高考文科立体几何证明专题.doc
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立体几何专题
1．如图4，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图5所示的三棱锥，其中．
（1）证明：
//平面；
（2）证明：
平面；
（3）当时，求三棱锥的体积．
【解析】
（1）在等边三角形中，
在折叠后的三棱锥中
也成立，,平面，
平面，平面；
（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.
在三棱锥中，，②
；
（3）由
（1）可知，结合
（2）可得.
【解析】这个题是入门级的题，除了立体几何的内容，还考查了平行线分线段成比例这个平面几何的内容.
2．如图5所示，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,ABCD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=AB,PH为PAD中AD边上的高．
（1）证明：
PH平面ABCD；
（2）若PH=1，AD=,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3）证明：
EF平面PAB．
解：
（1）
（2）:
过B点做BG；
连接HB,取HB中点M，连接EM，则EM是的中位线
即EM为三棱锥底面上的高
=
（3）：
取AB中点N，PA中点Q，连接EN，FN，EQ，DQ
3、如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，
M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。
（Ⅰ）求证：
DM∥平面APC；
（Ⅱ）求证：
平面ABC⊥平面APC；
（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．
4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为2，O是底ABCD对角线的交点。
求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）A1C⊥面AB1D1。
（3）若M是CC1的中点，求证：
平面AB1D1⊥平面MB1D1
M
5.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E、F分别是AB、PD的中点.
（1）求证：
AF∥平面PCE；
（2）求证：
平面PCE⊥平面PCD；
（3）求四面体PEFC的体积.
6.如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.
（1）求证：
平面PCC1⊥平面MNQ；
（2）求证：
PC1∥平面MNQ.
7.如图，在棱长为2的正方体中，
、分别为、的中点.
（1）求证：
//平面；
（2）求证：
8.右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，平面，
，且=2.
（1）画出该几何体的三视图；
（2）求四棱锥B－CEPD的体积；
（3）求证：
平面．
9.如图所示，四棱锥中，底面为正方形，平面，，，，分别为、、的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
；；
（3）求三棱锥的体积．
3、解：
（Ⅰ）由已知得，是ABP的中位线
……………2分
……………4分
（Ⅱ）为正三角形，D为PB的中点，
，…………………5分
…………………6分
又……………………7分
又………………9分
平面ABC⊥平面APC………………10分
（Ⅲ）∵，是三棱锥M—DBC的高，且MD＝…11分
又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝………12分
于是＝，………………………………………………13分
＝…………………………14分
4、证明：
（1）连结，设
连结，是正方体
是平行四边形
且
又分别是的中点，且
是平行四边形
面，面
面………………………………………5分
（2）面
又，
同理可证，
又
面………………………………………9分
（3）设B1D1的中点为N,则AN⊥B1D1,MN⊥B1D1,则
（也可以通过定义证明二面角是直二面角）………14分
5、.解：
（1）证明：
设G为PC的中点，连结FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FGCD，AECD
∴FGAE，∴AF∥GE
∵GE⊂平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（2）证明：
∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD.
∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE⊂平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（3）由
（2）知，GE⊥平面PCD，
所以EG为四面体PEFC的高，
又GF∥CD，所以GF⊥PD，
EG＝AF＝，GF＝CD＝，
S△PCF＝PD·GF＝2.
得四面体PEFC的体积V＝S△PCF·EG＝.
6、证明：
（1）∵AC＝BC，P为AB的中点，∴AB⊥PC，
又CC1∥AA1，
AA1⊥平面ABC，
∴CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AB，
又∵CC1∩PC＝C，
∴AB⊥平面PCC1，
由题意知MN∥AB，故MN⊥平面PCC1，
MN在平面MNQ内，
∴平面PCC1⊥平面MNQ.
（2）连接AC1、BC1，∵BC1∥NQ，AB∥MN，
又BC1∩AB＝B，
∴平面ABC1∥平面MNQ，
∵PC1在平面ABC1内，
∴PC1∥平面MNQ.
解：
（1）证明：
连接AF，则AF＝2，DF＝2，
又AD＝4，∴DF2＋AF2＝AD2，
∴DF⊥AF.又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，
（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD.
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，
∴平面EHG∥平面PFD.
∴EG∥平面PFD.
从而满足AG＝AP的点G为所求.
7、证明:
（1）连接
、分别为、的中点，则//，
又平面，平面，
∴//平面
（2）正方体中，平面，则
正方形中，，又=B，AB、平面,
则平面，
平面，所以
又//,所以EF.
8、解：
（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：
-----3分
（2）∵平面，平面
∴平面平面ABCD
∵∴BC平面----------5分
∵--6分
∴四棱锥B－CEPD的体积
.----8分
（3）证明：
∵，平面，
平面
∴EC//平面,------------------------------------10分
同理可得BC//平面----------------------------11分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且
∴平面//平面-----------------------------13分
又∵BE平面EBC∴BE//平面PDA------------------------------------------14分
面∴三棱锥以为高，三角形为底………10分
∵，，
∴．………12分
∵，
∴………14分
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