神奇的数学3.docx
《神奇的数学3.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《神奇的数学3.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
神奇的数学3
70953
神奇的数学数字黑洞6174
任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，
再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。
重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到6174。
例如，选择四位数6767：
7766-6677=1089
9810-0189=9621
9621-1269=8352
8532-2358=6174
7641-1467=6174
……
6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。
对于三位数，也有一个数字黑洞——495。
3x+1问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：
如果这个数是偶数，把它除以2;如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。
你会发现，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。
例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到：
67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,
52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...
数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。
但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4,2,1循环呢?
70953
神奇的数学这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。
已经中招的数学家不计其数，这可以从3x+1问题的各种别名看出来：
3x+1问题又叫Collatz猜想、
Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。
后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做3x+1问题算了。
直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。
特殊两位数乘法的速算
如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。
如果这两个数分别写作AB和AC，那么它们的乘积的前两位就是A和A+1的乘积，后两位就是B和C的乘积。
比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×（4+1）=20，后两位就是7×3=21。
也就是说，47×43=2021。
类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。
这个速算方法背后的原因是，（10x+y）（10x+（10-y））=100x（x
+1）+y（10-y）对任意x和y都成立。
幻方中的幻“方”
一个“三阶幻方”是指把数字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。
下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于15。
70953
神奇的数学
大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。
例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。
对于上图中的三阶幻方，就有816+357+492=618+753+294利用线性代数，我们可以222222证明这个结论。
天然形成的幻方
从1/19到18/19这18个分数的小数循环节长度都是18。
把这
18个循环节排成一个18×18的数字阵，恰好构成一个幻方——每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是81（注：
严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字）。
196算法
一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。
随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。
例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数484：
67+76=143
143+341=484
把69变成一个回文数则需要四步：
69+96=165
165+561=726
726+627=1353
70953
神奇的数学1353+3531=4884
89的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数,88。
大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。
事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。
不过，196却是一个相当引人注目的例外。
数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。
从196出发，究竟能否加出回文数来?
196究竟特殊在哪儿?
这至今仍是个谜。
Farey序列
选取一个正整数n。
把所有分母不超过n的最简分数找出来，从小到大排序。
这个分数序列就叫做Farey序列。
例如，下面展示的就是n=7时的Farey序列。
定理：
在Farey序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1!
这个定理有从数论到图论的各种证明。
甚至有一种证明方法巧妙地借助Pick定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题!
唯一的解
70953
神奇的数学经典数字谜题：
用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。
没错，真的有这样猛的数：
381654729。
其中3能被1整除，38
能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。
这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。
另一个有趣的事实是，在所有由1到9所组成的362880个不同的九位数中，381654729是唯一一个满足要求的数!
数在变，数字不变
123456789的两倍是246913578，正好又是一个由1到9组成的数字。
246913578的两倍是493827156，正好又是一个由1到9组成的数字。
把493827156再翻一倍,987654312，依旧恰好由数字1到9
组成的。
把987654312再翻一倍的话，将会得到一个10位数
1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由0到9这10个数字组成。
再把1975308624翻一倍，这个数将变成3950617248，依旧是由0到9组成的。
不过，这个规律却并不会一直持续下去。
继续把3950617248翻一倍将会得到7901234496，第一次出现了例外。
70953
神奇的数学三个神奇的分数
1/49化成小数后等于0.0204081632…，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。
100/9899等于0.813213455…，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和（也即Fibonacci数列）。
而100/9801则等于0.6281920212223…。
利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！
）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的（n×n－1）个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
阶幻方：
5例，用该填法获得的．
70953
神奇的数学
15181724
16571423
22132046
319211012
21892511
双偶数阶幻方（对称交换法）4K整除时的偶阶幻方，即阶幻方。
在说解法之前我们先说明n可以被4所谓双偶阶幻方就是当一个“互补数”定义：
就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4阶幻方的填法：
将数字从左到右、从上到下按顺序填写：
1234
8657
111
1111
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）
互换即可。
858595462631
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
70953
神奇的数学个方阵。
因为k×k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成对于n=4k阶幻方的方法一4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作是n4的倍数，一定能用4×4样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
为例：
以8阶幻方4块（如图）
（1）先把数字按顺序填。
然后，按4×4把它分割成
87516234
161513149101112
2422231917182021
3230312627282925
4038393435363733
4846474344454142
5655525354514950
6463606162575859
每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。
（2）
577606642361
555412135150169
1747462021434224
4026273736303133
3234352928383925
4123224445191848
4915145253111056
单偶数阶幻方（象限对称交换法）k=2210＝4×2＋，这时n=10以为例，
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，象限按奇数阶幻方的填法填数。
C象限，B象限，D．
70953
神奇的数学
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
70953
神奇的数学（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
（注：
6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换），将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：
6＝4×1＋2，这时k＝1
颓废之巅看年华
升级会员 