边角线及三角形.docx

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边角线及三角形

《第一讲：

边、角、线》

知识点一：

角

1互为余角（互余）:

两个角相加等于90°就说这两个角互余。

2互为补角（互补）：

两个角相加等于180°就说这两个角互补。

推论1：

直角三角形的两个锐角互余。

推论2：

三角形的内角和为180°

3N多边形的内角和求法：

（n-2）x180°

经典例题

1．（2012南通）已知∠

＝32º，则∠

的补角为【】

A．58ºB．68ºC．148ºD．168º

2.（2012嘉兴）已知△ABC中,∠B是∠A的2倍,∠C比∠A大20°,则∠A等于（）

A.40°　B.60°　C.80°　D.90°

3．（2012•丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（　　）

A．120°　　B．135°　　C．150°　　D．160°

对应练习

1.（2012•荆门）已知：

直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）

1题图2题图

3题图

A．30°B．35°C．40°D．45°

2．（2012•中考）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【】

A．360ºB．250º

C．180ºD．140º

3．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　　）

A．

50°

B．

60°

C．

70°

D．

80°

小结：

基本的三角形知识点，大家也要熟记！

知识点二：

线

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：

线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：

如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.

定理的作用：

证明两条线段相等

（2）线段关于它的垂直平分线对称.

（3）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

2、角平分线的性质定理：

（1）角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

定理的数学表示：

如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.

定理的作用：

①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

（2）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

（3）三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

经典例题

1　如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（　　）

　　A．6cm　　　B．8cmC．10cm　　D．12cm

图2

2.（2012嘉兴）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　．

3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线

MN分别交BC、AB于点M、N.求证：

CM=2BM.

对应练习

1、如图，在ΔABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE

的周长是___________cm.

2．（2012云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）

3题图

A．

40°

B．

45°

C．

50°

D．

55°

3．（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

A．6　　B．7　　C．8　　D．9、

4.如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：

DE=DF。

小结：

角平分线定理和垂直平分线定理常用于求线段长度。

知识点三：

相交线和平行线

1.平行线的性质：

同位角、内错角相等，同旁内角互补。

2.平行判定：

同位角、内错角相等，同旁内角互补。

3.两线相交，对顶角相等。

经典例题

1．（2012临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）

A．40°　　B．50°　　C．60°　　D．140°

2．（2012山西）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于（　　）

　A．35°B．40°C．45°D．50°

3．（2012潜江）如图，AB∥CD，∠A=48°，∠C=22°．则∠E等于（　　）

A．

70°

B．

26°

C．

36°

D．

16°

对应练习

1.（2012重庆）已知：

如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF//AB．若∠CEF=100°，则∠ABD的度数为（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

2.（2012广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为【】

A.先向左转130°，再向左转50°B.先向左转50°，再向右转50°

C.先向左转50°，再向右转40°D.先向左转50°，再向左转40°

3．（2012泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）

A．53°　　B．37°　　C．47°　　D．123°

课后作业

1.（2011浙江金华，5，3分）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）

A．30°B.25°C.20°D.15°

2．（2010福建福州）下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（）

A．B．C．D．

3.（2010广西柳州）如图1，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有

线段条数是

A．1条B．2条C．3条D．4条

4.（2011山东泰安，8，3分）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=200，则∠α的度数为（）

A.250B.300C.200D.350

5.（2010广东湛江）已知∠1＝35°，则∠1的余角的度数是（）

A.55°B.65°C.135°D.145°

6.如图7，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.

第二讲：

《三角形》

知识点一：

等腰三角形

1.性质：

等腰对等角

2.判定：

等角对等边

3.延伸：

“三线合一”，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线合在一起。

经典例题

1.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为

A．16B．18

C．20D．16或20

2．（2012江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）

　A．20°B．50°C．60°D．80°

3．（2012•中考）把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（　　）

4．（2012铜仁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）

　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9

小结：

等腰三角形的三线合一是解题的关键。

对应练习

1.（2012遵义）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为　　．

2..（2012淮安）如图14，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70º，则

∠BAD=º．

3.（2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）

（A）

（B）

（C）

（D）

4.（2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，

四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE.下列结论中：

一定正确的结论有（）个

①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；

A．1个B．2个C．3个D．4个

知识点二：

直角三角形和勾股定理

1.直角三角形两个锐角互余

2.推论1：

直角三角形中。

30°所对的直角边等于斜边的一半。

推论2：

直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

3.勾股定理：

两直角边的平方和等于斜边的平方。

4.等面积法：

斜边上的高=直角边×直角边÷斜边

经典例题

1．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）

A．

　　B．

　　C．　　D．

2.（2012巴中）已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系

+|a-b|=0,则△ABC的形状为______

3（2012泸州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm，则BC=.

小结：

直角三角形中熟记勾股数，熟练应用勾股定理求边。

对应练习

1.（2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF=_________cm．

2.（2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝．

3.（2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是．

4.（2010山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为

的线段__________条.

知识点三：

全等三角形

1.三角形的三条边和三个角之间的关系，全等三角形的判定和性质（SSS，SAS，ASA,AAS及HL）。

2.全等三角形的对应边、对应角相等。

经典例题

1．（2012临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．

2．（2012十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（　）

A．22　　　　B．24　　　　C．26　　　　D．28

3．（2012•广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：

BE=CD．

小结：

三角形全等判断依据：

SSS、SAS、AAS、ASA以及直角三角形中的HL

对应练习

1．（2012宜宾）如图，点A．B．D．E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：

AC=EF．

2.（2012北京）已知：

如图，点

在同一条直线上，

，

．求证：

.

3.如图，已知：

AE=CE，∠A=∠C，∠BED=∠AEC，求证：

AB=CD.

A

E

CBD

课后作业

1．（2010年山西）在

D是AB的中点，CD=4cm，

则AB=cm。

2．（2010黑龙江绥化）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为。

3．（2010山东荷泽）（本题满分8分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．

4..（2012肇庆）如图5，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=

BD．求证：

（1）BC=AD；

（2）△OAB是等腰三角形．

5（2012武汉）如图CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB，求证：

DE=AB．