秋专升本高等数学电子教案.doc

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写在教学前面的话——高等数学学习建议

1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。

你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过

2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。

断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问题会越积越多；

3、围绕重点多做习题。

数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的；

4、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会什么都明白了；

5、还有一点，你要善于总结（思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？

主要的公式定理？

主要的计算方法等等。

微积分章节授课次序：

1、第一章函数、极限与连续

2、第九章无穷级数

3、第二章导数与微分

4、第三章导数的应用

5、第六章多元函数微分学

6、第四章不定积分

7、第八章微分方程

8、第五章定积分及其应用

9、第七章二重积分

第一章函数、极限和连续

第一节函数

一、函数的概念

1、函数的概念：

（1）函数两要素：

和

（2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：

只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。

2、单值函数和多值函数

单值函数的特点：

一一对应

3、显函数和隐函数

（1）形如的函数称为显函数。

（2）由方程所确定的函数称为一个隐函数。

有些微分方程的通解就是隐函数。

（3）隐函数有的可以显化，如（多值函数）

而有些隐函数不能显化，如

4、分段函数：

在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表示，而是要用两个或者两个以上的表达式表示。

这样的函数称为分段函数。

5、函数的定义域通常是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。

求函数的定义域时，一般要注意：

（1）如果，要求

（2）如果（为正整数），要求

（3）如果，要求

（4）如果，要求

（5）分段函数的定义域：

是将分段函数所有的取值区间做并集。

6、函数的表示法：

表示函数通常用公式法辅之以图示法（数形结合）。

例题精讲（P4-P5）

1、求下列函数的定义域：

（1）（历年真题）

（2）（历年真题）

（3）

（4）

二、函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性）

1、有界性

（1）有上界：

满足（存在常数M）上不去

（2）有下界：

满足（存在常数m）下不来

（3）有界:

满足（存在正常数M）

事实上：

，有界即既有上界又有下界。

从图像上观察，有界函数的图形会被两条平行于x轴的直线夹在中间。

（4）无界

（5）常用有界函数：

，，，

，

2、单调性

（1）概念

（2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。

3、奇偶性

（1）概念：

注意奇偶函数的定义域须关于原点对称

（2）判断奇函数的方法：

或者

（3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶

奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇

（4）非奇非偶函数，即对于函数，存在，有且

4、周期性

（1）概念

（2）的最小正周期都是，的最小正周期都是。

、的最小正周期都是

例题精讲

2、函数区间在（）有界（历年真题）

A．（0,1）  B.（0，）C.（1，）D．（1,2）

3、判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）

（3）（4）

4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。

（1）

（2）（3）

三、反函数

（1）概念

（2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。

（3）原函数和反函数的图形关于直线对称。

（4）反函数的求法。

例题精讲

5、求函数的反函数并指出其定义域。

四、基本初等函数

（1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。

（P9-P11）

（2）常见的幂函数图形：

、、、、、。

（3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数、的图形。

（4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。

根据图形记忆：

（5）掌握三角函数的常用公式。

五、复合函数

（1）概念

（2）会求复合函数

（2）能正确分析复合函数复合过程（前提：

熟练掌握各基本初等函数的表达式）

六、初等函数

（1）概念

（2）一般说来，分段函数不是初等函数。

例题精讲

6、已知函数的定义域是，求下列函数的定义域：

（1）

（2）（3）（4）

7、填空题：

（1）设的定义域为，则函数的定义域为_____（历年真题）

（2）设的定义域为，则的定义域是_________

（3）设的定义域为，则的定义域是_________

（4）设，则的定义域是_________

（5）设，则_________

8、已知，试求

9、引入适当的中间变量，将下列函数分解为几个简单函数的复合：

（1）

（2）（3）

10、设函数

（1）做函数的图形，并写出其定义域；

（2）求复合函数。

11、设函数，，求。

12、设，，

求。

第二节极限的概念与运算

一、数列极限

1、如果数列满足，则称数列收敛。

否则称数列发散。

2、如果数列有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列发散。

如数列

二、函数极限

1、

2、

3、极限值与函数值是否存在无关。

例题精讲（P21）

1、函数在处（　）．

A.有定义且有极限B.无定义但有极限

C.有定义但无极限D.无定义且无极限

2、，则___________，___________。

3、设函数当为何值时，在点处极限存在？

4、若存在，且，求。

5、设，求与的值。

三、无穷小和无穷大

1、无穷小:

极限为0（绝对值无限变小）的变量。

记作：

（判定无穷小的方法）.

特例：

常数0是无穷小。

2、无穷大：

绝对值无限变大的变量。

记作：

.

3、无穷小的性质

在自变量的同一变化过程中，

（1）有限个无穷小的和、差、积以及常数和无穷小的积仍为无穷小。

（2）有界函数和无穷小的积仍为无穷小。

（3）若是无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。

（判定无穷大的方法）

4、无穷小的比较

设和都是在自变量同一变化过程中的无穷小，且

（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作

（2）如果，则称是比低阶的无穷小。

（3）如果，则称与是同阶无穷小。

（4）如果，则称是与是等价无穷小，记作～。

5、常见的等价无穷小（记忆）：

当时，

～～～～～～

～,～

例题精讲（P30）

6、当时，是的（）（历年真题）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶无穷小D.等价无穷小

7、当时，下列与是等价无穷小量的是（）（历年真题）

A．B.C.D.

8、当时，下列结论不正确的是（）（历年真题）

A．～B.～C.～D.～

9、下列函数在指定的变化过程中，（　）是无穷小量。

　A.　B.C.　D.

10、当时，与等价的无穷小是（　）

A.B.C.　D.

11、当时，与是等价无穷小，则_________。

四、极限的计算方法

1、函数极限的计算公式和法则同样适用于数列极限的计算。

2、基本结果：

（1）

（2）

（3）（4）

3、初等函数的连续性：

如果初等函数在点有定义，则。

4、极限的四则运算法则（略）

基本题型I：

求，且在点有定义，则。

基本题型Ⅱ：

求，而在点无定义，通过因式分解、有理化或者通分等恒等变换化简后，回到基本题型I。

基本题型Ⅲ：

求，分子分母同时除以的最高次方。

可以记忆公式：

当,为非负整数时，有

5、两个重要极限

重要极限Ⅰ：

一般形式：

（须满足）

重要极限Ⅱ：

一般形式：

（须满足）

（须满足）

可以记忆公式：

6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小

（1）记忆几个有界函数：

，，，

，

（2）举例：

求

解：

，又，原式。

（3）注意以下四个极限：

7、等价无穷小替换原理

（1）记忆常见的等价无穷小

当时，～～～～～～

～,～

（2）注意等价无穷小的一般形式

（3）在自变量同一变化过程中，都是无穷小，且～，～，如果存在，那么=

注意：

相乘除的无穷小可以用各自的等价无穷小替换，

相加减的无穷小不能用各自的等价无穷小替换

8、极限存在准则

（1）夹逼准则

（2）单调有界收敛准则

9、洛比达法则

（1）型未定式

设函数和满足：

①，②在的某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）

则有

（2）型未定式

设函数和满足：

①，②在的某个去心领域内和均可导，且③（A可为有限常数也可为）

则有

（3）如果题目须不止一次使用洛必达法则，那么每次使用法则之前都需要判断是否为型或型

（4）注意洛必达法则与其他极限运算法则结合起来使用

（5）其他可以化为型或型的未定式

①未定式型可以化为型或型

②未定式型可通过通分等恒等变换化为型或型

③未定式型可以利用先化为型，最终化为型或型

例题精讲

12、（　）

A．B.C.D.

13、（　）

A．-1B.C.1D.

14、，则（　）

A．B.C.D.

15、如果都不存在，则（　）

A．一定存在B.一定不存在C.0D.不能确定

16、如果，则_________

17、_________

18、_________（历年真题）

19、_________（历年真题）

计算题：

20、21、22、

23、24、25、

26、27、

28、29、39、

31、32、

33、34、35、

36、37、38、

39、40、41、

42、43、

44、