创新设计高中数学苏教版选修22练习132极大值与极小值含答案解析.docx
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创新设计高中数学苏教版选修22练习132极大值与极小值含答案解析
1.3.2 极大值与极小值
明目标、知重点
1.了解函数极值的概念，能从几何方面理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及函数在某一点取得极值的条件.3.掌握用导数的方法求函数的极值．
1．极值的概念
（1）极大值
如图，函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b处附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则把f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
（2）极小值
如图，函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a处附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则把f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
2．极大值与导数的关系
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′（x）
f′（x）>0
f′（x）＝0
f′（x）<0
f（x）
增（↗）
极大值f（x1）
减（↘）
3.极小值与导数之间的关系
x
x2左侧
x2
x2右侧
f′（x）
f′（x）<0
f′（x）＝0
f′（x）>0
f（x）
减（↗）
极小值f（x2）
增（↗）
[情境导学]
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？
又如何求出这些值？
这就是本节我们要研究的主要内容．
探究点一 函数的极值与导数的关系
思考1
如图，表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，观察发现，t＝a时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数h（t）在此点的导数是什么？
此点附近的图象有什么特点？
相应地，导数的符号有什么变化规律？
答 函数h（t）在点t＝a处h′（a）＝0.在t＝a的附近，当t0；
当t>a时，函数h（t）单调递减，h′（t）<0.
思考2 如图观察，函数y＝f（x）在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
y＝f（x）在这些点处的导数值是多少？
在这些点附近，y＝f（x）的导数的符号有什么规律？
答 以d、e两点为例，函数y＝f（x）在点x＝d处的函数值f（d）比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′（d）＝0；在x＝d的附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）＞0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝e处的函数值f（e）比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′（e）＝0；在x＝e附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.
思考3 函数的极大值一定大于极小值吗？
在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考4 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？
举例说明．
答 不一定．可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f（x）在x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0且在x0两侧f′（x）的符号不同．
例如，函数f（x）＝x3可导，且在x＝0处满足f′（0）＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′（x）>0，所以x＝0不是函数f（x）＝x3的极值点．
例1 求函数f（x）＝
x3－4x＋4的极值．
解 f′（x）＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
由f′（x）>0，得x<－2或x>2；
由f′（x）<0，得－2当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2）
－2
（－2,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
单调递减
－
单调递增
由表可知：
当x＝－2时，f（x）有极大值f（－2）＝
；
当x＝2时，f（x）有极小值f
（2）＝－
.
反思与感悟 求可导函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′（x）在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
跟踪训练1 求函数f（x）＝
＋3lnx的极值．
解 函数f（x）＝
＋3lnx的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－
＋
＝
.
令f′（x）＝0，得x＝1.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（0,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
单调递减
3
单调递增
因此，当x＝1时，f（x）有极小值f
（1）＝3.
探究点二 已知函数极值求参数的值
思考 已知函数的极值，如何求函数解析式中的参数？
答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
例2 已知f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解 因为f（x）在x＝－1时有极值0，
且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
所以
即
解之得
或
当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，
所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数；
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数，
所以f（x）在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟
（1）利用函数的极值确定参数的值，常根据极值处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
（2）因为“导数值等于零”不是“此点取得极值”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练2 设当x＝1与x＝2时，函数f（x）＝alnx＋bx2＋x取得极值．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断当x＝1，x＝2时函数f（x）取得极大值还是极小值，并说明理由．
解
（1）∵f（x）＝alnx＋bx2＋x，
∴f′（x）＝
＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：
f′
（1）＝f′
（2）＝0，
∴a＋2b＋1＝0且
＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝－
，b＝－
.
（2）由
（1）可知f（x）＝－
lnx－
x2＋x，
且函数f（x）＝－
lnx－
x2＋x的定义域是（0，＋∞），
f′（x）＝－
x－1－
x＋1＝－
.
当x∈（0,1）时，f′（x）＜0；当x∈（1,2）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）＜0；
所以，x＝1时函数f（x）取得极小值，
x＝2时函数f（x）取得极大值．
探究点三 函数极值的综合应用
例3 设函数f（x）＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
解
（1）f′（x）＝3x2－6，令f′（x）＝0，
解得x1＝－
，x2＝
.
因为当x>
或x＜－
时，f′（x）＞0；
当－
＜x＜
时，f′（x）＜0.
所以，f（x）的单调递增区间为（－∞，－
）和（
，＋∞）；
单调递减区间为（－
，
）．
当x＝－
时，f（x）有极大值5＋4
；
当x＝
时，f（x）有极小值5－4
.
（2）由
（1）的分析知y＝f（x）的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4
＜a＜5＋4
时，
直线y＝a与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
即方程f（x）＝a有三个不同的实根．
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪训练3 若函数f（x）＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．
解 f（x）＝2x3－6x＋k，
则f′（x）＝6x2－6，
令f′（x）＝0，
得x＝－1或x＝1，
可知f（x）在（－1,1）上是单调减函数，
f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上是单调增函数．
f（x）的极大值为f（－1）＝4＋k，
f（x）的极小值为f
（1）＝－4＋k.
要使函数f（x）只有一个零点，
只需4＋k<0或－4＋k>0（如图所示）
或
即k<－4或k>4.
∴k的取值范围是（－∞，－4）∪（4，＋∞）．
1．“函数y＝f（x）在一点的导数值为0”是“函数y＝f（x）在这点取得极值”的________条件．
答案 必要不充分
解析 对于f（x）＝x3，f′（x）＝3x2，f′（0）＝0，
不能推出f（x）在x＝0处取极值，反之成立．
2．下列函数存在极值的是________．（填序号）
①y＝
；②y＝x－ex；③y＝x3＋x2＋2x－3；④y＝x3.
答案 ②
解析 ①中f′（x）＝－
，令f′（x）＝0无解，
∴①中函数无极值．
②中f′（x）＝1－ex，令f′（x）＝0可得x＝0.
当x<0时，f′（x）>0，当x>0时，f′（x）<0.
∴y＝f（x）在x＝0处取极大值，f（0）＝－1.
③中f′（x）＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.
∴y＝f（x）无极值．④也无极值．
3．已知f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．
答案 a<－3或a>6
解析 f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
因为f（x）既有极大值又有极小值，
那么Δ＝（2a）2－4×3×（a＋6）>0，
解得a>6或a<－3.
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案 －2解析 f′（x）＝3x2－3.
令f′（x）＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f
（1）＝－2，f（－1）＝2，∴－2[呈重点、现规律]
1．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f（x）在x＝x0处取得极值的充要条件是f′（x0）＝0且在x＝x0两侧f′（x）符号相反．
2．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.
一、基础过关
1.函数y＝f（x）的定义域为（a，b），y＝f′（x）的图象如图，则函数y＝f（x）在开区间（a，b）内取得极小值的点有________个．
答案 1
解析 当满足f′（x）＝0的点，左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．（填序号）
①导数值为0的点一定是函数的极值点；
②函数的极小值一定小于它的极大值；
③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内不是单调函数．
答案 ④
解析 由极值的概念可知只有④正确．
3．若a>0，b>0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．
答案 9
解析 f′（x）＝12x2－2ax－2b，
∵f（x）在x＝1处有极值，
∴f′
（1）＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.
又a>0，b>0，∴a＋b≥2
，∴2
≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，
∴ab的最大值为9.
4．函数y＝x3－3x2－9x（－2答案 5
解析 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x<－1或x>3时，y′>0.当－15．函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
答案 1 －3
解析 因为f′（x）＝3ax2＋b，
所以f′
（1）＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
6．若函数y＝x3－3ax＋a在（1,2）内有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 1解析 y′＝3x2－3a，当a≤0时，y′≥0恒成立，
函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；
当a>0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±
，不难分析，
当1<
<2，即17．求下列函数的极值：
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝x2e－x.
解
（1）函数的定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）．
∵f′（x）＝
，
令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1,2）
2
（2＋∞），
f′（x）
＋
0
－
＋
0
＋
f（x）
单调递增
－
单调减递
单调递增
3
单调递增
故当x＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f（－1）＝－
，无极小值．
（2）函数的定义域为R，
f′（x）＝2xe－x＋x2·
′
＝2xe－x－x2e－x
＝x（2－x）e－x，
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
单调递减
0
单调递增
4e－2
单调递减
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f（0）＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f
（2）＝4e－2.
二、能力提升
8．设函数f（x）的定义域为R，当x＝x0（x0≠0）时f（x）取得极大值，以下结论一定正确的是________．（填序号）
①∀x∈R，f（x）≤f（x0）；
②当x＝－x0时f（－x）取得极小值；
③当x＝－x0时－f（x）取得极小值；
④当x＝－x0时－f（－x）取得极小值．
答案 ④
解析 ①错，因为极大值未必是最大值．②错，因为函数y＝f（x）与函数y＝f（－x）的图象关于y轴对称，当x＝－x0时f（－x）取得极大值．③错，函数y＝f（x）与函数y＝－f（x）的图象关于x轴对称，当x＝x0时－f（x）取得极小值．④对，函数y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，当x＝－x0时y＝－f（－x）取得极小值．
9.函数f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析 ∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3（a＋2），令3x2＋6ax＋3（a＋2）＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f（x）有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
10.如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间
内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间
内单调递减；
③函数y＝f（x）在区间（4,5）内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；
⑤当x＝－
时，函数y＝f（x）有极大值．
则上述判断正确的是________．（填序号）
答案 ③
解析 当x∈（－∞，－2）时，f′（x）<0，
所以f（x）在（－∞，－2）上为减函数，
同理f（x）在（2,4）上为减函数，
在（－2,2）上是增函数，在（4，＋∞）上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以当x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－
的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－
的左右两侧均为增函数，
所以x＝－
时函数无极值．排除④和⑤.
11．已知函数f（x）＝x3＋
mx2－2m2x－4（m为常数，且m>0）有极大值－
，求m的值．
解 ∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），
令f′（x）＝0，则x＝－m或x＝
m.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－m）
－m
m
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴f（x）极大值＝f（－m）＝－m3＋
m3＋2m3－4＝－
，
∴m＝1.
12.设a为实数，函数f（x）＝x3－x2－x＋a.
（1）求f（x）的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
解
（1）f′（x）＝3x2－2x－1.
令f′（x）＝0，则x＝－
或x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞－
），
－
（－
，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
∴f（x）的极大值是f（－
）＝
＋a，
极小值是f
（1）＝a－1.
（2）函数f（x）＝x3－x2－x＋a
＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）>0，
x取足够小的负数时，有f（x）<0，
∴曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点．
由
（1）知f（x）极大值＝f（－
）＝
＋a，
f（x）极小值＝f
（1）＝a－1.
∵曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
∴f（x）极大值<0或f（x）极小值>0，
即
＋a<0或a－1>0，∴a<－
或a>1，
∴当a∈（－∞，－
）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．
三、探究与拓展
13.已知函数f（x）＝ex－ln（x＋m）．
（1）设x＝0时f（x）取得极值，求m，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
（1）解 f（x）＝ex－ln（x＋m）⇒f′（x）＝ex－
⇒f′（0）＝e0－
＝0⇒m＝1，
定义域为{x|x>－1}，
f′（x）＝ex－
＝
，
显然f（x）在（－1,0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增．
（2）证明 令g（x）＝ex－ln（x＋2），
则g′（x）＝ex－
（x>－2）．
h（x）＝g′（x）＝ex－
（x>－2）⇒h′（x）＝ex＋
>0，
所以h（x）是单调递增函数，h（x）＝0至多只有一个实数根，
又g′（－
）＝
－
<0，g′（0）＝1－
>0，
所以h（x）＝g′（x）＝0的唯一实根在区间
内，
设g′（x）＝0的根为t，
则有g′（t）＝et－
＝0
，
所以，et＝
⇒t＋2＝e－t，
当x∈（－2，t）时，g′（x）当x∈（t，＋∞）时，g′（x）>g′（t）＝0，g（x）单调递增；
所以g（x）min＝g（t）＝et－ln（t＋2）＝
＋t＝
>0，
当m≤2时，有ln（x＋m）≤ln（x＋2），
所以f（x）＝ex－ln（x＋m）≥ex－ln（x＋2）
＝g（x）≥g（x）min>0.
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