高中数学选修11椭圆的简单几何性质教案.docx
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高中数学选修11椭圆的简单几何性质教案
2019-2020年高中数学选修1-1椭圆的简单几何性质教案
（一）教学目标
掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中、以及、的几何意义，、、、之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质．
（二）教学过程
【复习引入】
由学生口述，教师板书：
问题1．椭圆的标准方程是怎样的？
问题2．在直角坐标系内，关于轴、轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？
【探索研究】
1．椭圆的几何性质
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的．
下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．
（1）范围
引导学生从标准方程，得出不等式，，即，．这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．
（2）对称性
先让学生阅读教材中椭圆的几何性质2．
设问：
为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变．则图形关于轴、轴或原点对称”呢？
事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称．类似地可以证明其他两个命题．
同时应向学生指出：
如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
最后强调：
轴、轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关．因而是曲线的固有性质．
（3）顶点
引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点．应该强调：
椭圆有四个顶点、、、．
同时还需指出：
（1°）线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；
（2°）、的几何意义：
是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长．
（3°）椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点．
这时教师可作如下小结：
由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．
（4）离心率
由于离心率的概念比较抽象，教师可直接给出离心率的定义：
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．
先分析离心率的取值范围：
∵ ， ∴．
再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
（1）当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平：
（2）当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆．
【例题分析】
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
分析：
只要化为椭圆的标准方程即可求解．
解：
把已知方程化成标准方程是
这里，，∴．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，离心率，两个焦点分别是和，椭圆的四个顶点是、、、．
（前一部分请一位学生板演，教师予以纠正，后一部分教师讲解，以引起学生重视．）步骤如下：
①列表：
将已知方程变形为，
根据 ，
在的范围内算出几个点的坐标．
0
1
2
3
4
5
4
3.9
3.7
3.2
2.4
0
②描点作图：
先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆（如图）．
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）经过点，；
（2）长轴长等于20，离心率等于．
解：
由椭圆的几何性质可知，、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得，．又因为长轴在轴上，所以所求椭圆的标准方程为．
（2）由已知得， ∴， ∴．
由于椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．
（三）随堂练习
（四）总结提炼
方程
图形
范围
，
，
对称性
关于轴、轴、坐标原点对称
关于轴、轴、坐标原点对称
顶点
，<,/SUB>
，
，
，
离心率
（五）布置作业
（六）板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质
（一）
（一）复习提问
问题1
问题2
（二）椭圆的几何性质
1．
2．
3．
4．
（三）例题与练习
例1
例2
练习
（四）小结
一）教学目标
进一步掌握椭圆的几何性质，掌握椭圆的第二定义，能应用椭圆的第二定义解决椭圆的有关问题，明确椭圆的第一定义与椭圆的第二定义是等价的，可以互相推出．
（二）教学过程
【复习引入】
前一节学习了椭圆的几何性质，哪一位同学回答：
问题1．椭圆有哪些几何性质？
问题2．什么叫做椭圆的离心率？
以上两个问题学生的回答应该不会有大的问题．教师可进一步提出问题：
离心率的几何意义是什么呢？
让我们先来看一个问题．
点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数（），求点的轨迹．
【探索研究】
椭圆的第二定义．
（按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师板演．）
解：
设是点直线的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合
由此得
．
将上式两边平方，并化简得
设，就可化成
这是椭圆的标准方程，所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为的椭圆．
由此可知，当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据椭圆的对称性，相应于焦点的准线方程是，所以椭圆有两条准线．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
至此教师可列出下表，由学生归纳．
图形
相同点
长轴长 短轴长
离心率
不同点
方程
焦点
、
、
顶点
、
、
、
、
准线
【例题分析】
例1 求椭圆的长轴与短轴的长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程．可请一位学生演板，教师纠正，答案为
，，焦点，顶点，，，准线方程．
例2 已知椭圆上一点到其左、右焦点距离的比为1：
3，求点到两条准线的距离．
可在学生练习后请一位学生回答．解答如下：
由椭圆标准方程可知
，，∴，．
由于，．
∴，．
设到左准线与右准线的距离分别为与，根据椭圆的第二定义，有
∴，．
即到左准线的距离为，到右准线的距离为．
例3 已知椭圆内有一点，是椭圆的
右焦点，在椭圆上有一点，使的值最小，求的坐标．（如图）
分析：
若设，求出，再计算最小值是很繁的．由于是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．
解：
设在右准线上的射影为．
由椭圆方程可知
， ，．
根据椭圆的第二定义，有 即．
∴
．
显然，当、、三点共线时，有最小值．
过作准线的垂线．
由方程组 解得．
即的坐标为．
（四）总结提炼
1．列出椭圆的几何意义．（投影展示上表）．
2．通过椭圆的第二定义，可进一步了解椭圆的离心率的几何意义，它反映椭圆的圆扁程度，决定着椭圆的形状．两准线间的距离为是不变量．
（五）布置作业
（六）板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质
（二）
（一）复习提问
问题1
问题2
（二）椭圆的第二定义
（三）例题与练习
例1
例2
例3
学生练习
（四）小结
椭圆的简单几何性质（第三课时）
（一）教学目标
1．能利用椭圆中的基本量、、、熟练地求椭圆的标准方程．
2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．
（二）教学过程
【复习引入】
由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．
问题1．椭圆有哪些几何性质？
问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？
通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中、和、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定它的标准方程．
【例题分析】
例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．
分析：
根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：
解法一：
设椭圆方程为
．
∵点在椭圆上
∴ 即 ①
又∵一条准线方程是
∴ ②
将①、②代入 ，得
整理得
解得或．
分别代入①得或．
故所求椭圆方程为或．
解法二：
设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定义得，即
． ①
又由准线方程为
． ②
将②代入①，整理得
解得或．
代入②及得
或
故所求椭圆的方程为 或 ．
例2 如图，以原点心圆心，分别以、为半径作两个圆，点是大圆半径与小圆的交点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，求当半径绕点旋转时点的轨迹的参数方程．
解：
设点的坐标为，是以为始边，为终边的正角．
取为参数，那么
即
这就是所求点的轨迹的参数方程．
消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．
点评：
这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆都用此法．
例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：
（1）、的取值范围；
（2）的取值范围．
解：
（1）∵，，
∴，．
∴，为所求范围．
（2）∴
．
（其中为第一象限角，且）．
而．
∴
，
即
这所求．
例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．
解：
由参数方程得
平方相加得为所求普通方程．
∵，，
∴
．
∴椭圆的离心率．
（三）随堂练习
1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别为9和15的椭圆的标准方程为______________．
2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．
3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．
答案：
1． 2．， 3．
（四）总结提炼
1．求曲线方程的基本程序是
若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．
2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参数方程求的最值较方便．
（五）布置作业
1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与相应准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．
5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．
6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．
答案：
1．A 2．C 3．D 4． 5．
7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）
内接矩形面积
∴ ．
（六）板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质（三）
一、复习引入
二、例题分析
例1
例2
例3
例4
练习
总结
椭圆的简单几何性质（第四课时）
（一）教学目标
1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．
2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．
3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题．
（二）教学过程
【复习引入】
1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）．
2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值．
【探索研究】
为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．
例1 求证：
椭圆上任一点与焦点所连两条线段的长分别为．
分析：
由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．
证法一：
设椭圆的左、右焦点分别为．，则
∵， ∴．
∴．
又，
∴
故得证．
证法二：
设到左右准线的距离分别为，，由椭圆的第二定义有
，
又
，
∴
．
又，
∴． 故得证．
说明：
、叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．
∵，，
∴，．
∴．
即椭圆上焦点的距离最大值为，最小值为，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．
例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）为一个焦点的椭圆．已知它们近地点（离地面最近的点）距地面439，远地点（离地面最）距地面2384，并且、、在同一条直线上，地球半径约6371，求卫星运行的轨道方程（精确到1）．
分析：
这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．
解：
如图，建立直角坐标系，使点、、在轴上，为椭圆的右焦点（记为左焦点）．
因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的方程为
则
解得
∴
．
因此，卫星的轨道方程是．
点评：
由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．
例3 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．
分析：
要求的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：
设椭圆上一点，又，于是
．
而
∴当时，有最大值5．
故的最大值为6．
点评：
椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．
例4 已知椭圆与轴的正半轴交于点，是原点．若椭圆上存在一点，使，求椭圆离心率的取值范围．
分析：
依题意点的横坐标，找到与、的关系式．教师讲解为好．
解：
设的坐标为，由，有
于是下面方程组的解为的坐标
消去整理得
．
解得 或 ．
即为椭圆的右顶点
∴ 即．
即，而，故．
（三）随堂练习
1．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．
2．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，求的值．
答案：
1． 2．
（四）总结提炼
椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．
（五）布置作业
1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是，则长半轴长的取值范围是___________．
2．若椭圆两焦点为，，在椭圆上，且的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．
3．已知是椭圆的一个焦点，是过其中心的一条弦，记，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是椭圆上的任意一点，以过的一条焦半径为直径作圆，以椭圆长轴为直径作圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．内含 C．相交 D．相离
5．设是椭圆上的任一点，求点到椭圆两焦点、距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时点的坐标．
6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点的距离等于的点的坐标．
答案：
1． 2． 3．D 4．A
5．设则，
∵ ∴
当即或时，最大，最大值为．
当即或时，最小，最小值为．
6．设所求椭圆方程是
依题意可得
，其中
如果，则当时，有最大值，即．
由此得，与矛盾．
因此必有成立，于是当时，有最大值，即．
由此得，，故所求椭圆方程为．
由代入椭圆方程得点和到点的距离都是．
注：
本题也可设椭圆的参数方程是，其中，，利用三角函数求解．
（六）板书设计
8.2 椭圆的简单几何性质（四）
1．知识要点
2．椭圆的焦半径公式
3．例题分析
例1
例2
例3
例4
练习小结
2019-2020年高中数学选修1-2合情推理
教学目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学重点：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用
教学过程
一、引入新课
1归纳推理
（一）什么是归纳推理
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?
原来，这是经过我们先人无数次经验（成功的或失败的）的积累的。
由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。
”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。
这里就有着归纳推理的运用。
（二）归纳推理与演绎推理的区别和联系
归纳推理与演绎推理的主要区别是：
首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。
其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。
一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。
而归纳推理（完全归纳推理除外）的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。
也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。
归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。
当然，归纳推理也离不开演绎推理。
比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。
而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。
从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。
（三）观察与实验
归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。
当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。
而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。
1．观察
人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。
为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：
（1）必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。
（2）尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。
2．实验
人们在控制对象或现象的条件下有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。
具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学方法、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。
例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况，人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。
实验是自然科学研究中最基本的研究方法。
它和观察比较起来有以下优点：
（1）实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。
这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。
例如，我们看见铁球与鸡毛从塔顶上同时往下落，在空气中它们下落的速度是不一样的。
这与空气有关还是无关?
这是由于空气的阻力作用还是由于地球的引力作用呢？
在自然状态下，由于许许多多的对象或现象错综复杂地交织在一起，我们是不能弄清楚这些问题的。
为此，我们可以做“自由落体”的实验：
把铁球和鸡毛都放在抽掉空气的圆筒形的透明容器中，看它们从同一高度同时下落的速度是否一样。
这样，就容易发现铁球与鸡毛在空气中下落的速度不一样与空气阻力作用的关系。
在这个实验中，我们人为地抽掉了空气这个因素，排除偶然因素的干扰，“纯化”了被研究的现象。
（2）可以把容易消失的自然
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