第2讲全等三角形辅助线旋转与平移.docx
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第2讲全等三角形辅助线旋转与平移
三角形全等辅助线
————旋转与平移
共同的特点：
都有长度相等，且有一端点重合的线段
中点旋转：
A'
C
B
等腰直角三角形,等边三角形旋转
C
B
A
E
B
A
正方形旋转
F
D
C
F
E
D
C
B
A
【精选例题】
旋转中点类
【例1】以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD∆和等腰RtACE∆，
90BADCAE∠=∠=︒连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰RtABD∆绕点A沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
【例2】（顺义区2009一模第25题）已知：
在RtABC∆中，ABBC=，在RtADE∆中，ADDE=，连
结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
图1
A
B
C
D
E
M
⑵如果将图①中的ADE∆绕点A逆时针旋转小于45︒的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？
如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图2
M
E
D
C
B
A
【例3】在四边形ABCD中，设M,N分别为CD,AB的中点，求证（1
2
MNADBC+≤
，当且仅当ADBC∥时等号成立．
NM
D
C
B
A
【例4】如图所示，在ABC∆的AB边上取两点E、F，使AEBF=，连接CE、CF，求证：
ACBC+>ECFC+．
C
B
AOEF
对角互补类
【例5】如图，90ABC∠=︒，BD为ABC∠的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点D，另外两
边分别交AB，BC于E，F两点，证明：
DEDF=
E
D
A
BC
【例6】如图，
120ABC∠=︒，BD为ABC∠的角平分线，60DEF∠=︒且角的两边分别交AB，BC于E，F两点，证明：
DEDF=
A
B
C
D
【例7】如图，在四边形ABCD中，90ADCABC∠=∠=︒，ADCD=，DPAB⊥于P，若四边形ABCD
的面积为18，求DP的长．
P
D
C
B
A
【例8】直角三角形ABC中9068AABBC∠=︒==，，；P为BC的中点，ABC∆绕着点P逆时针旋转
90︒到DEF∆，求重叠部分PQKR的面积．
【例9】已知，在四边形ABCD中，90ABCADC∠=∠=︒，对角线AC平分BAD∠，在DA的延
长线上任取一点E，连接EC，作1
2
ECFBCD∠=
∠，使CF与AB的延长线交于F，连结EF，请画出完整图形，探究：
线段BF、EF、ED之间具有怎样的数量关系，并说明理由
D
C
B
A
【例10】
（1）如图1，四边形ABCD中，ABCB=，60ABC∠=︒，120ADC∠=︒，请你猜想线段DA、
DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；
图1
D
B
A
（2）如图2，四边形ABCD中，ABBC=，60ABC∠=︒，若点P为四边形ABCD内一点，且120APD∠=︒，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论．
P
图2
D
CB
A
平移
【例11】如图所示，在ABC∆中，90B∠=︒，M为AB上的一点，且AMBC=；N为BC上的一点，
且CNBM=．连接AN、CM交于点P，求证：
45APM∠=︒．
P
NMC
B
A
【例12】（07年北京中考如图，已知ABC∆
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外，连结AD、AE，写出使此图中只存．．
在两对．．．
面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
C
BA
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明ABACADAE+>+．
⑴
D
EC
BA
【例13】如图14-1，ABC△的边BC在直线l上，ACBC⊥，且ACBC=；EFP△的边FP也在
直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP=．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将EFP△沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将EFP△沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为
（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？
若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
A（E）
BC（F）P
l
l
l
BF
C图14-1
图14-2
图14-3
平移加旋转
【例14】如图，已知E是正方形ABCD的边AB的中点，∠B的外角∠CBG的平分线BF交DE的垂线EF
于F。
（1）DE与EF是什么关系？
（不用证明）
（2）若E为AB上的任意一点（点A、B除外），结论
（1）还成立吗？
若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。
【例15】（2004年全国初中数学联赛如图，梯形ABCD中，ADBC∥，以两腰AB，CD为一边分别
向两边作正方形ABGE和DCHF，连接AD的垂直平分线l交线段EF于点M．求证：
点M为EF的中点．
M
l
H
F
D
E
B
A
旋转不变性
08年北京中考真题1.中点倍长
08年宣武二模
25．已知正方形ABCD和等腰RtBEF∆，BE=EF，∠BEF=90︒，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转45︒，再联结DF，取DF中点G（如图2），问
（1）中的结论是否仍然成立？
证明你的结论；
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问
（1）中的结论是否仍然成立？
证明你的结论.
图1图图3
DAGFECBGF
ECBADDGF
ECBA
2.旋转拼凑09崇文一模
08朝阳一模
探究操作题
（江苏盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置
关系为，数量关系为．②当点D在线段BC
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：
当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？
画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
（3）若AC＝BC=3，在
（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF
相交于点P，求线段CP长的最大值．
ABCEF第28题图图甲图乙FEAECB图丙
08年门头沟二模
25.如图，把一副三角板如图1放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15
得到△D/CE/如图2．这时AB与CD/相交于点O，D/E/与AB相交于点F．
（1）求∠OFE/的度数；
（2）求线段AD/的长．（3）若把三角形D/CE/绕着点C顺时针再旋转30
得△D//CE//，这时点B在△D//CE//的内部、外部、还是边上？
证明你的判断．
ACE图
1
图1
08东城一模
25．已知△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=900,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.
（1）如图1，若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F,求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）；
（2）如图2，若BD=CD,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE＝x，两块三角板重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）若2BDCD=,将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=（1xx>，两块三角板重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系，并写出自变量x
的取值范围．
08年石景山二模
25．我们做如下的规定：
如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.
把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板
ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设射线DE与
射线AB相交于点M，射线DF与线段BC相交于点N．
（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AM·CN=．
（2）将三角形板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为
α．其中090α<<，问AM·CN的值是否改变？
说明你的理由．
（3）在
（2）的条件下，设AM=x，两块三角形板重叠面积为y，求y与x的函数
关系式．（图2，图3供解题用）
图2
图3
图1
A
BC
M
N
D（O
A
M
N
E
F
E
A
线段和差问题08海淀一模
25．已知：
如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．
（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）；
（2）当满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；
（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出解答过程．
等分面积题
08石景山一模
25．阅读下面问题的解决过程：
问题解决：
如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．
ABC
D
P
新定义型
（07北京中考真题）我们知道：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形
.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若60A∠=︒，
12DCBEBCA∠=∠=
∠，请你写出图中一个与A∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边
形；
（3）在ABC∆中，如果A∠是不等于60º的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且
12DCBEBCA∠=∠=
∠，探究：
满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
08年房山二模七、解答题（本题满分7分）23．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．（1如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法．（3如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：
点P是四边形ABCD的准等距点．21
延伸类题目25.如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，ÐFMH=120,MH与六边形ÐABC外角的平分线BQ交于H点.
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：
∠AFM=∠BMH;
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.FCQHAMBN°ED22
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