
Ｄ、F、J、K、L
A、Ｂ1、Ｂ2、Ｃ、D、E、
Ｃ、F、G、H1、Ｈ2、Ｉ
D、F、Ｊ、Ｋ、Ｌ１、L2
6
６
6
说明:
1.保障任务分区域进行保障;
2。
B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为Ｂ1、Ｂ2、H１、Ｈ2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务;
3.同一区域多部相同雷达等同于一部雷达得保障任务；
4.不同区域得相同雷达瞧作不同保障任务；
5．每个保障人员只能保障一个任务;
6.每个保障任务只由一个保障人员完成。
雷达得重要性由其性能与所担负得作战任务共同决定，即使同一型号得雷达在不同区域其重要性也可能不同。
各雷达得重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）:
雷达
A1
B1
Ｃ1
Ｄ1
Ｅ1
C2
Ｆ2
G2
H2
Ｉ2
D3
F3
J3
K３
L３
重要性
0、8
0、9
0、8
0、７
0、７
０、7
0、８
0、7
0、9
0、６
0、7
０、９
０、８
0、６
0、7
该雷达团修理所现在有1０名待分配计量保障人员，她们针对不同保障任务得计量保障能力量化指标如下表所示:
人员
A
B1
B2
C
D
E
F
G
H1
H2
I
J
K
Ｌ1
L2
Mw１
0、８
0、3
０
0、７
0、4
０、８
0、６
０、7
0、9
０、3
０、4
0
0
０、7
0、8
Mｗ2
0、9
0、5
0
0、5
０
０
0、5
0、９
0、５
0、5
0、5
０、5
0、5
0、5
0、5
Mｗ3
0
0、9
0
0
０
0
０、4
０、6
0、4
０、7
0、４
0、4
0、３
0、4
0、5
Mw４
0、4
0
0
0、5
0、5
０
０、２
0
0、2
0、６
0、8
0、２
０、7
０、2
0、2
Ｍw5
0、7
０、8
0、7
0、6
０、7
０、3
0、3
0
0、3
0、5
0、7
0、3
0、3
0、3
０、7
Ｍw6
0、5
０
0、8
0、6
０、8
０、7
0、8
０
0、8
0、8
0、6
0、８
０、8
0、１
0、２
Ｍw７
０、５
０、9
０、4
0
0
0、2
0、3
０、4
0、3
0、3
0
0、6
0、3
0、３
0、5
Mw8
0、8
0、2
0、４
０、6
０
０、1
０、２
0、2
０、2
0、1
0
０、2
0、1
0、2
０、2
Mw9
0、4
0、7
0、5
0、５
0、3
0、6
0、7
０、8
０、7
0、6
0、4
0、３
0、7
0、6
０、2
Mw10
0、7
0、3
0、8
0、6
0、8
０、8
0、３
0、5
0、2
0
０、4
0、9
0、７
0
0
问题:
如何给该团三个营分配计量保障人员，使她们发挥最大军事效益?
一、问题分析：
该问题就是人员指派问题，目得就是得到最大效益。
根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵.
2、模型假设
1．保障任务分区域进行保障;
2。
B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B２、H1、H２、Ｌ１、L２，其它雷达为一个保障任务;
3.同一区域多部相同雷达等同于一部雷达得保障任务；
4。
不同区域得相同雷达瞧作不同保障任务；
5．每个保障人员只能保障一个任务；
６.每个保障任务只由一个保障人员完成.
三、模型建立
根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵:
根据题目,设保障任务得重要性向量,ｂｉ表示第i个任务得重要性。
列出保障任务重要性向量：
我们用二者得乘积表示效益矩阵：
。
我们设元素rij表示第i个人完成j件事得效益，Ｘiｊ表示第ｉ个人去保障第j件任务,如果就是，其值为1,否则为0。
利用这一个矩阵与0—1规划，我们就可以列出方程：
，m〈=n
mｏdｅl:
setｓ:
M/1、、10/;
N/1、、18/：
a；
alloｗed（M，N）：
b，r,ｘ；
eｎdsets
ｄａtａ:
ａ=0、８ 0、9 ０、90、８０、７0、70、70、８0、7０、90、90、６０、70、9０、80、６０、７0、７;
b=0、8０、30 0、7 0、40、8 0、70、6 0、70、90、３0、4 0、4 0、６0 ００、7０、8
０、90、5 0０、5000、５０、50、9０、5 0、５0、５ ０0、５0、5０、50、50、５
00、９000 000、4０、60、4 ０、７ 0、4０ ０、40、40、3０、４ 0、5
0、400 0、50、５ 00、50、２0０、20、6 0、80、50、20、２ 0、７0、20、2
０、70、8０、7 0、60、70、30、6 0、30０、3 ０、5０、7 0、70、３0、3 0、30、30、7
0、5０0、80、60、80、７0、6 ０、８00、80、8０、６0、８0、80、80、80、１0、２
0、50、９0、4 0 ０0、2０ 0、30、40、3 ０、3０00、3 0、60、30、３ 0、5
0、8 ０、２０、40、6 0０、1 0、60、２０、２ ０、２0、100 0、2 ０、2０、1 0、20、2
０、40、70、50、5０、３ 0、６０、5 0、7０、80、７０、６0、40、30、70、3 0、7０、６0、2
0、70、３0、８0、60、80、８0、60、３0、５0、２ 00、４0、80、３0、９0、700;
endｄａta
mａｘ＝suｍ（aｌlowｅd（ｉ，j）：
ｘ（i，ｊ）＊r（i,j））；
fｏr（M（i）：
fｏr（N（j）:
r（ｉ，ｊ）=ａ（j）＊b（i,j）））;
for（Ｍ（i）：
sｕm（N（j）：
x（ｉ，j））=1）；
fｏr（N（ｊ）:
sｕm（Ｍ（i）:
x（ｉ，j））<=1）；
for（M（i）:
fｏr（N（ｊ）：
bｉn（x（ｉ，j））））；
Enｄ
解得最大效益为６、6３,
分配方案为:
第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，５、７号承担B1,B2型;第１、2、3、4、９号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号Ｇ型，1、３号承担Ｈ１，H2型,4号I型;第6、１0号保障人员分配到区域３,６号F型、10号J型。
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