运筹学离线作业.docx

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运筹学离线作业

浙江大学远程教育学院

《运筹学》课程作业

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第2章

1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。

问应如何安排生产使该工厂获利最多？

（建立模型，并用图解法求解）

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

原材料B

原材料C

1

3

0

2

2

2

30

60

24

单位产品获利

40万元

50万元

答：

1）决策变量

本问题的决策变量是两种产品的生产量。

设：

X为产品1的生产量，Y为产品2的生产量

2）目标函数

本问题的目标函数是工厂获利的最大值，计算如下：

工厂获利值=40X+50Y（万元）

3）约束条件

本问题共有4个约束条件。

分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束

由题意，这些约束可表达如下：

X+2Y≤30

3X+2Y≤60

2Y≤24

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.Max40X+50Y

s.t.X+2Y≤30（原材料A的使用量约束）

3X+2Y≤60（原材料B的使用量约束）

2Y≤24（原材料C的使用量约束）

X≥0，Y≥0（非负约束）

Excel模型

单位产品需求量

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

1

2

30

原材料B

3

2

60

原材料C

0

2

24

单位产品获利

40

50

模型

决策变量

产品1

产品2

产量

15

7.5

工厂获利

975

约束

使用量（左边）

可提供量（右边）

原材料A

30

<=

30

原材料B

60

<=

60

原材料C

15

<=

24

作图法

X+2Y=30（原材料A的使用量约束）

3X+2Y=60（原材料B的使用量约束）

2Y=24（原材料C的使用量约束）

X≥0，Y≥0（非负约束）

40X+50Y=975

作40X+50Y=0的平行线得到①②的交点为最大值

产品1为15产品2为7.5时工厂获利最大为975

2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。

问应如何安排生产使该工厂获利最多？

（建立模型，并用图解法求解）

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

原材料B

人时

1

0

3

0

2

2

4

12

24

单位产品获利

300万元

500万元

答：

1）决策变量

本问题的决策变量时两种产品的生产量。

设：

X为产品1的生产量，Y为产品2的生产量

2）目标函数

本问题的目标函数是工厂获利的最大值，计算如下：

工厂获利值=300X+500Y（万元）

3）约束条件

本问题共有4个约束条件。

分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束

由题意，这些约束可表达如下：

X≤4

2Y≤12

3X+2Y≤24

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.Max300X+500Y

s.t.X≤4（原材料A的使用量约束）

2Y≤12（原材料B的使用量约束）

3X+2Y≤24（原材料C的使用量约束）

X≥0，Y≥0（非负约束）

Excel模型

单位产品需求量

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

1

0

4

原材料B

0

2

12

人时

3

2

24

单位产品获利

300

500

模型

决策变量

产品1

产品2

产量

4

6

工厂获利

4200

约束

使用量（左边）

可提供量（右边）

原材料A

4

<=

4

原材料B

12

<=

12

人时

24

<=

24

作图法

X=4（原材料A的使用量约束）

2Y=12（原材料B的使用量约束）

3X+2Y=24（原材料C的使用量约束）

X≥0，Y≥0（非负约束）

300X+500Y=4200

作300X+500Y=0的平行线①②③得到在的交点处最大值

即产品1为4产品2为6时工厂获利最大为4200

3.下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：

1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；

2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？

3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？

MicrosoftExcel9.0敏感性报告

工作表[ex2-6.xls]Sheet1

报告的建立:

2001-8-611:

04:

02

可变单元格

终

递减

目标式

允许的

允许的

单元格

名字

值

成本

系数

增量

减量

$B$15

日产量（件）

100

20

60

1E+30

20

$C$15

日产量（件）

80

0

20

10

2.5

$D$15

日产量（件）

40

0

40

20

5.0

$E$15

日产量（件）

0

-2.0

30

2.0

1E+30

约束

终

阴影

约束

允许的

允许的

单元格

名字

值

价格

限制值

增量

减量

$G$6

劳动时间（小时/件）

400

8

400

25

100

$G$7

木材（单位/件）

600

4

600

200

50

$G$8

玻璃（单位/件）

800

0

1000

1E+30

200

答：

1）在不影响生产计划的情况下劳动时间的范围[300，425]，此时劳动时间增加1小时，利润增加8*1=8元。

即工人加班产生的利润为8元/小时，则如果付11元的加班费产生的利润为8-11=-3元/小时。

利润减少。

则不愿意付11元的加班费，让工人加班。

2）在不影响生产计划的情况下劳动时间的范围[300，425]，劳动时间变为402小时，在允许的变化范围内，利润增加8*2=16元/日。

3）第二种家具的单位利润增加5元，则利润为25元，在第二种家具的允许范围[17.5.，30]内，则生产计划不会变化。

利润增加量为：

80*5=400元

4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。

问应如何安排生产使该工厂获利最多？

（建立模型，并用图解法求解）（20分）

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

原材料B

原材料C

0.6

0.4

0

0.5

0.1

0.4

12000

4000

6000

单位产品获利

25元

10元

答：

1）决策变量

本问题的决策变量时两种产品的生产量。

设：

X为产品1的生产量，Y为产品2的生产量

2）目标函数

本问题的目标函数是工厂获利的最大值，计算如下：

工厂获利值=25X+10Y（元）

3）约束条件

本问题共有4个约束条件。

分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束

由题意，这些约束可表达如下：

0.6X+0.5Y≤12000

0.4X+0.1Y≤4000

0.4Y≤6000

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.Max25X+10Y

s.t.0.6X+0.5Y≤12000

0.4X+0.1Y≤4000

0.4Y≤6000

X≥0，Y≥0（非负约束）

建立excel模型

单位产品需求量

产品1

产品2

可用的材料数

原材料A

0.6

0.5

12000

原材料B

0.4

0.1

4000

原材料C

0

0.4

6000

单位产品获利

25

10

模型

决策变量

产品1

产品2

产量

6250

15000

工厂获利

306250

约束

使用量（左边）

可提供量（右边）

原材料A

11250

<=

12000

原材料B

4000

<=

4000

原材料C

6000

<=

6000

作图法：

0.6X+0.5Y=12000

0.4X+0.1Y=4000

0.4Y=6000

X≥0，Y≥0（非负约束）

25X+10Y=306250

作25X+10Y=0的平行线得到②③的交点为最大值

即产品1为6250产品2为15000时工厂获利最大为306250

5.线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。

6.在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量，运费将增加4。

7.“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？

错

第3章

1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。

它准备用电视、报刊两种广告形式。

这两种广告的情况见下表。

要求至少30万人看到广告，要求电视广告数不少于8个，至少16万人看到电视广告。

应如何选择广告组合，使总费用最小（建立好模型即可，不用求解）。

媒体

可达消费者数

单位广告成本

媒体可提供的广告数

电视

2.3

1500

15

报刊

1.5

450

25

答：

1）决策变量

本问题的决策变量是选择两种媒体的数量。

设：

X为选择电视的数量，Y为选择报刊的数量

2）目标函数

本问题的目标函数是总费用的最小值，计算如下：

总费用=1500X+450Y

3）约束条件

本问题共有4个约束条件。

由题意，这些约束可表达如下：

2.3X+1.5Y≥30

X≥8

X≤15

Y≤25

2.3X≥16

X，Y≥0

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.Max40X+50Y

s.t.2.3X+1.5Y≥30

X≥8

X≤15

Y≤25

2.3X≥16

X，Y≥0

Excel模型

单位产品需求量

媒体

电视

报刊

可达消费者数

2.3

1.5

单位广告成本

1500

450

媒体可提供的广告数

15

25

模型

决策变量

电视

报刊

产量

8

7.733333

总费用最小值

15480

约束

使用量（左边）

可提供量（右边）

电视可提供数

8

<=

15

报刊可提供数

7.733333

<=

25

电视广告达到个数

8

>=

8

电视广告可达消费者数

18.4

>=

16

可达消费者数

30

>=

30

2．医院护士24小时值班，每次值班8小时。

不同时段需要的护士人数不等。

据统计：

序号

时段

最少人数

1

06—10

60

2

10—14

70

3

14—18

60

4

18—22

50

5

22—02

20

6

02—06

30

应如何安排值班，使护士需要量最小。

答：

1）决策变量

由题意得：

每个护士一天的工作时间为连续8个小时，如果护士在序号1的是有开始值班，则其值班的时间为序号1和序号2

本问题的决策变量每个时间段开始上班的护士人数。

设：

序号1开始值班的护士人数为X1，同理序号2到6开始值班的护士人数为X2,X3,X4,X5,X6

2）目标函数

本问题的目标函数是护士需要量最小，计算如下：

护士需要量=X1+X2+X3+X4+X5+X6

3）约束条件

由题意，这些约束可表达如下：

X1+X6≥60

X1+X2≥70

X2+X3≥60

X4+X3≥50

X4+X5≥20

X5+X6≥30

X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0，且为非负整数

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.MaxX1+X2+X3+X4+X5+X6

s.t.X1+X6≥60

X1+X2≥70

X2+X3≥60

X4+X3≥50

X4+X5≥20

X5+X6≥30

X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0，且为整数

Excel模型

建模

各时段需要护士量

护士最少需求量

序号

时段

最少人数

150

1

06—10

60

2

10—14

70

3

14—18

60

4

18—22

50

5

22—02

20

6

02—06

30

变量

序号

1

2

3

4

5

6

需要护士量

60

10

50

0

20

10

约束

护士量（左边）

最少需要量（右边）

序号1需要量

70

>=

60

序号2需要量

70

>=

70

序号3需要量

60

>=

60

序号4需要量

50

>=

50

序号5需要量

20

>=

20

序号6需要量

30

>=

30

序号1开始值班的护士为60人，序号2为10人，序号3为50人，序号4为0人，序号5为20人，序号6为10人护士最少需要量为150人

第4章

1．对例4.5.1,如果三个工厂的供应量分别是:

150,200,80,两个用户的需求量不变.请重新建立模型,不需要求解.

答：

三个工厂总供应量为150+200+80＝430（吨）

两个用户的总需求量为300+160＝460（吨）

则供小于求，为供需平衡，添加一个虚节点，其净流出量为

虚节点的净流出量＝460-430＝30（吨）

单位流量费用

至

工厂1

工厂2

工厂3

仓库1

仓库2

用户1

用户2

虚节点

工厂1

0

6

4

3

1

2

4

0

工厂2

10

0

10

1

1

10

9

0

工厂3

10

10

0

1

0.5

10

8

0

从

仓库1

1

1

0.5

0

1.2

6

1

0

仓库2

2

1

0.8

1

0

2

7

0

用户1

2

10

1

1

0.7

0

3

0

用户2

10

3

6

1

0.3

8

0

0

虚节点

0

0

0

0

0

0

0

0

流量

至

工厂1

工厂2

工厂3

仓库1

仓库2

用户1

用户2

虚节点

总流出量

工厂1

4

4

4

4

4

4

4

4

32

工厂2

4

4

4

4

4

4

4

4

32

工厂3

4

4

4

4

4

4

4

4

32

从

仓库1

4

4

4

4

4

4

4

4

32

仓库2

4

4

4

4

4

4

4

4

32

用户1

4

4

4

4

4

4

4

4

32

用户2

4

4

4

4

4

4

4

4

32

虚节点

4

4

4

4

4

4

4

4

32

总流入量

32

32

32

32

32

32

32

32

总流出量

32

32

32

32

32

32

32

32

净流出量

0

0

0

0

0

0

0

0

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

＝

节点给定的净流出量

150

200

80

0

0

0

30

边的容量

至

工厂1

工厂2

工厂3

仓库1

仓库2

用户1

用户2

虚节点

工厂1

0

200

200

200

200

200

200

-30

工厂2

200

0

200

200

200

200

200

-30

工厂3

200

200

0

200

200

200

200

-30

从

仓库1

200

200

200

0

200

200

200

-30

仓库2

200

200

200

200

0

200

200

-30

用户1

200

200

200

200

200

0

200

-30

用户2

200

200

200

200

200

200

0

-30

虚节点

0

0

0

0

0

0

0

0

总运输费

684

约束条件为三个，即每个节点的净流出量为0；每条线路的容量为200和非负约束

第5章

1．考虑4个新产品开发方案A、B、C、D，由于资金有限，不可能都开发。

要求A与B至少开发一个，C与D中至少开发一个，总的开发个数不超过三个，预算经费是30万，如何选择开发方案，使企业利润最大（建立模型即可）。

方案

开发成本

利润

A

12

50

B

8

46

C

19

67

D

15

61

答：

1）决策变量

本问题的决策变量是4种方案的选择。

设：

A,B,C,D4种方案分别设为X1,X2,X3,X4

2）目标函数

本问题的目标函数是企业获利的最大值，计算如下：

企业利润值=50X1+46X2+67X3+61X4

3）约束条件

本问题共有4个约束条件。

分别为原材料A、B、C的供应量约束和非负约束

由题意，这些约束可表达如下：

X1+X2≥1

X3+X4≥1

X1+X2+X3+X4≤3

12X1+8X2+19X3+15X4≤30

X1,X2,X3,X4≥0,且为0，1整数

由上述分析，可建立该最大化问题的线性规划模型如下：

o.b.Max50X1+46X2+67X3+61X4

s.t.X1+X2≥1

X3+X4≥1

X1+X2+X3+X4≤3

12X1+8X2+19X3+15X4≤30

X1,X2,X3,X4=0或1

Excel模型

方案

A

B

C

D

开发成本

12

8

19

15

利润

50

46

67

61

A

B

C

D

决策变量

0

1

1

0

约束条件

左边

右边

方案个数约束

1

>=

1

方案个数约束

1

>=

1

方案个数约束

2

<=

3

预算经费约束

27

<=

30

企业利润

113

第9章

1．某厂考虑生产甲、乙两种产品，根据过去市场需求统计如下：

方案

自然状态

概率

旺季

0.3

淡季

0.2

正常

0.5

甲

乙

8

10

3

2

6

7

分别用乐观主义、悲观主义和最大期望值原则进行决策，应该选择哪种产品？

答：

1.乐观主义：

即只考虑旺季状态

甲方案市场需求＝8

乙方案市场需求＝10

则乐观主义下选择乙方案

2.悲观主义：

即只考虑淡季状态

甲方案市场需求＝3

乙方案市场需求＝2

则悲观主义下选择甲方案

3.最大期望值原则

甲方案最大期望值＝0.3*8+0.2*3+0.5*6＝6

乙方案最大期望值＝0.3*10+0.2*2+0.5*7＝6.9

按最大期望值，选择乙方案

2．某公司准备生产一种新产品，但该产品的市场前景不明朗。

公司一些领导认为应该是先做市场调查，以确定市场的大小，再决定是否投入生产和生产规模的大小，而另一些领导认为没有必要花钱与浪费时间进行市场调查，应立即投入生产。

根据估计，市场调查的成本是2000元，市场调查结果好的概率是0.6,而市场调查结果好时市场需求大的概率是0.8,市场调查结果不好时市场需求大的概率是0.3。

假设市场规模大与小的概率都是0.5。

在不同市场前景下,不同生产规模下企业的利润如下表.请你分析这个问题的决策过程，并通过建立概念模型（决策中的主要因素），用决策树方法辅助决策。

市场规模大

市场规模小

生产规模大

20000

-5000

生产规模小

10000

10000

答：

根据题意作图

进行市场调查的期望收益是13000,不做调查的期望收益是10000.因此,最优决策是先进行市场调查,然后在调查结果乐观时,选择大规模生产,调查结果悲观时选择小规模生产。