神奇的数学3.docx

1、神奇的数学370953 神奇的数学数字黑洞 6174 任意选一个四位数(数字不能全相同)，把所有数字从大到小排列， 再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7步以内必然会得到 6174。 例如，选择四位数 6767： 7766 - 6677 = 1089 9810 - 0189 = 9621 9621 - 1269 = 8352 8532 - 2358 = 6174 7641 - 1467 = 6174 6174 这个“黑洞”就叫做 Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞495。 3x + 1 问题 从任意一个正整数开始，重复对其进行

2、下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ;如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加1 。你会发现，序列最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, 的循环。 例如，所选的数是 67，根据上面的规则可以依次得到： 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, . 数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于 所有 的数，序列最终总会变成 4, 2, 1 循环呢? 7

3、0953 神奇的数学 这个问题可以说是一个“坑”乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳;殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。 直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。 特殊两位数乘法的速算 如果两个两位数的十位相同，个位数相加为 10，那么你可以立即

4、说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作 AB 和 AC，那么它们的乘积的前两位就是 A 和 A + 1 的乘积，后两位就是 B 和 C 的乘积。 比如，47 和 43 的十位数相同，个位数之和为 10，因而它们乘积的前两位就是 4(4 + 1)=20，后两位就是73=21。也就是说，4743=2021。 类似地，6169=4209，8684=7224，3535=1225，等等。 这个速算方法背后的原因是，(10 x + y) (10 x + (10 - y) = 100 x (x + 1) + y (10 - y) 对任意x 和 y 都成立。 幻方中的幻“方” 一个“三阶幻方”是指把数字 1

5、 到 9 填入33的方格，使得每一行、每一列和两条对角线的三个数之和正好都相同。下图就是一个三阶幻方，每条直线上的三个数之和都等于 15。 70953 神奇的数学 大家或许都听说过幻方这玩意儿，但不知道幻方中的一些美妙的性质。例如，任意一个三阶幻方都满足，各行所组成的三位数的平方和，等于各行逆序所组成的三位数的平方和。对于上图中的三阶幻方，就有816 + 357 + 492 = 618 + 753 + 294 利用线性代数，我们可以222222证明这个结论。 天然形成的幻方 从 1/19 到 18/19 这 18 个分数的小数循环节长度都是 18。把这 18 个循环节排成一个1818的数字阵，

6、恰好构成一个幻方每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 81 (注：严格意义上说它不算幻方，因为方阵中有相同数字)。 196 算法 一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个回文数 484： 67 + 76 = 143 143 + 341 = 484 把 69 变成一个回文数则需要四步： 69 + 96 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 70953 神奇的数学 1353 + 3531 = 4884 89 的“回文数之路”则特别长，

7、要到第 24 步才会得到第一个回文数,88。 大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样对于 几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从196出发，究竟能否加出回文数来?196 究竟特殊在哪儿?这至今仍是个谜。 Farey 序列 选取一个正整数 n。把所有分母不超过 n 的 最简 分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做 Farey 序列。例如，下面展示的就是n = 7时的 Farey 序列。 定理：在 Farey

8、 序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1 ! 这个定理有从数论到图论的各种证明。甚至有一种证明方法巧妙地借助 Pick 定理，把它转换为了一个不证自明的几何问题! 唯一的解 70953 神奇的数学 经典数字谜题：用 1 到 9 组成一个九位数，使得这个数的第一位能被 1 整除，前两位组成的两位数能被 2 整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被 9 整除。 没错，真的有这样猛的数：381654729。其中 3 能被 1 整除，38 能被 2 整除，381 能被 3 整除，一直到整个数能被

9、9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。 另一个有趣的事实是，在所有由 1 到 9 所组成的 362880 个不同的九位数中，381654729 是唯一一个满足要求的数! 数在变，数字不变 123456789 的两倍是 246913578，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。 246913578 的两倍是 493827156，正好又是一个由 1 到 9 组成的数字。 把 493827156 再翻一倍,987654312，依旧恰好由数字 1 到 9 组成的。 把 987654312 再翻一倍的话，将会得到一个 10 位数 1975308624，它里面仍然没有重复

10、数字，恰好由 0 到 9 这 10 个数字组成。 再把 1975308624 翻一倍，这个数将变成 3950617248，依旧是由 0 到 9 组成的。 不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把 3950617248 翻一倍将会得到 7901234496，第一次出现了例外。 70953 神奇的数学三个神奇的分数 1/49 化成小数后等于 0.0204081632 ，把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。 100/9899等于 0.813213455 ，两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和(也即 Fibonacci数列)。 而

11、 100/9801 则等于0.6281920212223 。 利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的(nn1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放

12、在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 阶幻方：5例，用该填法获得的70953 神奇的数学 15181724 16571423 22132046 319211012 21892511 双偶数阶幻方（对称交换法）4K整除时的偶阶幻方，即阶幻方。在说解法之前我们先说明n可以被4 所谓双偶阶幻方就是当一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个

13、数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 nn1），我们称它们为一对互补数 。如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数 。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 1234 8657 1111111 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。 858595462631 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4

14、14 15 1 70953 神奇的数学个方阵。因为kk阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按44把它划分成 对于n=4k阶幻方的方法一4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作是n4的倍数，一定能用44 样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 为例：以8阶幻方 4块（如图）(1) 先把数字按顺序填。然后，按44把它分割成 87516234 161513149101112 2422231917182021 3230312627282925 4038393435363733 4846474344454142 5655525354514950 6463606162575859 每个

15、小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。(2) 577606642361 555412135150169 1747462021434224 4026273736303133 3234352928383925 4123224445191848 4915145253111056 单偶数阶幻方（象限对称交换法） k=221042，这时n=10以为例，（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限， 象限按奇数阶幻方的填法填数。C象限，B象限，D70953 神奇的数学 （2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。 70953 神奇的数学（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)， 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。 下面是6阶幻方的填法：6412，这时k1 颓废之巅看年华