工学信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 信号与系统13章答案.docx
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工学信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统13章答案
[工学]信号与系统答案西北工业大学段哲民信号与系统1-3章答案
第一章习题
-t1-1画出下列各信号的波形:
(1)f(t)=(2-e)U(t);
(2)1-tf(t)=ecos10πt×[U(t-1)-U(t-2)]。
2
答案
f(t)1
(1)的波形如图1.1(a)所示.
2T,,0.2sf(t)cos10,t,102
(2)因的周期,故的波形如图题1.1(b)所示.
1-2已知各信号的波形如图题1-2所示,试写出它们各自的函数式。
答案
f(t),t[u(t),u(t,1)],u(t,1)1
f(t),,(t,1)[u(t),u(t,1)]2
f(t),(t,2)[u(t,2),u(t,3)]3
1-3写出图题1-3所示各信号的函数表达式。
答案
11,(t,2),t,1,2,t,0,22f(t),,1110,t,2,(,t,2),,t,1
22,
f(t),u(t),u(t,1)u(t,2)2
f(t),,sint[u(t,2),u(t,2)]32
f(t),u(t,2),2u(t,1),3u(t,1),4u(t,2),2u(t,3)4
21-4画出下列各信号的波形:
(1)f(t)=U(t-1);
(2)f(t)=(t-1)U(t-1);1222(3)f(t)=U(t-5t+6);(4)f(t)=U(sinπt)。
34
答案
f(t),u(t,1),u(,t,1)1
(1),其波形如图题1.4(a)所示.
f(t),(t,1)[u(t,1),u(,t,1)],(t,1)u(t,1),(t,1)u(,t,1)2
(2)其波形如图题1.4(b)所示.
f(t),u(,t,2),u(t,3)3(3),其波形如图1.4(c)所示.
f(t),u(sin,t)4(4)的波形如图题1.4(d)所示.
1-5判断下列各信号是否为周期信号,若是周期信号,求其周期T。
,2
(1)f(t),2cos(2t,)
(1)f(t),[sin(t,)]1246;;(3)f(t),3cos2,tU(t)3。
答案
t,R周期信号必须满足两个条件:
定义域,有周期性,两个条件缺少任何一个,则就不是周期信号了.
2,T,s3
(1)是,.
12,f(t),3,[1,cos(2t,)]T,,,s223
(2),故为周期信号,周期.
t,0f(t),0,(3)因时有故为非周期信号
1-6化简下列各式:
d,,,dt,,cos(t,)(t),[cost,(t)]sintdt,,,(2,,1)d,1,,,,dt4,,,,dt
(1);
(2);(3)。
答案
tt11111,[2(,,)]d,,,(,,)d,,u(t,)2,,,,,,2222
(1)原式=
d2,[cos,,(t)],,(t)dt42
(2)原式=
,,,(t)sintdt,[,sin(t)],,cos,,1t,0t,0,,,(3)原式=
,jwtcos[(t,3)(t,2)]dte(t,3)dt,,,,,001-7求下列积分:
(1);
(2);,,2te,(t,t)dt,0,0(3)。
答案
cos[,(2,3)],cos(,,),cos,
(1)原式=
,j,3,j3,e(t,3)dt,e,0,0,,0
(2)原式=
,2t,2t,2t00e(t,t)dt,e,1,e,0,0(3)原式=
1-8试求图题1-8中各信号一阶导数的波形,并写出其函数表达式,其中
f(t),cost[U(t),U(t,5)]32。
答案
,f(t)f(t),2u(t,1),3u(t),u(t,2)1(a),的波形如图题1。
8(d)所示。
,f(t),u(t,1),2u(t,1),3u(t,2),u(t,3)f(t)22(b),的波形如图题1。
8(e)所示。
,f(t),,sint[u(t),u(t,5)],,(t)3,f(t)32(c),的波形如图题1.8(f)所示.
1f()21-9已知信号的波形如图题1-9所示,试画出y(t)=f(t+1)U(-t)的波形。
答案
y(t),f(t,1)u(,t)的波形如图题1.9(b)所示。
tf(2,,)d,,,,1-10已知信号f(t)的波形如图题1-10所示,试画出信号与信
d[f(6,2t)]号的波形。
dt
答案
tf(2,)d,,f(2,t),,,
(1)的波形与的波形分别如图题1.10(b),(c)所示。
d[f(6,2t)]f(6,2t)dt
(2)的波形与的波形分别如图题1.10(d),(e)所示。
d[f(6,2t)],,(t,2),,(t,2.5),2,(t,3)dt且
1-11已知f(t)是已录制的声音磁带,则下列叙述中错误的是(__)。
A.f(-t)是表示将磁带倒转播放产生的信号
B.f(2t)表示磁带以二倍的速度加快播放
C.f(2t)表示磁带放音速度降低一半播放
D.2f(t)表示将磁带音量放大一倍播放
答案
C
1-12求解并画出图题1-12所示信号f(t),f(t)的偶分量f(t)与奇分量12e
f(t)。
o
答案
11因式中f(t),f(t),f(t),[f(t),f(,t)],[f(t),f(,t)]e022
11。
故可画出各待求偶分量f(t),[f(t),f(,t)],f(t),[f(t),f(,t)]e022
与奇分量的波形,相应如图题1.12中所示。
1-13已知信号f(t)的偶分量f(t)的波形如图题1-13(a)所示,信号e
f(t+1)×U(-t-1)的波形如图题1-13(b)所示。
求f(t)的奇
分量f(t),并画出f(t)的波形。
oo
答案
因f(t),f(t),f(t)e0
故有f(t)u(,t),f(t)u(,t),f(t)u(,t)e0
右移1将信号的f(t,1)u(,t,1),,,,f(t,1,1)u(,t,1,1),f(t)u(,t),f(t)u(,t)波形如图题1。
13(c)所示。
又有
f(t)u(,t),f(t)u(,t),f(t)u(,t)0e
的波形如图题1.13(d)所示。
f(t)u(,t)0
因为是奇函数,关于坐标原点对称,故的波形如图题1.13(e)f(t)f(t)u(t)00
所示。
最后得
f(t),f(t)u(,t),f(t)u(t),u(,t,1),u(t,1)000
的波形如图题1.13(f)所示。
f(t)0
1-14设连续信号f(t)无间断点。
试证明:
若f(t)为偶函数,则其一阶导数
f′(t)为奇函数;若f(t)为奇函数,则其一阶导数
f′(t)为偶函数。
答案
,,f(,t),f(t)f(,t),,f(t)f(t)f(t)
(1)若为偶函数,则有.故.故为奇函数。
,f(,t),,f(t)f(,t),,f(t)f(t)
(2)若为奇函数,则有.故,即,,,,,f(t),,[f(,t)],,[,f(t)],f(t)f(t).故为偶函数。
1-15试判断下列各方程所描述的系统是否为线性的、时不变的、因果的系
统。
式中f(t)为激励,y(t)为响应。
dy(t),f(t)dt
(1)
(2)y(t)=f(t)U(t)
(3)y(t)=sin[f(t)]U(t)(4)y(t)=f(1-t)
2(5)y(t)=f(2t)(6)y(t)=[f(t)]
t5ty(t),f(,)d,y(t),f(,)d,,,,,,,(7)(8)
答案
(1)线性,时不变,因果系统
f(t)y(t)
(2)线性,时变,因果系统。
因为当激励为时,其响应;当激励为f(t,t)y(t),f(t,t)u(t)010时,其响应为,但是
y(t,t),y(t)01,所以系统为时变系统。
(3)非线性,时变,因果系统。
y(0),f
(1)t,0(4)线性,时变,非因果系统。
因为当时有,即系统当前时刻的响应决定于未来时刻的激励,故为非因果系
统。
(5)线性,时变,非因果系统。
y(t)f(t)(6)非线性,时不变,因果系统。
因为当激励为时,响应为;当激
2kf(t)y(t),[kf(t)]1励为时,响应为,但
y(t),ky(t)1,故该系统为非线性系统。
(7)线性,时不变,因果系统。
(8)线性,时变,非因果系统。
t,t,y(t),ef(,)ed,,,,1-16已知系统的激励f(t)与响应y(t)的关系为,则该
系统为(__)。
A线性时不变系统B线性时变系统
C非线性时不变系统D非线性时变系统
答案
A
1-17图题1-17(a)所示系统为线性时不变系统,已知当激励f(t)=U(t)时,1其响应为y(t)=U(t)-2U(t-1)+U(t-2)。
1
若激励为f2(t)=U(t)-U(t-2),求图题117(b)所示系统的响应y(t)。
2
答案
y(t),u(t),2u(t,1),u(t,2),2[u(t,1),2u(t,2),u(t,3)],2
2[u(t,3),2u(t,4),u(t,5)],[u(t,4),2u(t,5),u(t,6),u(t),4u(t,1),5u(t,2),5u(t,4),4u(t,5),u(t,6)
的波形如图题1.17(c)所示.y(t)2
1-18图题1-18(a)所示为线性时不变系统,已知h(t)=δ(t)-δ(t-1),1h(t)=δ(t-2)-δ(t-3)。
(1)求响应h(t);2
(2)求当f(t)=U(t)时的响应y(t)(见图题1-18(b))。
答案
(1)h(t),h(t),h(t),,(t),,(t,1),,(t,2),,(t,3)12
tf(t),u(t),()d,,,
(2)因,故根据现行系统的积分性有,,,
tty(t),h((d,[(),(,1),(,2),(,3)]d,u(t),u(t,1),u(t,2),u(t,3),,,,,,,,,,,,,,,,,
1-19已知系统激励f(t)的波形如图题1-19(a)所示,所产生的响应y(t)的
波形如图题1-19(b)所示。
试求激励f(t)1
(波形如图题1-19(c)所示)所产生的响应y(t)的波形。
1
答案
f(t)用表示即f(t)1
f(t),f(t,1),f(t,1)1
故在同一系统中所产生的响应为f(t)1
y(t),y(t,1),y(t,1)1
y(t,1),y(t,1),y(t)故的波形分别如图题1.19(d),(e),(f)所示。
1-20已知线性时不变系统在信号δ(t)激励下的零状态响应为h(t)=U(t)-U(t-2)。
试求在信号U(t-1)激励下的零状态
响应y(t),并画出y(t)的波形。
答案
tu(t)u(t),()d,,,因有,故激励产生的响应为,,,
tty(t),h()d,[u(),u(,1)]d,,,,,,1,,,,,,
ttu()d,u(,1)d,,,,,,,,,,,
0t,1,
tu(t),(t,1)u(t,1),t,11,t,3,
2t,3,
u(t,1)故激励产生的响应为
y(t),y(t,1),(t,1)u(t,1),(t,2)u(t,2)1
y(t)的波形如图题1。
20所示。
1-21线性非时变系统具有非零的初始状态,已知激励为f(t)时的全响应为-ty(t)=2eU(t);在相同的初始状态下,当激励为1
-t2f(t)时的全响应为y(t)=(e+cosπt)U(t)。
求在相同的初始状态下,当激2
励为4f(t)时的全响应y(t)。
3
答案
f(t)设系统的零输入响应为,激励为时的零状态响应为,y(t)y(t)fx
故有
ty(t),y(t),y(t),2eu(t)1xf
ty(t),y(t),2y(t),(e,cos,t)u(t)2xf故联解得
ty(t),(3e,cos,t)u(t)x
ty(t),(,e,cos,t)u(T)f
故得
第二章习题2-1.图题2-1所示电路,求响应u(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
2
答案
解其对应的算子电路模型如图题2.1(b)所示,故对节点?
,?
可列出算子
形式的KCL方程为
,,111,,,(),(),()ututft,12,,3pp,,,,,,111,,,,(),,,(),0utput12,,,1pp,,,
即
1,,pututpft,1(),(),(),,,123,,,
2,ut,,pput,(),,,1(),012,
联解得
3u(t),f(t),H(p)f(t)22p,4p,4
故得转移算子为
u(t)32H(p),,2f(t)p,4p,4
u(t)对f(t)的微分方程为2
2,,p,4p,4u(t),3f(t)2
2ddu(t),4u(t),4u(t),3f(t)2222dtdt即
2-2图题2-2所示电路,求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
答案
解其对应的算子电路模型如图2.2(b)所示。
故得
f(t)10p,10i(t)f(t),,22p,11p,302,p1,0.1p,22,p故得转移算子为
i(t)10p,10H(p),,2f(t)p,11p,30
i(t)对f(t)的微分方程为
2(p,11p,30)i(t),(10p,10)f(t)
2dddi(t),11i(t),30i(t),10f(t),10f(t)2dtdtdt即
--2-3图题2-3所示电路,已知u(0)=1V,i(0)=2A。
求t>0时的零输入响应C
i(t)和u(t)。
C
答案
解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。
故对节点N可列写出算子形式的KCL方程为
,p13,,,,u(t),0C,,2p2,,
又有uc(t)=pi(t),代入上式化简,即得电路的微分方程为
2,(p3p2)i(t)0,,,
,,i(0)i(0)2,,,
,,u(0)u(0)1,,cc,
电路的特征方程为
2p,3p,2,0
故得特征根(即电路的自然频率)为p=-1,p=-2。
故得零输入响应的12通解式为
ptpt,t,2t12i(t),Ae,Ae,Ae,Ae1212
t,2t,i(t),,Ae,2Ae12又
故
,i(0),A,A,212有
(1)
,,i(0),,A,2A12
又因有
u(t),Li(t)c
,,,(0)(0)u,Lic故
L(,A,2A),112即
A,2A,112即
(2)
式
(1)与式
(2)联解得A=5,A=-3。
故得零输入响应为12
t,2ti(t),5e,3eAt,0
又得
di(t)d,t,2t,t,2t,,u(t),L,15e,3e,,5e,6eVt,0cdtdt
解其对应的算子电路模型如图题2.3(b)所示。
故对节点N可列写出算子形式的KCL方程为
,p13,,,,u(t),0C,,2p2,,
又有uc(t)=pi(t),代入上式化简,即得电路的微分方程为
2,(p3p2)i(t)0,,,
,,i(0)i(0)2,,,
,,u(0)u(0)1,,cc,
电路的特征方程为
2p,3p,2,0
故得特征根(即电路的自然频率)为p=-1,p=-2。
故得零输入响应的12
通解式为
ptpt,t,2t12i(t),Ae,Ae,Ae,Ae1212
t,2t,i(t),,Ae,2Ae12又
故
,i(0),A,A,212有
(1)
,,i(0),,A,2A12
-2-4图题2-4所示电路,t<0时S打开,已知u(0-)=6V,i(0)=0。
(1)今于t=0C
时刻闭合S,求t>0时的零输入响应u(t)和i(t);
(2)为使电路在临界阻尼C
状态下放电,并保持L和C的值不变,求R的值。
答案
解
(1)t>0时S闭合,故有
,,,u(0),Li(0),6Vc
,,i(0),i(0),0
t>0时的算子电路模型如图题2.4(b)所示。
故得t>0电路的微分方程为
111u(t),(2.5,p)i(t),(2.5,p)(,pu),cc444
2.512,pu(t),pu(t)cc41612.5,,2p,p,1u(t),0,,c164,,即
2,(p10p16)u(t)0,,,c,,,u(0)u(0)6,,,cc
,,i(0)i(0)0,,,即2其特征方程为p+10p+16=0,故得特征根(即电路的自然频率)为p=-2,p=-8。
12
故得零输入响应u(t)的通解形式为c
2t,8tu(t),Ae,Aec12
2t,8t,u(t),,2Ae,8Aec12又有
2t,8t,Cu(t),C(,2Ae,8Ae)12故
1,2t,8t,i(t),(,2Ae,8Ae),124即V1,2t,8t,Ae,2Ae122
1,2t,8ti(t),Ae,2Ae122即
,,u(0),A,A,612c,,1,i(0),A,2A,0,122,故有
联解得A-=8,A=-2。
故得12
2t,8tu(t),8e,2eVt,0c
du,2t,8tci(t),,C,4e,4eAt,0dt又得
2-5图题2-5所示电路,
(1)求激励f(t)=δ(t)A时的单位冲激响应u(t)和Ci(t);
(2)求激励f(t)=U(t)A时对应于i(t)的单位阶跃响应g(t)。
答案
解
(1)该电路的微分方程为
2dLdLCi(t),i(t),i(t),f(t)2Rdtdt
代入数据并写成算子形式为
2(p,5p,4)i(t),4f(t),4,(t)
故得
4i(t),(t),,2p,5p,4
44,,,,,414133,,,,,,,,(t),(t),(t),,,,p1p43p13p4,,,,,,
44,,,t,4ti(t),e,eU(t)A,,33,,故得
进一步又可求得u(t)为c
()416dit,,,t,4t()0.25ut,L,,e,e,,,c33dt,,
14,,,t,4t,e,eU(t)V,,33,,
tU(t),,(,)d,,,,
(2)因有,故根据线性电路的积分性有
tt44,,,,,4,g(t),i,()d,,e,eU(,)d,,,,,,,,,33,,
41,,,t,4t1,e,eU(t)A,,33,,
2-6图题2-6所示电路,以u(t)为响应,求电路的单位冲激响应h(t)和单位阶C
跃响应g(t)。
答案
解电路的微分方程为
2dduc,3uc,2u,2f(t)c2dtdt写成算子形式为
2(p,3p,2)u(t),2f(t)c
u(t),h(t)f(t),,(t)Vc?
当时,有。
故得单位冲击响应为
22h(t),,(t),,(t),2,,,,p,1p,2p,3p,2
2,2,(t),,(t),p,1p,2
t,2t,t,2t2e,2e,2(e,e)U(t)V?
当f(t)=U(t)V时,有uc(t)=g(t)。
故得
tt,,,2,g(t),h()d,2(e,e)U()d,,,,,,,,,,,
t,,,,2,,,2,2(e,e)d,(,2e,e,1),U(t)V,,0
2-7求下列卷积积分
-3t’
(1)t[U(t)-U(t-2)]*δ(1-t);
(2)[(1-3t)δ(t)]*eU(t)答案
,tU(t),U(t,2),,(t,1),解?
原式=
(t,1),,U(t,1),U(t,3)
3t,3t,,,(t),eU(t),3t,(t),eU(t),?
原式=
,,3t,3t,,,,,,eU(t),3t,(t),,(t),eU(t),
3t,3t,3eU(t),,(t),3eU(t),,(t)
2-8已知信号f(t)和f(t)的波形如图题2-8(a),(b)所示。
求y(t)=f(t)*f(t),1212并画出y(t)的波形。
答案
f(t),1,U(t,1)1解(a)
(t,1)f(t),eU(t,1)2
y(t),f(t),f(t),112故
(t,1),,1,u(t,1),eU(t,1),
,,
(1)(,1),,,,eU(,1)d,U(t,,1)eU(,1)d,,,,,,,,,,,,
t,1,,(,1),(,,1)ed,ed,,,,,,1,1
1,t0,,,t,,,1(1e)U(t),,t,,2e,t0,y(t)的波形如图.2.8(c)所示1
f(t),sintU(t),f(t),U(t,1)12(b),故
y(t),f(t),f(t),sintU(t),U(t,1),212
sinU()U(t,,1)d,,,,,,,,
t,1,,sin,d,U(t,1),,,1,cos(t,1)U(t,1),,,0,,y(t)的波形如图.2.8(d)所示2
2-9图题2-9(a),(b)所示信号,求y(t)=f(t)*f(t),并画出y(t)的波形。
12
答案
t,f(t)和f()d,,12,,,解利用卷积积分的微分积分性质求解最为简便。
的波形分别如图2.9(c),(d)所示。
故
t,y(t),f(t),f(t),f(t),f()d,,122,,,
y(t)的波形如图题2.9(e)所示.
2-10.已知信号f(t)与f(t)的波形如图题2-10(a),(b)所示,试求y(t)=f(t)*f(t),1212并画出y(t)的波形。
答案
y(t),f(t),f(t),f(t),,,,,(t,1),,(t,1),1121解(a).
f(t,1),f(t,1)11
y(t)的波形如图题2.10(c)所示1
y(t),f(t),f(t),212(b).
f(t),,,,(t,1),,(t,2),,(t,3),1
f(t,1),f(t,2),f(t,3)111
y(t)的波形如图题2.10(d)所示2
2-11(试证明线性时不变系统的微分性质与积分性质,即若激励f(t)产生的响
ddtf(t)y(t)f()d,,,,,dtdt应为y(t),则激励产生的响应为(微分性质),激励产
ty(,)d,,,,生的响应为(积分性质)。
答案
解
(1)设系统的单位冲激响应为h(t),则有
y(t),f(t),h(t)
对上式等号两端求一阶导数,并应用卷积积分的微分性质,故有
ddy(t),h(t),f(t)dtdt(证毕
y(t),f(t),h(t)
(2)
对上式等号两端求一次积分,并应用卷积积分的积分性质,故有
tty()d,h(t),f()d,,,,,,,,,,(证毕)
-t2-12.已知系统的单位冲激响