全等难题倍长中线法精编版.docx

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全等难题倍长中线法精编版

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第二讲全等三角形与中点问题

中考要

板块

考试要求

级要求A

B级要求

级要求C

全等三角形的性质及判定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题

会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

知识点睛

三角形中线的定义：

三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）

三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：

经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）

见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

1

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重、难点

重点：

主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法

难点：

全等三角形的综合运用

例题精讲

版块一倍长中线9AC?

AB?

5,BCABCAD的长的取值范围是中，边上的中线，则年通化市中考题1【例】（2002）在△什么？

1中，【补充】已知：

是中线．求证：

．ABC?

AM）AC?

AM?

（AB

2ABCM

的，点年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：

如图，梯形中，是2008【例2】（CD∥ABCDBCADE．．求证：

的延长线与中点，的延长线相交于点FDE?

?

BCE≌ADBEFDAFEBC

2

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………，在中，是边的中点，湖州市浙江省2008年初中毕业生学业考试（）数学试卷）如图，【例3】（BC?

ABCFD及其延长线上的点，．求证：

．分别是CDFCF∥BE?

?

BDE≌ADEAFCBDE

．如图，】中，，是中线．求证：

【例4DAB?

?

ABCDACAB

ADAFEBCDG

，交边上的中线，是上一点，延长于，是中，5【例】如图，已知在AC?

ABCBCBEADEADEFAF?

F求证：

．BEAC?

AFEBDC

3

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，分别是、，中，、上的中线，且【例6】如图所示，在和CC?

BC?

ABAAC?

ABCBCBADAB?

ADA?

?

?

?

?

．，求证CB?

A?

ABC≌D?

AADAA'CBC'B'DD'EE'

，交中点，交的延长线于点如图，在中，交于点，点是】【例7CA?

ABCBCBCEFEFE∥ADADFD的角平分线．为于点，若，求证：

ABCCFG?

BG?

ADFAGBCDE

．求证：

、交于，已知为的中线，的平分线分别交于【例8】ACABC?

ADC?

EADABF?

ADB．EF?

BE?

CFAEFBDC

4

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………以且．、的中点，点、分别为上的点，，【例9】在中，点为ACBCABC?

A?

90?

Rt?

FDEEDAB?

FD为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角、、线段FCEFBE三角形？

AFECBD

2222，求证，如果的中点，10】如图所示，在中，是垂直于【例DNBMDM?

CN?

?

DNBC?

ABCDMD1?

?

222．AC?

?

ABAD

4AMNDCB

分别在边是斜边的中点，、中，）【例10】（年四川省初中数学联赛复赛·初二组在ABC2008Rt?

EABDF上，满足、．，_________．若的长度为，则线段3?

?

CACB?

DFE90AD?

DE?

4BE

5

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………的中点，，，求证．，【例11】如图所示，是CDAB?

?

ACAM?

?

BAC?

?

DAE?

90AE?

BEADMAEMBCD

版块二、中位线的应用1．是的中线，的中点，的延长线交于．求证：

】【例12是ACABC?

EADBFADFAC?

AE

3AEFCBD

，，使，延长中，【例13】如图所示，在到的中点，连接为、，CD?

CEACABCAB?

ABABEABDBD?

求证．EC?

CD2AEBCD

6

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………BD交AC于M；EFE、F分别是AD、BC的中点，EF交<14【例】已知：

ABCD是凸四边形，且ACBD．

>∠GNM．GMN，AC和BD交于G点．求证：

∠于NAAEDMHGNBBCF

1的中点，求证：

，中，在，是为底作等腰直角，以【例15】CD?

ABC?

ACB?

90?

BCDBC?

EBCAC?

2且．BEAE?

EBAE?

DECAB

．，，求证：

在五边形中，为的中点．图，16【例】如CD90?

AED?

?

BAC?

?

?

EADABCDE?

?

ABCEF?

BFFABECFD

7

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………，的一点如图所示，是内试数学竞赛题，中国国家集训队试题）祖【例17】（“冲之杯”ABC?

P的中点，求证．作，过于，于，为BCPM?

ACPL?

?

PAC?

?

PBCDLDMABP?

DMLCMLPBAD

，、为中，的中点，分别延长、到点全国数学联合竞赛试题【例18】（）如图所示，在CBCA?

ABCEABFD、的中点分别为设线段、的垂线，．使过、分别作直线、相交于点，CBCAPE?

DFDEMPAFPB．求证：

N；1（）FDN≌?

?

DEM

（2）．PBFPAE?

?

?

CBDAEFP

的延长，中，、分别是、、和的中点，知，如图四边形19【例】已BCADBCABCDCD?

EFABEADF求证：

．两点．线分别交于、BNE?

NAME?

?

MNMFCDAEB

8

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………，的）已知：

在中，动点绕业年大兴安岭地区初中毕业学考试】【例20（2009ACBC?

?

ABC?

ABCD、与直线过、的中点、作直线，直线顶点逆时针旋转，且，连结．BC?

ADDCDCADABAEFEF、分别相交于点．NBCMMNMD）NF（DCCFCFDNHMABBEEAABE3图图12图、的中点，连结旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取⑴如图1，当点ACBCNHEHDF．（，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论不需证明）BNE?

AMF?

?

HF有何数量关系？

请分别写出猜想，并任与或图3中的位置时，⑵当点旋转到图2BNE?

AMF?

D选一种情况证明．

1=FM．ACACDECD，BC=，F为的中点，FM⊥．证明：

ABAECDBCABAE如】【例21图，⊥，⊥，且=

2EFEDBAACHM

9

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………为斜边作等腰直角三角形ACABC中，分别以AB、【例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题）已知：

在△的中点．求证：

PM＝PNPABM，和CAN，是边BCAMPCBN

家庭作业

作，．，且的中点，中，【习题1】如图，在等腰，是过BC?

AC?

ABCABDFAE?

DEAFA?

AFDAE?

．求证：

FDC?

?

EDB?

AEFCBD

于，延长边上的中线，是是上一点，且交中，】【习题2如图，已知在ACACBEABC?

?

BCBEADEAD相等吗？

为什么？

与，EFAFFAFEBCD

10

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………边的中点．求证：

．为如右下图，在中，若，，【习题3】BC?

?

B?

2?

CBCAD?

ABCDEAB?

E2A

CDEB

月测备选EBC的延长线于，F．BD，AD=BC，O是中点，过O点的直线分别交DA、DC1【备选】如图，已知AB=求证：

∠E=∠F

与，，，中，【备选2】如图，，是中点，与交于BC90?

ABCAB?

AC?

BAC?

?

FDAB?

EDFDEEDD．求证：

，．交于CF?

ACAEAFBE?

FAFEDBC

11