初三数学第11讲 圆的认识及垂径定理学案.docx

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初三数学第11讲圆的认识及垂径定理学案

圆的认识及垂径定理

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

120

知识点

1、弦、弧（优弧、劣弧、等弧）的定义

2、圆的垂径定理

学习目标

1、掌握圆弧的概念以及优弧、劣弧、等弧、弦的定义．

2、理解并掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题．

学习重点

掌握垂径定理的内容并能利用垂径定理解决数学问题．

学习难点

利用垂径定理解决数学问题.

学习过程

一、复习预习

1、已知圆的半径为r，则圆的周长：

2πr

2、求圆的面积时题中给出的已知条件有几种情况？

怎样求出圆面积？

     已知半径r求面积     S=πr2

     已知直径d求面积     S=π（

）2

     已知周长c求面积     S=π（

）2

3、环形面积：

  S=π（R2-r2）

二、知识讲解

考点1

圆的认识（弦、弧）

1、什么叫弦？

直径与弦的关系？

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.

2、什么叫弧？

什么叫优弧？

什么叫劣弧？

什么是等弧？

弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.

3、圆的对称性质？

作为轴对称图形，其对称轴是？

圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.

考点2

垂径定理

1、垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

已知：

直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M

求证：

，

=

，

=

.

分析：

要证

，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．

证明：

如图，连结OA、OB，则OA=OB

在

和

中

∴

∴

∴点A和点B关于CD对称

∵⊙O关于直径CD对称

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，

与

重合，

与

重合．

∴

=

，

=

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理推论：

1、推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论扩展

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2、垂径定理及其推论可概括为

三、例题精析

例1

【题干】

下列五个命题：

（1）平分弦的直径必垂直于弦

（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径

（3）圆中两点之间的部分叫做弧

（4）长度相等的两条弧叫等弧

（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径

其中真命题有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】A

【解析】

（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，

（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，

（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，

（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，

（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，

其中真命题有1个．

故选；A．

例2

【题干】如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中

，点O是

的圆心，其中CD=600m，E为

上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．

【答案】：

如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m

∵OE⊥CD

∴

根据勾股定理，得：

OC2=CF2+OF2

即R2=3002+（R-90）2解得R=545

∴这段弯路的半径为545m．

【解析】连接OC设弯路的半径为R，根据垂径定理及勾股定理求解即可.

例3

【题干】下列说法：

①半圆是弧；

②弧是半圆；

③圆中的弧分为优弧和劣弧．

其中正确的个数有（　　）

A．0B．1C．2D．3

【答案】B

【解析】解：

①半圆是弧，正确；

②弧是半圆，错误；

③圆中的弧分为优弧和劣弧还有半圆，故错误．

所以正确的有一个，故选B．

例4

【题干】已知：

⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.

【答案】解：

（1）如图，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.

又∵AB∥CD

∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.

∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm

=8+6=14（cm）

（2）如图所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时

同理可证：

MN=OM-ON=8-6=2（cm）

∴⊙O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm.

【解析】解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系及垂径定理的知识，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意。

例5

【题干】下列说法中，错误的是（　　）

①弦是直径；

②半圆是弧；

③长度相等的两条弧是等弧；

④能够互相重合的弧是等弧；

⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】根据弦、直径、弧的概念进行判断．

解：

①过圆心的弦是直径．故①错误；

②半圆半圆就是一条弧．故②正确；

③长度相等的两条弧是等弧．故③正确；

④在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧．故④错误；

⑤大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧．故⑤错误；

综上所述，错误的结论有3个．

故选：

C．

例6

【题干】已知如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求A到BC的距离．

【答案】解：

作AD⊥BC，交BC于点D，则AC必过圆心O，Rt△ODB，OB=5cm，OD=3cm，勾股定理可得BD=4，由等腰三角形三线合一的性质，AD即为A到BC的距离，AD=AO+OD＝5+3＝8cm

【解析】由垂径定理的推理得，垂直弦且平分弦的弦必过圆心，是直径。

例7

【题干】下列语句中正确的个数为（　　）

①等弧的度数相等；②等弧的弧长相等；③长度相等的弧是等弧；④度数相等的弧是等弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】根据等弧的概念，在同圆或等圆中，度数相等或长度相等的弧叫等弧．

解：

等弧的度数、长度都相等，1、2都对；而度数相等或长度相等的弧不一定相等，3、4错误，

故选B．

例8

【题干】绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　　）

　A．4mB．5mC．6mD．8m

【答案】D

【解析】解：

连接OA，

∵桥拱半径OC为5m，

∴OA=5m，

∵CD=8m，

∴OD=8﹣5=3m，

∴AD=

=

=4m，

∴AB=2AD=2×4=8（m）；

故选；D．

例9

【题干】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？

请说明理由．

【答案】解：

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18

R2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324

解得R=34（m）

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16

342=162+（34-x）2

162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0

解得x1=4，x2=64（不合题意舍）

∴DE=4

∴不需采取紧急措施．

【解析】：

要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R．

例10

【题干】如图，在同一平面内，有一组平行线

、

、

，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线

上，⊙O与直线

的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．

【答案】解：

连接OA，过点O作OD⊥AB，

∵AB=12，∴AD=

AB=

×12=6，

∵相邻两条平行线之间的距离均为4，

∴OD=8，

在Rt△AOD中，

∵AD=6，OD=8，

答：

⊙O的半径为：

10．

【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=

AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=4，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．

课程小结