三元一次方程组及应用复习暑期特训.docx

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三元一次方程组及应用复习暑期特训

教学目标

1、了解三元一次方程组的概念;熟练掌握简单的三元一次方程组的解法;能选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组.

2、通过用代入消元法,加减消元法解简单的三元一次方程组的训练及选择合理,简捷的方法解方程组,培养运算能力.

3、通过对方程组中未知数系数特点的观察和分析,明确三元一次方程组解法的主要思路是"消元",从而促成未知向已知的转化,培养和发展逻辑思维能力.

4、通过三元一次方程组消元后转化为二元一次方程组,再消元转化为一元一次方程及将一些代数问题转化为方程组问题的方法的学习,培养初步运用转化思想去解决问题,发展思维能力

.3、能根据具体问题中的数量关系，列出三元一次方程组，解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义。

检验结果是否合理。

重点、难点

教学重点:

1、熟练的掌握三元一次不等式组的解法;能选择简便,特殊的解法解特殊的三元一次方程组.

2、运用三元一次方程组解决简单的实际问题。

教学难点：

根据具体问题中的数量关系，列出三元一次方程组，解决简单的实际问题．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

考点及考试要求

三元一次方程组为考试的重点，也是一大难点

教学内容

一、要点突破

【三元一次方程的概念】

三元一次方程组就是含有三个未知数，并且含有的未知数的项都是1次的整式方程。

【三元一次方程组的概念】

一般地，由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。

【三元一次方程组的解法】

（1）三元一次方程组与二元一次方程组同属于一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，通过代入法或加减法使二元化成一元，未知转化为已知，受它的启发，解三元一次方程组也通过代入或加减消元，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题。

（2）三元一次方程组解题的基本步骤：

①利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组。

②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

二、耐心填一填

1、叫三元一次方程组。

2、解三元一次方程组的基本思路是。

3、三元一次方程7ｘ+3ｙ－4ｚ＝1用含ｘｙ的代数式表示ｘ＝。

4、在三元一次方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝3中，若ｘ＝－1，ｙ＝2，则ｚ＝。

5、下列三个方程能组成三元一次方程组吗？

3x+1=4

4y+1=5

5z+1=6

三、例题讲解

探究三元一次方程组的解法

【解法探究】

怎样解这个方程组呢？

能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？

（展开思路，畅所欲言）

例1.解方程组

分析1：

发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.

解法1：

消x

②-①得y+4z=10.④

③代人①得5y+z=12.⑤

由④、⑤得

解得

把y=2,代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

分析2：

方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.

解法2：

消x

由③代入①②得

解得

把y=2代入③，得x=8.

∴

是原方程组的解.

【方法归纳】

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：

有表达式，用代入法.

针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.

解法3：

消z

①×5得5x+5y+5z=60，④

x+2y+5z=22，②

④-②得4x+3y=38⑤

由③、⑤得

解得

把x=8,y=2代入①，得z=2.

∴

是原方程组的解.

根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型二：

缺某元，消某元.

当然我们还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下.

小结：

1.解三元一次方程组的基本思路：

通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．

即三元一次方程组

二元一次方程组

一元一次方程

2.解题要有策略，今天我们学到的策略是：

有表达式，用代入法；缺某元，消某元.

2.x-2y=-9

y-z=3

2z+x=47

解：

.x-2y=-9

（1）

y-z=3

（2）

2z+x=47（3）

由

（1）-（3）得

-2y-2z=-56

y+z=28（4）

由

（2）+（4）得

2y=31

y=31/2（5）

把（5）代入

（2）

31/2-z=3

z=25/2（6）

把（6）代入（3）

2*25/2+x=47

x=22

解得：

x=22

y=31/2

z=25/2

3、y=2x-7

5x+3y+2z=2

3x-4z=4

解：

y=2x-7

（1）

5x+3y+2z=2

（2）

3x-4z=4（3）

由

（2）*2得

10x+6y+4z=4（4）

（3）+（4）得

13x+6y=8（5）

将

（1）代入（5）

13x+6（2x-7）=8

13x+12x-42=8

25x=50

x=2（6）

把（6）代入

（1）

y=2*2-7=-3（7）

把（6）代入（3）

3*2-4z=4

z=1/2

解得:

x=2

y=-3

z=1/2

3、甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一，求这三个数。

（用三元一次方程组解）

解：

设甲、乙、丙三个数分别为X、Y、Z。

X+Y+Z=35

（1）

2X-5=Y

（2）

（1/3）Y=（1/2）Z（3）

由（3）得:

2Y=3Z（4）

Y=3Z/2（5）

由

（2）得

2Z-5-Y=0（6）

（1）+（5）

X+Z+2Z-5=35

X+3Z=40

X=40-3Z（7）

把（5）（7）代入

（1）

40-3Z+3Z/2+Z=35

80-6Z+3Z+2Z=70

Z=10（8）

把（8）代入（7）（5）

X=40-3*10=10

Y=3*10/2=15

即甲、乙、丙三个数各为10、15、10。

【课堂热身】

解下列三元一次方程组

1、3x-y+z=42、4x+9y=12

3y-2z=12x+3y-z=12

7x+5z=192x+3y-z=12

3、4x-9z=174、2x+4y+3z=9

3x+y+15z=183x-2y+5z=11

x+2y+3z=25x-6y+7z=13

三元一次方程组的应用

【问题解决一】

汽车在平路上每小时行30公里，上坡时每小时行28公里，下坡时每小时行35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时三十分钟，回来使用4小时42分钟，问这段平路有多少公里？

去时上下坡路各有多少公里？

解：

设去时上坡x公里，平路y公里，下坡z公里

根据题意可得

x+y+z=142

x/28+y/30+z/35=4.5

z/28+y/30+x/35=4.7

解得此三元一次方程组的解为

x=42

y=30

z=70

答：

去时上坡42公里，平路30公里，下坡70公里

8.一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位的数字大2，个位十位百位上数字的和是14，求这个三位数

解：

设个位数字＝x，十位数字＝y，百位数字＝z

有：

x+z＝y……………………

（1）

7z＝x+y+2……………………

（2）

x+y+z＝14……………………（3）

解这个方程组，考察

（2），有：

x+y＝7z-2

代入（3），有

8z＝16

所以：

z＝2

依次解得：

y＝7，x＝5

这个三位数＝275

【课堂练习】

1、某校初中三个年级共有651人，初二的学生数比初三的学生数多10%，初一的学生数比初二的学生数多5%，求这三个年级各有多少人？

2、学校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2:

3，三种球共41个，求三种球各有多少？

3、在第29届奥运会上,中国健儿共获得100枚奖牌,金牌比银牌的2倍还多9块，银牌比铜牌少7块，问金牌、银牌、铜牌各多少块？

【巧解此题】

7.36块砖，36人搬，男搬4女搬3，两个小孩搬一块。

问男人，女人，小孩各多少人？

解：

设男的有a人，女的有b人，小孩有c人，依题意，列方程组得

4a+3b+0.5c=36，

a+b+c=36.

求这个方程的整数解，

消去c,得7a+5b=36,

7a只能取7，14，21，28，

5b只能取5，10，15，20，25，

这些数中，只有21+15＝36，没有其它的情况了，

此时

a=3，

b=3，

c=30.

即男3人，女3人，小孩30人.

【课堂测验】

1、解方程组

若要使运算简便，消元的方法应选取（）

A、先消去xB、先消去yC、先消去zD、以上说法都不对

2、将三元一次方程组

，经过步骤①－③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（）

A、

B、

C、

D、

3、方程组

的解是（）.

A、

B、

C、

D、

4、解下列方程组

（1）

（2）

（3）

（4）

5、甲、乙、丙三数之和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18求这三个数？

6.甲、乙两位同学解方程组

，甲解得正确答案为

，乙因抄错了c的值，解得

，求

的值

【课后作业】

1.解下列方程组

（1）

（2）

2．解下列方程组

（1）

（2）

3．有这样一个数学题：

在等式

中，当x=1时，y=1；当y=3时，y=9，当x=5时，y=5.

（1）请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？

（2）你能求出a,b,c的值吗？

11.某足球联赛一个赛季共进行26场比赛（即每队均赛26场），其中胜一场得三分，平一场得一分，负一场得0分.某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分.这个队在这个赛季中胜、平、负各多少场？