最新山东省专升本高等数学备考资料专题二汇总.docx

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最新山东省专升本高等数学备考资料专题二汇总

2013年山东省专升本高等数学备考资料（专题二）

2013年山东省专升本高等数学（专业课）备考资料

专题二：

导数与微分

时间：

2012年6月11日制作人：

曲天尧

<考纲展示>：

1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数；

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程；

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法（链式法则）；

4.掌握隐函数的求导方法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数；

5.理解函数微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的微分,会求简单函数的n阶导数；

6.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义；

7.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式；

8.理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，并且会解简单的应用问题；

9.会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点；

10.会求曲线的水平渐近线与铅垂渐近线.

<题型分类>：

题型一：

导数的定义及利用导数的定义判断分段函数在分界点处的可导性与连续性

<方法归纳>：

1.导数的定义：

函数的导数共有三个等价定义：

f＇（x0）=limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx（用于证明）=limx→x0[f（x）-f（x0）]/（x-x0）（讨论验证可导性）=limh→0[f（x0+h）-f（x0）]/h（一般作为选择题考查导数的定义）.

注意：

①导数的定义要求分子因变量与自变量一一对应；

②导数定义的衍生形式：

设函数y=f（x）在x=x0处可导，则limh→0[f（x0+ah）-f（x0+bh）]/h=（a-b）f＇（x0）（其中，a、b∈R）.

2.分段函数在分界点处可导性以及连续性的判定：

设f（x）是分段函数，x0是f（x）的一个分界点；若limx→x0-f（x0）=limx→x0+f（x0），则f（x）在x=x0处连续，反之则间断；同理，若f＇-（x0）=f＇+（x0），则分段函数f（x）在x=x0处可导.其中：

f＇-（x0）（左导数）=limΔx→0-[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx=limx→x0-[f（x）-f（x0）]/（x-x0），f＇+（x0）（右导数）=limΔx→0+[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx=limx→x0+[f（x）-f（x0）]/（x-x0），所用到的极限求法一般以两个重要极限、等价无穷小代换和洛必达法则为主.

注意：

分段函数在每一段上的函数不可以用基本初等函数的导数公式和求导法则来求导.

<典例分析>：

例1.下列选项中可作函数f（x）在x0的导数定义的是（）（2007年真题）

A.limn→∞[f（x0+1/n）-f（x0）]

B.limx→x0[f（x）-（x0）]/（x-x0）

C.limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0-Δx）]/Δx

D.limΔx→0[f（x0+3Δx）-f（x0+Δx）]/Δx

例2.函数f（x）=┃x┃，在点x=0处（）（2008年真题）

A.可导B.间断C.连续不可导D.连续可导

例3.设函数f（x）在点x0处可导，且f＇（x0）≠0，则f＇（x0）不等于（）（2008年真题）

A.limx→x0[f（x）-（x0）]/（x-x0）

B.limΔx→0[f（x0+Δx）-f（x0）]/Δx

C.limΔx→0[f（x0-Δx）-f（x0）]/Δx

D.limΔx→0[f（x0-Δx）-f（x0）]/（-Δx）

例4.设函数f（x）在点x0处可导，则limh→0[f（x0+h）-f（x0-h）]/h=A，则A=（）（2009年真题）

A.f＇（x0）B.2f＇（x0）C.0D.1/2f＇（x0）

例5.设函数f（x）在x=x0处可导，则limh→0[f（x0+3h）-f（x0-h）]/h=（）（2009年真题）

A.4f＇（x0）B.3f＇（x0）C.2f＇（x0）D.f＇（x0）

例6.已知f＇

（1）=1，则limΔx→0[f（1-2Δx）-f

（1）]/Δx等于（）（2010年真题）

A.1B.-1C.2D.-2

例7.已知f＇（0）=3，则limΔx→0[f（-Δx）-f（0）]/4Δx=（）（2011年真题）

A.1/4B.-1/4C.3/4D.-3/4

例8.设函数f（x）={2ex+ax＜0

{x2+bx+1x≥0，问a、b取何值时，f（x）在x=0处连续且可导.

题型二：

初等函数的导数、微分与高阶导数

<方法归纳>：

1.基本初等函数的导数公式：

①常数函数：

设f（x）=c，则f＇（x）=0;（其中，c为常数）

②幂函数：

设f（x）=xn，则f＇（x）=nxn-1；（其中，n为实数）

③指数函数：

设f（x）=ax，则f＇（x）=ax㏑a；（a＞0且a≠1）

特殊的，若f（x）=ex，则f＇（x）=ex；

④对数函数：

设f（x）=㏒ax（x＞0），则f＇（x）=1/㏑a（a＞0且a≠1）

特殊的，若f（x）=㏑x（x＞0），则f＇（x）=1/x；

⑤三角函数：

设f（x）=sinx，则f＇（x）=cosx；

设f（x）=cosx，则f＇（x）=-sinx；

设f（x）=tanx，则f＇（x）=sec2x=1/cos2x；

设f（x）=cotx，则f＇（x）=-csc2x=-1/sin2x；

设f（x）=secx，则f＇（x）=secx·tanx；

设f（x）=cscx，则f＇（x）=-cscx·cotx；

⑥反三角函数：

设f（x）=arcsinx，则f＇（x）=1/[（1-x2）1/2]（-1＜x＜1）；

设f（x）=arccosx，则f＇（x）=-1/[（1-x2）1/2]（-1＜x＜1）；

设f（x）=arctanx，则f＇（x）=1/（1+x2）；

设f（x）=arccotx，则f＇（x）=-1/（1+x2）.

2.求导法则：

（1）.函数和、差、积、商的求导法则：

设f（x）、g（x）在定义域内可导，则：

[f（x）±g（x）]＇=f＇（x）±g＇（x）；

[f（x）g（x）]＇=f＇（x）g（x）+f（x）g＇（x）;

特殊的，[cf（x）]＇=cf＇（x）；

[f（x）/g（x）]=[f＇（x）g（x）-f（x）g＇（x）]/g2（x）.[其中，g（x）≠0]

（2）.反函数的求导法则：

设y=f（x）的反函数为x=f-1（y），则[f-1（y）]＇=1/f＇（x）.

（3）.复合函数的求导法则（链式法则）：

设y=f（u）,u=g（x），且f（u）、g（x）都可导，则复合函数y=f[g（x）]的导数为：

dy/dx=dy/du·du/dx或dy/dx=f＇（u）g＇（x）=f＇[g（x）]g＇（x）或y＇x=y＇uu＇x.

注意：

1.复合函数在求导数时，一定要弄清楚是哪个函数与哪个函数的复合，可参照基本初等函数即可分辨出被复合的部分.

2.导数符号“＇”在不同位置表示对不同变量求导数，这就要求一定要看清楚导数符号的位置.例如f＇（arcsinx）表示对arcsinx求导，即f＇（arcsinx）=df（arcsinx）/d（arcsinx），而[f（arcsinx）]＇表示对x求导，即[f（arcsinx）]＇=df（arcsinx）/d（arcsinx）·d（arcsinx）/d（x）=f＇（arcsinx）·（arcsinx）=f＇（arcsinx）·1/[（1-x2）1/2]（-1＜x＜1）.

3.分段函数求导时，必须验证在分界点处的可导性；若不存在可导性，则分段函数在分界点处的导数无意义，最后所求得的导函数中不包括分界点；若在分界点处可导，则分段函数中的各个部分才可采用求导法则以及求导公式，并且最后所求得的导函数中包含分界点.验证可导性时可利用导数的定义判断.

4.函数的微分：

函数的微分表达式是dy=f＇（x）dx，由微分公式可知求微分实质上就是求函数的导数，只要求出导数f＇（x）然后再乘上dx即得函数的微分，对于复合函数也可应用微分形式的不变性求解微分.因此利用导数的四则运算法则、基本初等函数的导数公式和微分的定义即可得到基本初等函数的微分公式以及微分的四则运算.导数实质上是微分的商.在此需特别注意微分形式的不变性：

设y=f（u），u=g（x）构成复合函数y=f[g（x）]，f＇（u）、g＇（x）都存在，则dy=df[g（x）]=f[g（x）]＇dx=f＇（u）g＇（x）dx=f＇（u）du；若记F（x）=f[g（x）]，则有dy=F＇（x）dx或dy=f＇（u）du；即不论对于中间变量u还是自变量x，微分的形式总是一样的，称此性质为微分的形式不变形.

5.高阶导数：

函数二阶及其二阶以上阶的导数称为高阶导数，高阶导数的求法便是反复求导，几阶导数就是求几次导数，其中以二阶导数为掌握的重点，在后面导数的应用中将要用到二阶导数.高阶导数有如下运算法则：

若f（x）、g（x）都n阶可导，则：

[f（x）±g（x）]（n）=f（n）（x）±g（n）（x）；[cf（x）]（n）=cf（x）（n）;[f（x）g（x）]（n）=∑i=0nCnif（n-i）（x）g（n）（x）[其中，f（0）（x）=f（x）,g（0）（x）=g（x）].

6.可微、可导、连续与极限存在四者之间的关系：

可微与可导等价，可导必连续，但连续未必可导（例如y=┃x┃在x=0处连续，但在x=0处不可导），函数连续则极限必存在，但函数极限存在却未必连续（例如y=（x2-1）/（x-1），当x→1时函数极限为2，但此函数在x=1处间断）.

<典例分析>：

例9.若f（u）可导，且y=f（2x），则dy=（）（2007年真题）

A.f＇（2x）dxB.f＇（2x）d（2x）

C.[f（2x）]＇d（2x）D.f＇（2x）2xdx

例10．设y=sin[2x/（1+x2）]，求dy/dx.（2009年真题）

例11.设函数f（x）可微，则y=f（1-e-x）的微分是（）（2009年真题）

A.f＇（1-e-x）dxB.-e-xf＇（1-e-x）dx

C.e-xf＇（1-e-x）dxD.e-xf＇（1-e-x）

例12.设f（x）在x0处不连续，则（）（2010年真题）

A.f＇（x0）存在B.f＇（x0）不存在

C.limx→∞f（x）必存在D.f（x）在x0处可微

例13.设y=cos（sinx），则dy=------------------.（2010年真题）

例14.求下列函数的导数：

（1）.y=sinx2

（2）.y=2-2x2-x+1

（3）.y=[arctan（x）1/2]2（4）.y=esin1/x.

例15.设y=sin2（x/2），求y＂（0）.

题型三：

隐函数以及由参数方程确定的函数的求导

<方法归纳>：

1.隐函数的导数：

函数分为显函数和隐函数，显函数的求导即为初等函数的求导；而隐函数又分为半隐函数和全隐函数，对于半隐函数（例如x+y3-1=0）来讲可以转化为显函数，进而利用显函数的求导方法求其导数，也可以利用隐函数（这里主要是指全隐函数）的求导方法对其求导.而对于全隐函数的求导共有3种方法：

直接求导法、对数求导法和底数求导法.①直接求导法（通用方法）适用于二元函数方程F（x，y）=0，将F（x，y）=0两边同时对x求导，视y为x的函数，利用复合函数的求导法则（链式法则），得到一个关于y＇的方程，解出方程即可；②对数求导法适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导，方法如下：

（1）.将函数y=f（x）两边同时取自然对数，得到㏑y=㏑f（x）；

（2）.利用隐函数的求导方法进行求导，得到y＇的一个表达式；（3）.将y用原式y=f（x）代换，此时新得到的表达式即为y＇的最终表达式；③底数求导法与对数求导法一样，都是适用于幂指函数、多因子乘幂型函数求导，具体方法如下：

（1）.将函数y=f（x）g（x）取自然底数，得到y=eg（x）㏑f（x）；

（2）.利用复合函数的求导法则（链式法则）进行求导；（3）.将含有自然底数的函数表达式还原为f（x）.

2.由参数方程确定的函数的导数：

设参数方程{x=φ（t）

{y=ψ（t），α≤t≤β，且φ＇（t）、ψ＇（t）均可导，x=φ（t）严格单调，φ＇（t）≠0，则有：

dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt）=ψ＇（t）/φ＇（t），d2y/dx2=[d（dy/dx）/dt]/（dx/dt）.

<典例分析>：

例16.由参数方程{x=cost

{y=sint确定的dy/dx=-------------.（2008年做真题）

例17.由方程exy+y2=x确定函数y=y（x），求dy/dx.（2008年真题）

例18.设函数y=y（x）由方程2xy=x+y所确定，求dy/dx┃x=0.（2010年真题）

例19.求函数y=xsinx（x＞0）的导数.（2010年真题）

例20.由方程x2-y2-4xy=0确定的隐函数的导数dy/dx=-------------.（2011年真题）

例21.求由参数方程{x=acos3θ

{y=asin3θ所确定的函数的导数dy/dx.（2011年真题）

例22.求函数y=[x/（1+x）]x（x＞0）的导数.（2011年真题）

题型四：

导数的几何意义

<方法归纳>：

函数y=f（x）在x0点的导数f＇（x0）表示曲线y=f（x）上点（x0，f（x0））处切线的斜率.曲线y=f（x）上点（x0，f（x0））处的切线方程为：

y-f（x0）=f＇（x0）（x-x0），最后整理为直线方程的一般式Ax+By+C=0即可；曲线y=f（x）上点（x0，f（x0））处的法线方程为：

y-f（x0）=-1/f＇（x0）（x-x0），最后整理为直线方程的一般式Ax+By+C=0即可，一般作为选择题或者填空题的题型来考察.在做这类题目的时候一定要首先验证所给的点是否在曲线上，如果在曲线上才可以用此方法去解题，若果不在曲线上则不能用此方法.

<典例分析>：

例23.曲线{x=t2

{y=4t在t=1处的切线方程为-------------------.（2007年真题）

例24.曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点为（）（2007年真题）

A.（-1，-4）B.（2，2）C.（0，0）D.（1，-2）

例25.曲线y=x2+1在点（1，2）的切线斜率为-------------.（2008年真题）

例26.曲线y=x2在点（1，1）处的法线方程为（）（2010年真题）

A.y=xB.y=-x/2+2/3C.y=x/2+3/2D.y=-x/2-2/3

例27.若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线平行于直线y=2x-3，则f＇（x0）=---------------.（2010年真题）

例28.曲线y=1/x在点（2，1/2）处的切线方程为（）（2011年真题）

A.x+4y-4=0B.x-4y-4=0C.4x+y-4=0D.4x-y-4=0

例29.函数f（x）=┃x┃在点x=0处（）（2011年真题）

A.不连续B.连续但图形无切线C.图形有铅垂切线D.可微

题型五：

微分中值定理（拉格朗日中值定理）及其应用

<方法归纳>：

1.微分中值定理一般作为选择题（或者是填空题）、证明题的形式考查，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西定理，其中以拉格朗日中值定理为掌握的重点.拉格朗日中值定理内容为：

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么至少存在一点ζ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f＇（ζ）（b-a）或f（b）-f（a）/（b-a）=f＇（ζ）；推论1：

若f（x）在（a，b）内可微，且f＇（x）=0，则f（x）为常数；推论2：

若f（x）与g（x）在（a，b）内可微，且f＇（x）=g＇（x），则在（a，b）内有f（x）=g（x）+C，其中C为常数.

2.验证中值定理及求中值ζ：

验证拉格朗日中值定理只需要验证定理条件是否满足，对于某些具体函数可以按定理所给公式求得中值ζ.

3.利用中值定理证明恒等式或不等式：

①证明恒等式时，将恒等式化为f（x）=C，然后验证f＇（x）=0，再任取一点x0，有定理可知f（x）=f（x0）；②证明不等式时，关键是找到适当函数，然后对其在所给范围内应用中值定理，再将f＇（ζ）作适当的放大或缩小即可得证；若不会运用中值定理，则可利用高中阶段学习过的不等式恒成立问题转化为求一个函数在限定区间内的最值，进而利用最值证明相关不等式，关于函数最值的求法将在导数的应用中给出具体求法.

4.利用中值定理验证方程的根的问题：

①将所证命题化为f（n）（ζ）=0的形式：

（1）.当n=0时，直接用连续函数的零点定理证明（由此可见，零点定理只是中值定理的特殊形式）；

（2）.当n=1时，应用罗尔定理证明；（3）.当n=2时，对导函数f＇（x）应用罗尔定理证明；（4）.当n＞2时，反复对高阶导函数应用罗尔定理.②将所证命题化为f（b）-f（a）/（b-a）=f＇（ζ），[a，ζ]为某个区间，然后运用拉格朗日定理证明.以上思路的实现关键是要构造出适当的函数f（x）及适当的区间[a，b]，函数的构造可用后续所学的积分的方法得以解决.

<典例分析>：

例30.函数f（x）=㏑x在区间[1，2]上满足拉格朗日中的ζ=（）（2008年真题）

A.㏑2B.㏑1C.㏑eD.1/㏑2

例31.证明：

当x＞0，0＜a＜1时，xa-ax≤1-a.（2009年真题）

例32.设函数f（x）在[0，π/2]上连续，在（0，π/2）内可导，且f（0）=0，f（π/2）=1，试证f ＇（x）=cosx在（0，π/2）上至少有一个实根.（2009年真题）

例33.当0＜β≤α＜π/2时，证明不等式：

（α-β）/cos2β≤tanα-tanβ≤（α-β）/cos2α成立.

例34.设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f

（1）=0.证明：

至少存在一点ζ∈（0，1），使f＇（ζ）=-f（ζ）/ζ.

题型六：

函数图象的渐近线

<方法归纳>：

函数图象的渐近线总共有三种：

水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线，这类题型一般作为选择题形式来考查.水平渐近线：

设曲线y=f（x）的定义域包含无穷区间，则：

（1）.若limx→-∞f（x）=b1，则曲线y=f（x）向左无限伸展以y=b1为水平渐近线；

（2）.若limx→+∞f（x）=b2，则曲线y=f（x）向右无限伸展以y=b2为水平渐近线；（3）.limx→∞f（x）=b，则曲线y=f（x）向左右无限伸展以y=b为水平渐近线.铅垂渐近线：

设函数y=f（x）在x=c点间断，若limx→c-f（x）=∞或limx→c+f（x）=∞，则直线x=c为曲线y=f（x）的一条铅垂渐近线.斜渐近线：

设函数f（x）定义域包含无穷区间，若limx→-∞f（x）/x=a1，limx→-∞[f（x）-a1x]=b1，则曲线向左方伸展有斜渐近线y=a1x+b1；若limx→+∞f（x）/x=a2，limx→+∞[f（x）-a2x]=b2，则曲线向右方伸展有斜渐近线y=a2x+b2；若limx→∞f（x）/x=a，limx→∞[f（x）-ax]=b，则曲线向左右伸展有斜渐近线y=ax+b.在实际解题中考生应当首先考虑铅垂渐近线，只要函数有间断点且间断点的左右两侧不存在极限便存在铅垂渐近线，其次再考虑水平渐近线，最后考虑斜渐近线.

<典例分析>：

例35.y=3/（x-2）的水平渐近线是-------------.（2009年真题）

例36.当x＞0时，曲线y=xsin1/x（）（2009年真题）

A．没有水平渐近线B.仅有水平渐近线

C.仅有铅垂渐近线D.既有水平渐近线，又有铅垂渐近线

例37.函数y=sinx/x（x-1）的铅垂渐近线是（）（2011年真题）

A.x=1B.x=0C.x=2D.x=-1

题型七：

导数在数学中的应用

<方法归纳>：

这类题型是专升本考查的重点，一般作为选择题，填空题或者计算题、应用题考查.导数主要应用于函数单调性的判定（一阶导数的应用）、函数凹凸性的判定（二阶导数的应用）和函数极值最值的求法[一阶导数（二阶导数）的应用]这三个方面.

1.利用一阶导数判定所给函数的单调性的步骤：

（1）.判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；

（2）.在定义域的范围内，对函数求一阶导数；（3）.令一阶导数为零，求出驻点（一阶导函数的零点）或是令函数导数不存在的点；（4）.若存在驻点，则分别解不等式f＇（x）＞0和f＇（x）＜0，解出f＇（x）＞0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递增区间，解出f＇（x）＜0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递减区间；若不存在驻点，则应分析使驻点不存在的点（即不可导点）的左右两侧导数的正负，从而确定函数的单调性；（5）.下结论，注意区间的写法.

2.函数的凹凸性：

①设函数f（x）在区间I内连续，如果对任意的x1，x2∈I（x1≠x2），有：

<1>f[（x1+x2）/2]＜[f（x1）+f（x2）]/2，则称函数f（x）在区间I内是凸的，即下凸函数；<2>f[（x1+x2）/2]=[f（x1）+f（x2）]/2，则f（x）=ax+b（a、b∈R且a≠0）不存在凹凸性；<3>f[（x1+x2）/2]＞[f（x1）+f（x2）]/2，则称函数f（x）在区间I内是凹的，即上凸函数（凹函数）.②利用二阶导数判定所给函数的凹凸性的步骤：

（1）.判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；

（2）.在定义域范围内，对函数求二阶导数；（3）.令二阶导数为零，求出拐点（二阶导函数的零点）或是令二阶导数不存在的点；（4）.若存在拐点，则分别解不等式f＂（x）＞0和f＂（x）＜0，解出f＂（x）＞0的解集与定义域的交集即为原函数的下凸区间，解出f＂（x）＜0的解集与定义域的交集即为原函数的上凸区间（凹区间）；若不存在拐点，则应分析使拐点不存在的点（即不可导点）的左右两侧二阶导数的正负，从而确定函数的凹凸性；（5）.下结论，注意区间的写法.

3.函数的极值：

①利用一阶导数求所给函数的极值的步骤（重点掌握）：

（1）.判断所给函数的定义域（注意在专题一中所总结的特殊函数的定义域）；

（2）.在定义域的范围内，对函数求一阶导数；（3）.令一阶导数为零，求出驻点（一阶导函数的零点）或是令函数导数不存在的点；（4）.若存在驻点，则分别解不等式f＇（x）＞0和f＇（x）＜0，解出f＇（x）＞0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递增区间，解出f＇（x）＜0的解集与定义域的交集即为原函数的单调递减区间；若不存在驻点，则应分析使驻点不存在的点（即不可导点）的左右两侧导数的正负；（5）.将所有x在定义域及分界点处变化所引起f＇（x）和f（x）的变化列表，f（x）先增后减对应极大值，f（x）先减后增对应极小值，即异号取极值，同号无极值，判断完毕后求出极大值和