《直角三角形》 教案 探究版.docx
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《直角三角形》教案探究版
《直角三角形》教案探究版
教学目标
知识与技能:
1.进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.
2.证明直角三角形的性质定理和判定定理.
3.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.
4.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.
5.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题.
6.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
过程与方法:
观察实践法,分组讨论法,讲练结合法,自主探究法.
情感、态度:
1.积极参与数学活动、对数学有好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.
教学重点:
1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.
2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.
3.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理,并且用于解决问题.
教学难点:
证明“HL”定理的思路的探究和分析;勾股定理及其逆定理的证明方法.
教学策略:
鼓励学生自主学习、积极探究思考.还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结.
教具准备:
多媒体课件
教学过程设计
一、情境导入
问题:
一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC,∠BAC=30°,AB=10cm,CB1⊥AB,B1C⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少?
B1C1呢?
解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”.由此提问:
“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?
”从而引入勾股定理及其证明.
设计意图:
通过问题,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质.
二、探究新知
1.忆一忆
回顾直角三角形有哪些性质和判定方法?
与同伴交流.
(1)直角三角形的两个锐角有怎么样的关系?
为什么?
(2)如果一个直角三角形有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗?
定理:
直角三角形的两个锐角互余.
定理:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.证一证
教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用拼图及由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗?
图1
图2
利用图1的边长为a,b,c的全等的四个直角三角形拼成一个以c为边的正方形
如图2,则图中的小正方形边长为(a-b),它的面积为(a-b)2,四个直角三角形的面积和为(4×
)
由此可得:
c2=(a-b)2+2ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2.
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗?
师生共同来完成.
已知:
如图:
在△ABC中,AB2+AC2=BC2
求证:
△ABC是直角三角形.
分析:
要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,可证.
证明:
作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC(如图),
则A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理).
∵AB2+AC2=BC2,
∴BC2=B′C′2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此,△ABC是直角三角形.
总结得勾股逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
设计意图:
经历定理的探究过程,即明确有关定理,同时提高学生的自主探究能力.
3.议一议
观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?
在前面的学习中还有类似的命题吗?
通过观察,学生会发现:
上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件.
这样的情况,在前面也曾遇到过.
例如:
“两直线平行,内错角相等”,“内错角相等,两直线平行”.
“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边就等于斜边的一半”.
“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”.
让学生畅所欲言,体会逆命题与命题之间的区别与联系,要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论,能够将一个命题写出“如果……;那么……”的形式,以及能够写出一个命题的逆命题.
活动中,教师应注意给予适度的引导,学生若出现语言上不严谨时,要先让这个疑问交给学生来剖析,然后再总结.活动时可以先让学生观察下面三组命题:
第一组:
如果两个角是对顶角,那么它们相等.如果两个角相等,那么它们是对顶角.
第二组:
如果小明患了肺炎,那么他一定发烧.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎.
第三组:
三角形中相等的边所对的角相等.三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?
与同伴交流.
不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命
题的条件.
在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对于逆命题来说,另一个就为原命题.
再来看“议一议”中的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题的真假.逆命题呢?
在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.
在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.
在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.
由此我们可以发现:
原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题.
4.想一想
要写出原命题的逆命题,需先弄清楚原命题的条件和结论,然后把结论变换成条件,条件变换成结论,就得到了逆命题.
请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?
它们都是真命题吗?
从而引导学生思考:
原命题是真命题吗?
逆命题一定是真命题吗?
并通过具体的实例说明.
如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.
其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理.
能举例说出我们已学过的互逆定理?
如我们刚证过的勾股定理及其逆定理,“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”.“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等.
5.做一做
已知:
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.
求证:
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明:
在Rt△ABC中,AC=AB2-BC2(勾股定理).
又∵在Rt△A′B′C′中,A′C′=A′C′=A′B′2-B′C′2(勾股定理).
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS).
教师用多媒体演示:
定理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.
三、典例精讲
例.如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边护体水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系?
解:
根据题意,可知
∠BAC=∠EDF=90°,
BC=CF,AC=DF.
∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL).
∴∠B=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
∵∠DEF+∠F=90°(直角三角形的两锐角互余),
∴∠B+∠F=90°.
设计意图:
例题巩固了直角三角形的定理,在解答过程中,引导学生分析解决问题的方法.
解决导入问题:
解:
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AB=10cm,
∴BC=
AB=
×10=5cm.
∵CB1⊥AB,
∴∠B+∠BCB1=90°.
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠BCB1=∠A=30°.
在Rt△ACB1中,BB1=
BC=
×5=
cm=2.5cm.
∴AB1=AB-BB1=10—2.5=7.5(cm).
∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°,
∴B1C1=
AB1=
×7.5=3.75(cm).
四、课堂练习
1.说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假;
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,内旁内角互补;
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.
2.在直角三角形中,锐角顶点所引的两条线中线长为5和
,那么这个直角三角形的斜边长()
A.10B.
C.
D.
3.如图,EA⊥AB,BC⊥AB,EA=AB=2BC,D为AB中点,有以下结论:
(1)DE=AC;
(2)DE⊥AC;(3)∠CAB=30°;(4)∠EAF=∠ADE,其中结论正确的是()
A.
(1),(3)B.
(2),(3)
C.(3),(4)D.
(1),
(2),(4)
4.如图所示,
,BC=DB,AC=AE,则
()
A.60°B.50°C.45°D.30°
设计意图:
及时巩固所学知识,了解学生的学习效果,增强学生灵活运用知识的能力.
答案:
1.解析:
互逆命题和互逆定理的概念,学生接受起来应不会有什么困难,尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题,写出其逆命题较为容易,但对于那些不是以这种形式给出的命题,叙述其逆命题有一定困难.可先分析命题的条件和结论,然后写出逆命题.
解:
(1)多边形是四边形.原命题是真命题,而逆命题是假命题.
(2)同旁内角互补,两直线平行.原命题与逆命题同为正.
(3)如果a=0,b=0,那么ab=0.原命题是假命题,而逆命题是真命题.
2.D.
3.D.
4.C.
五、课堂小结
定理:
三角形的两个锐角互余.
定理:
有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
设计意图:
通过小结,使学生梳理本节所学内容,理解直角三角形的相关定理和逆定理,综合运用直角三角形的相关定理解决问题.
六、布置作业
1.Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,c=13,则b=_________.
2.直角三角形两直角边长分别为6和8,则斜边上的高为_________.
3.以下各组数为边的三角形中,不是直角三角形的是()
A.
+1,
-1,2
B.4,7.5,8.5
C.7,24,25D.3.5,4.5,5.5
4.如图所示,在高为3m,斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯,至少需要地毯多少米?
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为N,试说明
.
答案:
1.12 2.4.8 3.D
4.解析:
毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和.
解:
52-32=16=42,
∴3+4=7.
∴至少需要地毯7米.
5.解析:
线段AN,BN,AC不构成直角三角形,所以不能直接利用勾股定理,故考虑转化,由于
,而MC=MB,故只需说明
即可.
解:
∵MN⊥AB,
∴
,
.
∴
.
∵AM是中线,∴MB=MC.
在Rt△ABC中,
,
∴
.
七、课堂检测设计
1.如下图,在Rt△ABC和Rt△DCB中,AB=DC,∠A=∠D=90°,AC与BD交于点O,则有△________≌△________,其判定依据是__________,还有△_________≌△_________,其判定依据是__________.
2.已知:
如图,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△__________≌△__________(HL).
3.已知:
如图,BE,CF为△ABC的高,且BE=CF,BE,CF交于点H,若BC=10,FC=8,则EC=__________.
4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如下图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是()
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
5.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是()
A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等
C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等
6.如下图,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:
CD=CB.
7.已知:
如下图,CD,C′D′分别是Rt△ABC,Rt△A′B′C′斜边上的高,且CB=C′B′,CD=C′D′.求证:
△ABC≌△A′B′C′.
8.如下图,已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,求证:
EB=ED.
1.ABC,DCB,HL,ABO,DCO,AAS.
2.ABE,DCF.
3.6.
4.B.
5.D.
6.证明:
连接AC,CD⊥AD,CB⊥AB
∴在Rt△ADC和Rt△ABC中,
∴Rt△ADC≌△Rt△ABC(HL).
∴CD=CB.
(本题也可用勾股定理直接证明)
7.证明:
∵CD⊥AB,C′D′⊥A′B′,
∴在Rt△CDB和Rt△C′D′B′中,
∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′(HL).
∴∠B=∠B′.
∴在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
8.证明:
在Rt△ADC和Rt△ABC中,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).
∴∠DCE=∠BCE,BC=DC.
∴在△DCE和△BCE中,
∴△DCE≌△BCE(SAS).∴EB=ED.