黄金分割专项练习30题.docx

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黄金分割专项练习30题

黄金分割专项练习30题（有答案）

1．定义：

如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：

点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．

（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；

（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；

（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）

3．定义：

如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．

如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：

点D是线段AC的黄金分割点；

（2）求出线段AD的长．

4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．

（1）尺规作图并保留作图痕迹；

（2）写出你的作法；

（3）证明：

腰与底之比为黄金比．

5．

（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；

（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．

6．如图，线段AB的长度为1．

（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；

（选做）

（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；

（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；

上面各题的结果反映了什么规律（提示：

在每一小题中设x和l）

7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．

8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．

9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．

为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗请试一试，说一说．

11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：

（1）AD=BD=BC；

（2）点D是线段AC的黄金分割点．

12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．

13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形请说明你的结论的正确性．

14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．

15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为时，是比较好看的黄金身段．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）

16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．

（1）求AM，DM的长；

（2）点M是AD的黄金分割点吗为什么

17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．

18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．

19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．

20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈．

（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：

满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：

　　　　　　；

（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为；

（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：

直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗请说明理由；

（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条

21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为，她的身高为，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美（精确到十分位）

22．已知线段AB，按照如下的方法作图：

以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗请说明理由．

23．如图，用纸折出黄金分割点：

裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．

24．如图，用纸折出黄金分割点：

裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗若是请你证明，若不是请说明理由．

25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．

（1）求∠B的度数；

（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．

①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；

②求AD的长；

③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：

黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：

第一步：

作一个正方形ABCD；

第二步：

分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；

第三步：

以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；

第四步：

过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．

请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．

27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．

（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）

注：

两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．

（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系只需说明结果，不用证明．

答：

CM与AB之间的数量关系是　　　　　　．

28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：

第一步：

如图

（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．

第二步：

如图

（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）

29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：

AB=AC，且∠A=36°．

（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）△BCD是不是黄金三角形如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；

（3）设，试求k的值；

（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．

30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：

直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：

在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗为什么

（2）请你说明：

三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线

（3）研究小组在进一步探究中发现：

过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

黄金分割专项练习30题参考答案:

1．

（1）证明：

∵AB=AC=1，

∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，

∵BD平分∠ABC交AC于点D，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，

∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，

∴DA=DB，BD=BC，

∴AD=BD=BC，

易得△BDC∽△ABC，

∴BC：

AC=CD：

BC，即BC2=CD•AC，

∴AD2=CD•AC，

∴点D是线段AC的黄金分割点；

（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，

∵AD2=CD•AC，

∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，

即AD的长为　

2．解：

（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得x（20﹣x）=99，

整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，

当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，

而AB＞AD，

所以x=11，即AB的长为11cm；

（2）不能．理由如下：

设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得x（20﹣x）=101，

整理得x2﹣20x+101=0，

因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，

所以方程没有实数解，

所以这个矩形的面积可能等于101cm2；

（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，

根据题意得20﹣x=x，

解得x=10（﹣1），

则20﹣x=10（3﹣），

所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．

3．解：

（1）∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

∴AD=BD，BC=BD，

∴△ABC∽△BDC，

∴=，即=，

∴AD2=AC•CD．

∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，

∴AD=AC，

∵AC=2，

∴AD=﹣1　

4．解：

（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，

（2）作法：

①画线段AB作为三角形底边；

②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．

③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；

④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．

（3）证明：

设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，

=．

5．解：

（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，

则AP=2×=﹣1，

或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；

（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．

6．解：

（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，

∵AC2=BC•AB，

∴x2=1×（1﹣x），

整理得x2+x﹣1=0，

解得x1=，x2=（舍去），

所以线段AC的长度为；

（2）设线段AD的长度为x，AC=l，

∵AD2=CD•AC，

∴x2=l×（l﹣x），

∴x1=，x2=（舍去），

∴线段AD的长度AC；

（3）同理得到线段AE的长度AD；

上面各题的结果反映：

若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：

AC=AC：

BC），则C点为AB的黄金分割点

7．解：

D是AC的黄金分割点．理由如下：

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB==72°．

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠ABC=36°．

∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，

∴∠C=∠BDC，

∴BC=BD．

∵∠A=∠1，

∴AD=BC．

∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴，

又∵AB=AC，AD=BC=BD，

∴，

∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点

8．证明：

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，

∵BD平分∠ABC，交于AC于D，

∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，

∴∠A=∠DBC，

又∵∠C=∠C，

∴△BCD∽△ABC，

∴

∵AB=AC，

∴=，

∵AB=AC=2，BC=﹣1，

∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），

解得AD=，

AD：

AC=（）：

2．

∴点D是线段AC的黄金分割点．

9．证明：

在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．

∵AE=BC，DF=BC，

∴AE=DF=BC=AD，

又∵∠ADF=90°，

∴四边形AEFD是正方形．

BE=，

∴，

∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．

∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．

10．解：

设正方形ABCD的边长为2，

在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，

由勾股定理知EB===，

∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，

HB=AB﹣AH=3﹣；

∴AH2=（）2=6﹣2，

AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，

∴AH2=AB•HB，

所以点H是线段AB的黄金分割点．　

11．证明：

（1）∵∠A=36°，∠C=72°，

∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，

∵∠ADB=108°，

∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，

∴△ADB是等腰三角形，

∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，

∴△BDC是等腰三角形，

∴AD=BD=BC．

（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：

AC=CD：

BC，

∴BC2=AC•DC，

∵BC=AD，

∴AD2=AC•DC，

∴点D是线段AC的黄金分割点．　

12．解：

∵D在AB上，且AD2=BD•AB，

∴点D是AB的黄金分割点

而点C是AB的黄金分割点，

∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，

∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，

∴==或==．　

13．解：

矩形ABFE是黄金矩形．

∵AD=BC，DE=AB，

∴==﹣1==．

∴矩形ABFE是黄金矩形．

14．解：

∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），

∴AD=AB=10﹣10，

∵EC+CD=AC+CD=AD，

∴EC+CD=（10﹣10）cm．　

15．解：

设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，

根据题意得x：

=，

即x=×≈（m）．

答：

他的肚脐到脚底的长度为时才是黄金身段．　

16．解：

（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，

∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，

DM=AD﹣AM=3﹣．

故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；

（2）点M是AD的黄金分割点．

由于=，

∴点M是AD的黄金分割点．　

17．解：

∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，

∴AP2=BP×AB，

又∵S1=AP2，S2=PB×AB，

∴S1=S2．

18．解：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，

∴△BCF∽△EAB，

∴，即，

把AD=，AB=+1代入得，=，

解得：

CF=2．

故答案为：

2．　

19．解：

矩形EFDC是黄金矩形，

证明：

∵四边形ABEF是正方形，

∴AB=DC=AF，

又∵，

∴，

即点F是线段AD的黄金分割点．

∴，

∴，

∴矩形CDFE是黄金矩形．　

20．解：

（1）满足≈的矩形是黄金矩形；

（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，

由得，BP2=AP×AB，

即k2=（1﹣k）×1，

解得k=，

∵k＞0，

∴k=≈；

（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，

设△ABC的AB上的高为h，则

，

∴

∴直线CP是△ABC的黄金分割线．

（4）由

（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．

21．解：

根据已知条件得下半身长是160×=96cm，

设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：

=，

解得：

x≈．

故她应该选择左右的高跟鞋穿上看起来更美．　

22．解：

设正方形ABCD的边长为2a，

在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，

由勾股定理知EB==a，

∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，

HB=AB﹣AH=（3﹣）a；

∴AH2=（6﹣2）a2，

AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，

∴AH2=AB•HB，

所以点H是线段AB的黄金分割点．

23．证明：

设正方形ABCD的边长为2，

E为BC的中点，

∴BE=1

∴AE==，

又∵B′E=BE=1，

∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，

∴AB″

∴点B″是线段AB的黄金分割点．

24．证明：

∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，

∴BE=1

∴AE==，

∵EF=BE=1，

∴AF=AE﹣EF=﹣1，

∴AM=AF=﹣1，

∴AM：

AB=（﹣1）：

2，

∴点M是线段AB的黄金分割点．　

25．解：

（1）∵BD=DC=AC．

则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．

设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．

又∠BOC=108°，

∴∠B+∠A=108°．

∴x+2x=108，x=36°．

∴∠B=36°；

（2）①有三个：

△BDC，△ADC，△BAC．

∵DB=DC，∠B=36°，

∴△DBC是黄金三角形，

（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．

∴△CDA是黄金三角形．

或∵∠ACE=108°，

∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，

∴∠A=∠ACB．

∴BA=BC．

∴△BAC是黄金三角形．

②△BAC是黄金三角形，

∴，

∵BC=2，∴AC=﹣1．

∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，

∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．

ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：

作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．

ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：

以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．

26．证明：

在正方形ABCD中，取AB=2a，

∵N为BC的中点，

∴NC=BC=a．

在Rt△DNC中，．

又∵NE=ND，

∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．

∴．

故矩形DCEF为黄金矩形．

27．解：

（1）

（2）CM=AB（4分）

28．证明：

如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．

在Rt△BCF中，BF==，

则A′F=BF﹣BA′=﹣1．

设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，

在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，

即，

解得x=，

即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．

29．解：

（1）如图所示；

（2）△BCD是黄金三角形．

证明如下：

∵点D在AB的垂直平分线上，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A．

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∴∠ABD=∠DBC=36°．

又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∴△BCD是黄金三角形．

（3）设BC=x，AC=y，

由

（2）知，AD=BD=BC=x．

∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，

∴△BDC∽△ABC，

∴，即，

整理，得x2+xy﹣y2=0，

解得．

因为x、y均为正数，所以．

（4）．

理由：

延长BC到E，使CE=AC，连接AE．

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ACB=∠B=72°，

∴∠ACE=180°﹣72°=108°，

∴∠ACE=∠B1A1C1．

∵A1B1=AB，

∴AC=CE=A1B1=A1C1，

∴△ACE≌△B1A1C1，

∴AE=B1C1．

由（3）知，

∴，，

∴．　

30．解：

（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

则，，，

∴，．

又∵点D为边AB的黄金分割点，

∴，

∴．

故直线CD是△ABC的黄金分割线．

（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，

∴，即，

故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

（3）∵DF∥CE，

∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，

∴S△DFC=S△DFE，

∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．

又∵，

∴．

因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）

（4）画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：

如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

画法二：

如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

（9分）