单调下降的（见图6-13）．因此反函数是存在
的，反函数反映的是当幂ax?
改变时，指数x的改变规律，即幂到指数的对应法则．
讲到函数，总希望能有一个表达运算的式子，来表示自变量与因变量之间的对应规律．但有时候你未必能如愿．例如指数函数y=4x，给了一个y>0，反函数的函数值是很明确的，就是使4x=y的那个x，但是你不可能从4x=y解出x成为y的一个数学式．于是我们用一个特定的函数记号“log４”来表示（log是英文logarithm的缩写，其中文解释就是对数的意思），并且给它一个特定的名称，称为以4为底的对数函数．因此指数函数y=4x的直接反函数是对数函数x=log4y,（y>0），对调x,y后的常规反函数则是对数函数y=log4x,（x>0），读作“log4底x”．很明显，这里的记号“log４”相当与一般反函数记号“f-1（）”．
一般地，指数函数y=ax（a>0,a（1,x（R）的反函数是以a为底的对数函数，即y=logax（x>0），读作“loga底x”，函数值正好是使a为底的幂等于x时的指数值，即ay=x．
回到开始的抽气泵问题
（1）上来．用对数函数的概念，要想抽到剩余原有空气量的，需要抽气次数x为
x=log0.5y，
这个式子表示的是，在y=0.5x中，当y变化时，x将如何变化．
例1 求
（1）y=2x；
（2）y=10x；（3）y=；（4）y=a3x,（a>0,a
（1）
的反函数．
解
（1）y=2x的反函数是y=log2x▍
（2）y=10x的反函数是y=log10x▍
（3）y=的反函数是▍
（4）因为a3x=（a3）x，所以y=a3x的反函数是▍
课内练习1
1.求下列函数的反函数：
（1）y=5x；
（2）；（3）y=0.3x；（4）y=,（a>0,a
（1）．
（2）对数函数的两个基本等式
根据反函数定义，若
y=logax （6-2-1）
则 ay=x，
即 ,（x>0）（6-2-2）
把x=ay反代入（6-2-1），得y=logaay,（y（R）
即logaax=x,（x（R）（6-2-3）
特别地，当x=1，得到
logaa=1,（a>0）（6-2-4）
当x=0，得到
loga1=0,（a>0）（6-2-5）
（6-2-2）,（6-2-3）是基本等式，必须熟记；（6-2-4）,（6-2-5）是两个基本结果，也必须牢记．
例2 求下列对数函数的函数值：
（1）log44100；
（2）；（3）log0.99991；（4）log0.99990.9999．
解
（1）据基本等式（6-2-3），log44100=100▍
（2）据基本等式（6-2-3），=-5▍
（3）据公式（6-2-5），log0.99991=0▍
（4）据公式（6-2-4），log0.99990.9999=1▍
课内练习2
1.填空：
（1）log5520＝； log0.30.3-2=；=；
logaam=,（a>0且a
（1）；
（2）log1616=；log71=；log0.80.8=；=．
例3求下列对数函数的函数值：
（1）log28；
（2）log101000；（3）log100.1；（4）；（5）
解 应用（6-2-3）
（1）log28=log223=3▍
（2）log101000=log10103=3▍
（3）log100.1=log1010-1=-1▍
（4）==-3▍
（5）==▍
课内练习3
1.求下列对数函数的函数值：
（1）log5125；
（2）log10100000； （3）log21024；（4）；
（5）；（6）log2；（7）log2；（8）log2．
例4求下列指数函数的函数值：
（1）y=1.2x,x=log1.25；
（2）y=10-x,x=log10；
（3）y=9x,x=log3a；（4）y=2x,x=．
解
（1）以x=log1.25代入指数，据（6-2-2）得
y==5▍
（2）以x=log10代入指数，据（6-2-2）得
y==（）-1=▍
（3）以x=log3a代入指数，据（6-2-2）得
y=a2▍
（4）以x=代入指数，据（6-2-2）得
y=[]-1=6-1=▍
课内练习4
1.求下列指数函数的函数值：
（1）y=45x,x=log45；
（2）y=（）x,x=log10；
（3）y=9x,x=；（4）y=（）x,x=．
2.对数函数的函数值――对数
（1）对数
对数函数y=logax当x=b时的函数值logab，称为以a为底b的对数（读作loga底b），并且称b为真数．如例3中，log28是以2为底8的对数，8是真数；log101000是以10为底1000的对数，1000是真数；log100.1是以10为底0.1的对数，0.1是真数；是以为底8的对数，8是真数．
根据指数函数与对数函数互为反函数的关系，很容易在它们的值――幂与对数之间互相转化：
ac=b（logab=c,（a,b>0,a（1,c（R）
因此，可以化幂为对数形式，也可以化对数为幂．
例5 把下列幂化为对数或把对数化为幂：
（1）43=64；
（2）；（3）=-4．
解
（1）43=64（log464=3▍
（2） （=2▍
（3）=-4（2–4=▍
课内练习5
1.把下列幂化为对数或把对数化为幂：
（1）25=32；
（2）（）-3=8；（3）33=27；
（4）log5125=3；（5）=-6；（6）log66=1．
在例2、例3中我们已经求了几个对数函数的函数值，也就是对数，但情况都比较特殊――真数都是底的整数次幂，而且指数也较小，你一眼就能看出来．对一般给定的非1正数a和b>0，要求对数logab，就是要求出一个数c（R，使ac=b，这就不那么容易了．为此必须解决对数求法问题．
先考虑两个特殊底的对数函数，这两种特殊底的对数函数，可以用计算器得到它们的函数值．
（2）常用对数和自然对数
①常用对数
以10为底的对数函数log10x，在计算中最常遇到，因此被称为常用对数函数．为了区别于其它的底，用一个特殊的函数记号“lg”来表示它，即y=lgx就是y=log10x．lgx当x=b时的函数值lgb称为b的常用对数．如lg1000表示对数log101000，即1000的常用对数；lg3表示对数log103，即3的常用对数．
常用对数可以用计算器求得近似值．在许多计算器上，求常用对数的功能键是log键，求lgb时的按键次序是：
键入b，再按log键
显示屏上立即显示对数值lgb．
例6 求下列常用对数（保留4个有效数字）：
（1）lg3；
（2）lg1000；（3）lg0.5；（4）lg4.83．
解 按键 3log显示0.477121254，所以
lg3（0.4771（即100.4771（3）．
这里的“（”，不仅仅是因为我们取了四个有效数字，即使把显示屏上显示的数全部写上，仍然只能写“（”而不能写“=”（即lg3（0.477121254）．计算器明明显示了lg3的值，为什么不能用“=”呢？
这是因为除了真数是底的有理次幂等少数特殊情况外，对数都是无理数，例如lg3的精确的值是
lg3=0.4771212547196624350...，
计算器上显示的也仅仅是它的近似值．今后在没有必要突出近似值的地方，我们一般把“（”就写成“=”，但你必须明白其实一般并不是真正的等于而是近似值．
下面按题目要求，列表给出解题结果．
题号
按键顺序
显 示
答 案
（1）
3log
0.477121254
lg3=0.4771
（2）
1000log
3
lg1000=3
（3）
0.5log
-0.301029995
lg0.5=-0.3010
（4）
4.83log
0.68394713
lg4.83=0.6839▍
（上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为
30.4771（3；103=1000；10-0.3010（0.5；100.6839（4.83．）
课内练习6
1.求下列常用对数：
（1）lg2；
（2）lg5；（3）lg0.3；（4）lg48.3；（5）lg483．
②自然对数
你记得在第三章讲到指数函数时，曾介绍过一个特殊的y=ex吗？
在计算器上还专门有一个功能键，用来计算它的函数值．在那里我们也曾经提醒过你，e与圆周率（，是数学上非常有用的两个常数，e也是无理数且
e=2.7182818285...．
对（的探究可谓历史久远，古代中国、希腊和印度等国的数学家，都对它作了深入的研究；而数e的发现和研究，还是16世纪之后的事情．之后人们发现这个无理数在工程、物理、建筑等领域非常有用，于是指数函数y=ex受到了重视，它的反函数y=logex也受到了重视．如同以10为底的对数函数一样，人们为它规定了一个特殊的函数符号“ln”，用lnx来表示logex（即y=lnx就是logex），称为自然对数函数，其函数值也就随之被称为自然对数．在计算器上问世后，也配置了一个功能键ln，专门用来计算自然对数．
在计算器上求自然对数的操作顺序，与求常用对数相同，只是改log为ln键．
例7 求下列自然对数（结果保留4个有效数字）：
（1）ln3；
（2）ln8.5； （3）ln10．
解 列表给出结果：
题号
按键顺序
显 示
答 案
（1）
3ln
1.098612289
ln3=1.098
（2）
8.5ln
2.140066164
ln8.5=2.140
（3）
10ln
2.302585093
ln10=2.303
（上面得到的结果，如果用幂的形式来写，依次为
e1.098（3；e2.140（8.5；e2.303（10．）▍
注意，除了少数特殊情况，自然对数都是无理数，例如
ln3=1.09861228866810978...，
因此上面的“=”严格来说，都应该是“（”．
课内练习7
1.求下列自然对数：
（1）ln5；
（2）ln7.12；（3）ln71.2；（4）ln0.249．
（3）一般对数和换底公式
为了区分，姑且称非常用对数、自然对数，例如log29,等为一般对数．如何求这些一般对数呢？
我们的基本思路是把底2,换成10或e，把求一般对数问题，转化为可在计算器上求值的常用对数或自然对数问题．
以求log29为例，怎么把对数的底2换成10呢？
设 2=10p，即 p=lg2，
记 d=log29，则 2d=9．
以2=10p代入，得
（10p）d=9（10pd=9（pd=lg9（d=，
所以 log29=．
采用同样手法，也可以把对数的底2换成e．
设 2=eq，即q=ln2，
记 d=log29，则 2d=9．
以2=eq代入，得
（eq）d=9（eqd=9（qd=ln9（d=，
所以 log29=．
现在你应该自己能证明，对任何c>0,c（1，可以把底2换成c，得到
log29=；
你还能把底2换成一般的a>0,a（1，真数9换成一般的b>0，得到一般的换底公式
logab=,（a,b,c>0,a（1,c
（1）（6-2-6）
只要取c=10，c=e，就是一般对数换成常用对数和自然对数的公式
logab=,（a,b>0） （6-2-7）
logab=,（a,b>0）（6-2-8）
有了公式（6-2-7）,（6-2-8），你就可以用计算器计算一般对数了．如以常用对数计算logab来说，实际上是用计算器计算，因此按键顺序为
blog（alog=
若用自然对数计算，则只要把“log”改为“ln”键就行了．
例8 用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数（保留4个有效数字）：
（1）log25；
（2）；（3）．
解 结果列表．（表的上半部分用常用对数计算，下半部分用自然对数计算）：
题号
按键顺序
显 示
结 果
（1）
5log（2log=
2.321928095
log25=2.322
（2）
3log（0.5log=
-1.584962501
=-1.585
（3）
（2（3）log（（4（3）log=
-1.40942084
=-1.409
（1）
5ln（2ln=
2.321928095
log25=2.322
（2）
3ln（0.5ln=
-1.584962501
=-1.585
（3）
（2（3）ln（（4（3）ln=
-1.40942084
=-1.409
课内练习8
1.用常用对数和自然对数两种方法，求下列对数（保留4个有效数字）：
（1）log37；
（2）；（4）；（3）．
从换底公式（6-2-6），还可以得到另一个重要的对数等式．
对任何三个非1正数a,b,c，由（6-2-6）
logab=,logba=，
所以 logab（logba=１，
即 logab=,（a,b>0） （6-2-9）
常称公式（6-2-9）为对数的倒数公式．在对数计算中，有时倒数公式能提供方便．
例9 计算对数：
（1）log273；
（2）．
解
（1）log273=▍
（2）=▍
课内练习9
1.计算下列对数：
（1）log162；
（2）．
（4）积、商、幂的对数
记得幂有如下两个性质吗？
ax（ay=ax+y,（a>0）
（1）
（a>0）
（2）
即同底幂的积、商，是以指数的和、差作为指数的同底幂．对数函数是指数函数的反函数，对数又是对数函数的函数值，那么在对数中，这两个性质是如何体现的呢？
令M=ax，N=ay，
则M（N=ax+y，
据对数与幂之间的关系
logaM=x，logaN=y
又 loga（M（N）=loga（ax（ay）=logaax+y=x+y，
所以
loga（M（N）=logaM+logaN,（a,M,N>0,a
（1）（6-2-10）
同理
loga=logaM-logaN,（a,M,N>0,a
（1）（6-2-11）
因此幂的性质
（1），在对数中以公式（6-2-10）体现，用文字叙述，即积的对数等于对数的和；幂的性质
（2），在对数中以公式（6-2-11）体现，用文字叙述，即商的对数等于对数的差．
你还应该记得幂的第三个重要性质
（ax）y=ax（y，
这个性质体现在对应的对数上，则是公式
logaMb=b（logaM,（M>0,b（R）（6-2-12）
用文字叙述，即幂的对数等于指数与底的对数之积．
要证明（6-2-12）并不难．设
M=ac，即c=logaM；（logaMb=loga（ac）b=logaac（b=cb
即 logaMb=blogaM．
（6-2-10）（（6-2-12）是对数运算的三个基本公式，当然它们对常用对数、自然对数也是成立的．使用这些公式，能把较复杂的积、商、幂的对数，化为对数的较简便的和、差、数乘；或者相反，能简化一些比较复杂的对数运算式．你必须牢牢记住它们，并能灵活地应用．
在计算器尚未普及之前，多位数的乘、除、幂运算，是相当令人头痛的．有了这些公式和求对数的手段，可以把这种运算转化为加、减、数乘运算．例如求两数之积M（N，根据（6-2-10），只要求出lgM,lgN，做一次加法，得到m=lg（M（N）；然后只要找到一个数Q，使lgQ=m（实际上Q=10m），即得Q=M（N．很长一个时期以来，人们事先计算好大量数的对数列成对数表，lgM,lgN和Q，都可以通过查表得到，这使求乘积运算变得十分简便．这种奇妙得功能，是十五世纪引入对数并得到发展的源动力之一，也是在计算机问世之前，工程界广泛使用的计算工具――计算尺的设计依据．现今，随着先进计算工具，例如计算器的不断普及，复杂的乘除幂运算也不过举手之劳，对数作为简化运算的功能，早已风光不再，然而它的母体—对数函数，在自然科学和社会科学的各个领域中，仍然是最重要的基本函数之一．
例10 利用lg2=0.3010,lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数（结果保留4个有效数字）：
（1）lg6；
（2）lg；（3）lg；（4）lg20；
（5）lg；（6）lg（）；（7）lg；（8）lg18．
说明这些题目，完全可以如例8那样，直接用计算器求得对数，而且精确度可能会更高一些．但是现在用积、商、幂对数方法来求，你会发现其实它们只是lg2,lg3这两个对数的一些运算，不用计算器的对数功能，也能很方便地得到结果．
解
（1）lg6=lg（2（3）=lg2+lg3=0.3010+0.4771=0.7781▍
（2）lg=lg10-lg3=1-0.4771=0.5229▍
（3）lg=lg=lg3=（0.4771=0.2386▍
（4）lg20=lg（10
（2）=lg10+lg2=1+0.3010=1.301▍
（5）lg=lg1-lg=0-lg3=-（0.4771=-0.05964▍
（6）lg（）=lg+lg=lg2+lg3
=（0.3010+（0.4771（0.10033+0.05964=0.1600▍
（7）lg=lg400-lg220=lg100+lg4-20lg2
=2+lg22-20lg2=2+2lg2-20lg2=2-18lg2=2-18（0.3010=-3.418▍
（8）lg18=lg（2（9）=lg2+lg32+lg2+2lg3=0.3010+2（0.4771=1.255▍
例11 已知lg2=0.3010,lg3=0.4771，不使用计算器的对数功能，求下列对数（结果保留4个有效数字）：
（1）log25；
（2）log390； （3）．
解 先据换底公式（6-2-7）化为常用对数，再进行计算．
（1）log25==（2.322▍
（2）log390=log3（9（10）=log332+log310=2+（4.096▍
（3）=
=（3.322▍
例12 计算下列各题：
（1）loga3+loga,（a>0,a
（1）；
（2）已知logab=0.2，求logab+,（a,b>0）．
解
（1）loga3+loga=loga（3（）=loga1=0，
（或 loga3+loga=loga3+（loga1-loga3）=0）▍
（2）logab+=logab+==1.2▍
课内练习10
1.利用lg3=0.4771,lg7=0.8451，不使用计算器的对数功能，求下列对数（结
果保留4个有效数字）：
（1）lg；
（2）lg；（3）lg；（4）lg630；
（5）lg；（6）lg（）；（7）lg．
2.求下列对数（结果保留4个有效数字）：
（1）log510；
（2）log0.10.11； （3）．
3.计算下列各题：
（1）loga（3a2）+loga,（a>0,a
（1）；
（2）-．
4.已知logab=，求,（a,b>0,a,b
（1）．
课外习题
A组
1.求下列函数的反函数：
（1）y=3x；
（2）；（3）y=log2x；（4）．
2.填空：
（1）log749=；
（2）log3=；（3）log50.2=；（4）=；
（5）log7712=；（6）log0.80.80.6=；（7）log31=；（8）log（（=．
3.求下列指数函数的函数值：
（1）y=9x,x=log9；
（2）y=（）x,x=log（；
（3）y=5x,x=；（4）y=（）x,x=．
4.把下列对数化为幂，或把幂化为对数：
（1）；
（2）；（3）lg100=2；（4）．
5.求下列对数函数的函数值：
（1）log5x,x=25；
（2）,x=27．
6.用计算器求下列对数（结果保留4个有效数字）：
（1）lg45；
（2）ln12；（3）ln0.6；（4）log57；（5）；（6）．
7.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771，不用计算器的对数功能，求出下列对数（结
果保留4个有效数字）：
（1）lg54；
（2）lg200；（3）lg60；（4）lg0.3；（5）lg8；（6）lg27．
B组
1.不用计算器的对数功能，求下列各式的值：
（1）lg2+lg5；
（2）lg2+2lg5+lg20；（3）（lg5）2+lg2（
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