高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案新人教A版选修.docx

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高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案新人教A版选修

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案新人教A版选修

一、说教材分析：

1、教材地位：

本节课是高中数学选修2-3第一章计数原理中1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

先说本章及本节的教材地位。

计数问题是数学中的重要研究对象之一，也是人们了解客观世界的一种最基本的方法。

分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。

它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为两个计数原理的典型应用而设置的。

可见，其基本思想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章内容的关键。

另一方面，这两个计数原理也是学生今后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预备知识。

因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基本而重要的。

由于本节课是本章的第一节课，虽然正确运用两个计数原理是本章的重点，但由于学生要达到会用的境界，需要经过一定的应用性训练的。

且《数学教育学》告诉我们，在定理、原理的教学中，尽量先让学生通过对具体实例的观察、测量、计算等实践活动，来归纳猜想具体的内容，这样做有利于学生对他们的理解。

依据这个来设计本节教学目标与重点、难点。

2、教学目标

知识与技能：

①通过实例，总结两个基本计数原理；正确理解“完成一件事情”的含义、初步学会区分“分类”和“分步”、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题。

过程与方法：

①通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号问题），得出解答后，利用“探究”引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理；

②通过简单应用使学生初步熟悉原理；

③最后通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形；

④初步学会区分“分类”和“分步”。

情感态度与价值观：

①体会数学来源生活，并为生活服务，以此激发学生学习本章的兴趣；

②使学生通过概括两个基本原理及推广，进一步加深特殊与一般的关系；

③通过“分类”和“分步”让学生初步学会将复杂问题进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，达到化难为易，化繁为简。

3、教学重点与难点

重点：

归纳地得出分类加法原理与分步乘法计数原理；

难点：

正确理解“完成一件事情”的含义；

4、学情分析：

在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，即一个一个的数；在初中概率学中也学过树状图，也可解决这种问题。

但当这个数很大时，列举法就很难实施，

二、说教法与学法：

1、教学方法

著名特级教师孙双金曾说过“课堂应是放飞师生思想的天堂，教师应用自己思想的火种点燃学生思想的火花”。

 结合本节教材及学生的实际，我认为本节课宜采用问题式、螺旋上升为主的教学方法，引导学生自己获取新知识。

首先先通过典型的、学生熟悉的实例（座位编号、不同路线的问题），得出解答后，利用“探究”引导学生分析问题的本质，然后再抽象概括出基本原理，接着再配以简单应用以使学生初步熟悉原理，最后通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形。

2、说学法：

现代教育理论告诉我们：

教师的教为了不教。

针对这一点，结合上述教学方法，通过本节学习，主要教给学生，面对复杂问题时，初步学会将它进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，达到化难为易，化繁为简。

同时发展学生探究解决问题的能力，归纳的能力，推广结论的能力，逐步养成良好的思维品质。

3、教学辅助手段：

建构主义理论认为，学生是知识意义的主动建构者。

只有通过自己的亲身体验和合作、对话等方式，学生才能真正完成知识意义的建构。

为了节省时间，腾出更多的时间给学生探索、思考、交流、归纳，真正将课堂还给学生；同时也为了方便学生将两个计数原理的例子，进行比较。

特制作幻灯片这一辅助教学手段。

三、教学思路：

首先先通过解决两个典型的、学生熟悉的实例（座位编号、不同路线的问题），得出解答后，利用“探究”引导学生分析两个问题的共同特征，然后再抽象概括出分类加法计数原理，鼓励学生再举出一些生活中类似的分类计数问题的例子，接着再配以简单应用以使学生初步熟悉原理，最后通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形。

至于分步乘法计数原理，则采用通过与分类加法计数原理对比，通过比较出真知。

四、教学环节：

（一：

）分类加法计数原理

1、展示两个学生熟悉的实例：

问题1座位编号书P2思考：

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题2不同路线补充：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。

如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

教师通过多媒体展示问题，节省板书时间，腾出足够时间让学生阅读、思考、回答，通过解决问题，激发学生的求知欲。

通过设置问题1、2，引出下面探究的问题。

将问题的解决板书在黑板上。

补充这一题是学生生活中并不陌生的问题，通过两个问题，使学生能更好地完成下面的探究，更好地概括出分类加法计数原理。

2、展示书P2探究：

你能说说这两个问题的共同特征？

学生思考、讨论、交流，归纳概括问题的共同特征，试着叙述分类加法计数原理；教师适当引导学生，帮助学生概括到“分类”和“加法”。

归纳得出分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

给出原理时要强调：

要明确“完成一件事情”。

3、展示书P2例1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么共有多少种选择呢？

安排例1主要是巩固加法计数原理的简单题，较简单，引导学生自己分析完成。

重点放在引导学生分析其中的“完成一件事情”是什么。

通过例题的简单应用，使学生初步熟悉原理。

4、展示讨论题：

假如该同学选择了A大学的某一专业如化学，则完成了这件事吗？

同样的，假如该同学选择了B大学的某一专业如法学，则完成了这件事吗？

设置讨论引导学生归纳分类加法计数原理特点：

分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务。

是不受其他类的限制的，即类与类互不相容。

5、展示书P2旁白

你能举出一些生活中类似的分类计数问题的例子？

鼓励学生举例，适当评价与补充，特别注意让学生思考回答“完成一件事情”是什么。

使学生体会“学以致用”，进一步理解原理。

6、展示书P3探究：

如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

教师引导学生类比两类不同方案的情形，通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形，加深对原理的理解。

（二、）分步乘法计数原理

由于前面学生刚刚研究过分类加法计数原理，因此，可对比它来研究分步乘法计数原理。

具体教学环节差不多。

1、展示两个学生熟悉的实例：

书P3座位编号问题1：

用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以A1,A2,…，B1,B2,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

补充不同路线问题2：

从甲地到乙地，需要经过丙地。

从甲地到丙地有5条路，从丙地到乙地有6条路。

从甲地到乙地，有多少条不同的路？

并回答：

①你能列出问题1所有的号码吗？

②从你所列号码中，你发现了什么规律？

③问题2呢？

④这两个问题于前面分类加法的两个引例有什么不同？

让学生阅读、思考、回答，通过解决问题，激发学生的求知欲。

通过设置问题1、2，引出下面探究的问题。

将问题的解决板书在黑板上。

通过设置问题1、2，与分类加法计数问题比较，引出分步计数问题

学生利用以前学过树形图（树状图）列出号码，教师适当个别辅导。

引导学生概括“每一个大写英文字母都能和9个数字中的任何一个组成一个号码，先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样的两个步骤”。

2、展示书P4探究：

你能说说这两个问题的共同特征？

归纳概括分步计数问题的共同特征，得出分步乘法计数原理。

先让学生思考、讨论、交流，试着叙述分步乘法计数原理；教师适当引导学生，帮助学生概括到“分步”和“乘法”。

得出分步乘法计数原理：

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

给出原理时要强调：

要明确“完成一件事情”。

3、展示书P4例2：

设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

由于本例题属于简单题，引导学生自己分析完成。

重点放在引导学生分析其中的“完成一件事情”是什么。

通过这个例题的简单应用，巩固基本原理，使学生初步熟悉原理。

4、展示讨论：

假如只选择了男同学参加比赛，则完成了这件事吗？

同样的，只选择了女同学参加比赛，则完成了这件事吗？

归纳与小结：

分步乘法计数原理中的“完成一件事需两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤，在每个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。

即各个步骤是相互依存的，只有依次完成每个步骤才能完成这件事。

5、展示问题：

你能举出一些生活中类似的分步计数问题的例子？

鼓励学生举例，适当评价与补充，特别注意让学生思考回答“完成一件事情”是什么。

使学生体会“学以致用”，进一步理解原理。

6、展示书P5探究：

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

教师引导学生类比两步不同方案的情形，让学生给出答案。

通过“探究”引导学生将原理推广到更加一般的情形，加深对原理的理解。

（三、）练习：

P61、3

利用原理解决简单问题，使学生逐步熟悉原理。

学生独立完成，个别辅导，教师提问“完成一件事情”是什么

（四、）小结：

通过例题1、2，师生一起总结：

1、解决有关计数原理的题目，首先要能正确回答“完成一件事情”是指什么；

2、分类加法计数原理中的“完成一件事有两类不同方案”，是指完成这件事的所有方法可以分为两类，即任何一类中的任何一种方法都可以完成任务。

是不受其他类的限制的，即类与类互不相容。

3、分步乘法计数原理中的“完成一件事需两个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤，在每个步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事。

即各个步骤是相互依存的，只有依次完成每个步骤才能完成这件事。

通过小结加深本节课学习的内容，进一步熟练两个计数原理。

（五、）布置作业：

1．课本第12页的习题1.1A第1，2，3题

2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答

五、本节课的说明：

1、充分利用多媒体，节省板书时间，腾出足够时间让学生阅读、思考、回答，讨论，交流。

因此教学环节的问题、探究、思考、例题都适合用多媒体展示。

2、通过引例、例题、练习及学生举的例子，多次强调要完成的“一件事”是什么。

以此突破难点。

通过学生实际举例说明两个计数原理，比较两者的不同，及小结来突出重点。

3、两个计数原理的理解学生并不难，归纳得出两个计数原理，学生感到不困难。

因此适合问题式、螺旋上升为主的教学方法。

4、整节课以提出问题，解决问题，归纳原理，简单应用，两个原理比较，逐步升华为主轴。

力求符合新课表的要求。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习含解析新人教A版选修

一、选择题

1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）

A．5种B．6种C．7种D．8种

【答案】B

【解析】由分步计数原理可知，可选方式有2×3＝6种．故选B．

2．将三封信投入三个信箱，可能的投放方法共有种（）

A.3B．6C．9D．27

【答案】D

【解析】将三封信投入三个信箱，由于信投入的信箱不指定，则每封信都有3种选择，所以总的投放方法有

种.故选D.

3．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大.当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为（）

3

4

A.6种B.12种C.18种D.24种

【答案】A

【解析】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A.

4．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：

设表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名：

首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是（）

A．15B．20C．24D．27

【答案】D

【解析】分类讨论：

若F为金牌，3种排序中，中国均第1；若F为银牌，在银牌-金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中，中国排第2或第3；若F为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2，在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若F为总数，则3种排列中国均第2.故在所有的排序中，中国的排名之和为3×1+（2×2+2+3）+（2×2+2+3）+3×2=27，故选D

5．方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

A.28条B.32条C.36条D.48条

【答案】B

【解析】方程变形得，若表示抛物线，则，所以分四种情况：

（1）当时，

（2）当时，

以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理，若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32条.

7.某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员，规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方

案有（）

A．10B．11C．12D．13

【答案】B

【解析】当丁不入选时，由甲乙丙三个人担任，甲有2种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，有3种结果，丁担任三个人中没有入选的人的职务时，只有一种结果，丁担任入选的两个人的职务时，有2种结果，共有种，综上可知，共有9+2=11种结果，故选B.

二、填空题

7．若a，b∈N*，且a＋b≤5，则复数a＋bi的个数为______．

【答案】10

【解析】按a分类，当a取1,2,3,4时，b的值分别有4个、3个、2个、1个，由分类计数原理，得复数a＋bi共有4＋3＋2＋1＝10（个）．

8．个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？

【答案】

【解析】每个人都有通过或不通过种可能，共计有

三、解答题

9．某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这2个节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法？

【解析】5个节目排好后，有6个空可插入第一个节目，共6种不同的插法，再插第二个节目时有7个空，所以共有6×7＝42种不同的插法．

10．现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

【解析】

（1）分四类：

第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；

第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；

第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；

第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.

所以共有不同的选法有7+8+9+10=34（种）.

（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法有7×8×9×10=5040（种）.

（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，所以共有不同的选法有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.