《直角三角形》 教案 探究版.docx

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《直角三角形》教案探究版

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教学目标

知识与技能：

1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力．

2．证明直角三角形的性质定理和判定定理．

3．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

4．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立．

5．能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理既解决实际问题．

6．进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

过程与方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法．

情感、态度：

1．积极参与数学活动、对数学有好奇心和求知欲．

2．形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．

教学重点：

1．了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

2．结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

3．能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理，并且用于解决问题．

教学难点：

证明“HL”定理的思路的探究和分析；勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学策略：

鼓励学生自主学习、积极探究思考．还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结．

教具准备：

多媒体课件

教学过程设计

一、情境导入

问题：

一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1，C1，那么BC的长是多少?

B1C1呢?

解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：

“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?

”从而引入勾股定理及其证明．

设计意图：

通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质．

二、探究新知

1．忆一忆

回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？

与同伴交流．

（1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？

为什么？

（2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？

定理：

直角三角形的两个锐角互余．

定理：

有两个角互余的三角形是直角三角形．

2．证一证

教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用拼图及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗?

图1

图2

利用图1的边长为a，b，c的全等的四个直角三角形拼成一个以c为边的正方形

如图2，则图中的小正方形边长为（a-b），它的面积为（a-b）2，四个直角三角形的面积和为（4×

）

由此可得：

c2=（a-b）2+2ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2．

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．

反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?

师生共同来完成．

已知：

如图：

在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：

△ABC是直角三角形．

分析：

要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角（构造的三角形的直角）相等，可证．

证明：

作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC（如图），

则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2（勾股定理）．

∵AB2＋AC2＝BC2，

∴BC2＝B′C′2．

∴BC＝B′C′．

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．

∴∠A＝∠A′＝90°（全等三角形的对应角相等）．

因此，△ABC是直角三角形．

总结得勾股逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

设计意图：

经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力．

3．议一议

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

在前面的学习中还有类似的命题吗?

通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

这样的情况，在前面也曾遇到过．

例如：

“两直线平行，内错角相等”，“内错角相等，两直线平行”．

“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．

“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．

让学生畅所欲言，体会逆命题与命题之间的区别与联系，要能够清晰地分别出一个命题的题设和结论，能够将一个命题写出“如果……；那么……”的形式，以及能够写出一个命题的逆命题．

活动中，教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结．活动时可以先让学生观察下面三组命题：

第一组：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．如果两个角相等，那么它们是对顶角．

第二组：

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．

第三组：

三角形中相等的边所对的角相等．三角形中相等的角所对的边相等．

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?

与同伴交流．

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命

题的条件．

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．

由此我们可以发现：

原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．

4．想一想

要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．

请学生写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗?

它们都是真命题吗？

从而引导学生思考：

原命题是真命题吗?

逆命题一定是真命题吗?

并通过具体的实例说明．

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.

其中逆命题称为原命题（即原定理）的逆定理．

能举例说出我们已学过的互逆定理?

如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．

5．做一做

已知：

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．

求证：

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．

证明：

在Rt△ABC中，AC=AB2－BC2（勾股定理）．

又∵在Rt△A′B′C′中，A′C′=A′C′=A′B′2－B′C′2（勾股定理）．

AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SSS）．

教师用多媒体演示：

定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

三、典例精讲

例.如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边护体水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？

解：

根据题意，可知

∠BAC=∠EDF=90°，

BC=CF，AC=DF．

∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）．

∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）．

∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余），

∴∠B+∠F=90°．

设计意图：

例题巩固了直角三角形的定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．

解决导入问题：

解：

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=10cm，

∴BC＝

AB＝

×10＝5cm．

∵CB1⊥AB，

∴∠B+∠BCB1＝90°．

又∵∠A+∠B＝90°，

∴∠BCB1＝∠A＝30°．

在Rt△ACB1中，BB1＝

BC＝

×5＝

cm＝2.5cm．

∴AB1＝AB－BB1＝10—2.5＝7.5（cm）．

∵在Rt△C1AB1中，∠A＝30°，

∴B1C1＝

AB1＝

×7.5＝3.75（cm）．

四、课堂练习

１．说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，内旁内角互补；

（3）如果ab＝0，那么a＝0，b＝0．

2．在直角三角形中，锐角顶点所引的两条线中线长为5和

，那么这个直角三角形的斜边长（）

A．10B．

C．

D．

3．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA＝AB＝2BC，D为AB中点，有以下结论：

（1）DE＝AC；

（2）DE⊥AC；（3）∠CAB＝30°；（4）∠EAF＝∠ADE，其中结论正确的是（）

A．

（1），（3）B．

（2），（3）

C．（3），（4）D．

（1），

（2），（4）

4．如图所示，

，BC=DB，AC=AE，则

（）

A．60°B．50°C．45°D．30°

设计意图：

及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．

答案：

1．解析：

互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题的条件和结论，然后写出逆命题．

解：

（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题．

（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为正．

（3）如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，而逆命题是真命题．

2．D．

3．D．

4．C．

五、课堂小结

定理：

三角形的两个锐角互余．

定理：

有两个角互余的三角形是直角三角形．

勾股定理:

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．

勾股定理的逆定理:

如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．

命题与逆命题

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

定理与逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

设计意图：

通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．

六、布置作业

1．Rt△ABC中，∠C=90°，若a=5，c=13，则b=_________．

2．直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边上的高为_________．

3．以下各组数为边的三角形中，不是直角三角形的是（）

A．

+1，

－1，2

B．4，7.5，8.5

C．7，24，25D．3.5，4.5，5.5

4．如图所示，在高为3m，斜坡长为5m的楼梯表面铺地毯，至少需要地毯多少米？

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明

．

答案：

1．12　　　2．4.8　　　3．D

4．解析：

毯子的长度恰好等于直角三角形两直角边的长度之和．

解：

52－32＝16＝42，

∴3＋4＝7．

∴至少需要地毯7米．

5．解析：

线段AN，BN，AC不构成直角三角形，所以不能直接利用勾股定理，故考虑转化，由于

，而MC＝MB，故只需说明

即可．

解：

∵MN⊥AB，

∴

，

．

∴

．

∵AM是中线，∴MB＝MC．

在Rt△ABC中，

，

∴

．

七、课堂检测设计

1．如下图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是__________，还有△_________≌△_________，其判定依据是__________．

2．已知：

如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）．

3．已知：

如图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________．

4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）

A．AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B．AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C．AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D．AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）

A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等

C．一条边和一锐角对应相等D．一条边和一个角对应相等

6．如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB．

7．已知：

如下图，CD，C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′．求证：

△ABC≌△A′B′C′．

8．如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：

EB=ED．

1．ABC，DCB，HL，ABO，DCO，AAS．

2．ABE，DCF．

3．6．

4．B．

5．D．

6．证明：

连接AC，CD⊥AD，CB⊥AB

∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，

∴Rt△ADC≌△Rt△ABC（HL）．

∴CD=CB．

（本题也可用勾股定理直接证明）

7．证明：

∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，

∴在Rt△CDB和Rt△C′D′B′中，

∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′（HL）．

∴∠B=∠B′．

∴在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．

8．证明：

在Rt△ADC和Rt△ABC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．

∴∠DCE=∠BCE，BC＝DC．

∴在△DCE和△BCE中，

∴△DCE≌△BCE（SAS）．∴EB=ED．