曲线方程的表示方法DOC.docx
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曲线方程的表示方法DOC
第一章曲线论
§1.1曲线方程的表示方法
曲线的概念:
曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。
现实中的各种轨迹曲线图形。
在空间直角坐标系Oxyz中,
点P的坐标表示为(x,y,z),x轴、y
轴、z轴上的单位向量分别记为
i,j,k。
4T今4T
向量r=OP=xiyjzk,可简记为r二(x,y,z)。
对任意向量a,b,成立三角形不等式
Ilab||-||a||||b||,
1由一11:
1卜|2一b||
补充知识:
(1)向量的内积
TT
设a=佝玄忌),b=(b1,b2,b3),
定义ab=||a||||b||cos,称为向量a与b的内积;记为ab或(a,b),其中:
是向量a与b的夹角。
—fT
可以证明:
ab二aid已2^asb3。
(2)向量的外积(或叉积)
定义向量c的大小为
||a||||b||sn,(ow),
且C与a,b垂直,方向为使a,b,C恰成右手坐标系,此向量C称为a与b的外积,记为ab;
在直角坐标系中,可以证明:
二(aija2,a3),
(bi,b2,b3),
a2
b3
外积的大小除了按上面的方法计算外,还有下面简便的计算
Ilab『=||a『||b『sinJ
=||a||2||b||2(1-cos2T
q|a||2||b||2-(a,b)2
T
设a二(az®)
(bi,b2,bs),
T
C=(C1,C2,C3)
混合积
显然有a(bC)=(ab)C=(Ca)b
几何意义
二重外积展开式
a(b
(ac)b-(bc)a
Lagrange恒等式
"彳47acad
宫b)Gd)=4444bcbd
Ta
定理设「几「:
)为三阶正交矩阵,
)(bT)=sgn(detT)(ab)T。
a二(31,82,83),b=(bi,b2,b3),则有
证明
由外积的计算公式,并利用
Lagrange恒等式,
可得
JbT
/(\
X
二sgn(detT)(ab)T,
这是由于2,?
2鳥构成右手系,或构
成左手系。
求zx2y2-2x-4y9Ix2y2-6x2y11的最小
值.
解:
:
;‘x2y-2x-4y9=,x-1〕亠iy-2〕亠i02
是点Px,y,0与点A1,2,2的距离,
又Jx2+y2_6x十2y十11=J(x_3)2+(y+1)2+(0_1)2
是点Px,y,0与点B3,-1,-1的距离也是点Px,y,0与点
C3,-1,1的距离,
由于|AB|斗PA|+1PB|,故z的最小值为|AB|=辰.
注意点A(1,2,2)与点C(3,—1,1)同在xOy平面的一侧,在xOy平面上寻找一点P(x,y,0),使|PA+|PC|最小,点B(3,-1,-1)是点C(3,-1,1)关于xOy平面的对称点,|PC|=|PB|,|AC|=J14,
此题的几何意义是经典熟知的.
'、平面曲线的几种表示方法
1°显表达:
y二f(x),函数
y=f(x)的图象G(f)说成
是一段曲线。
y=f(X)是该曲线的表达式,如果某曲线是函数y=f(x)的图象,则y=f(x)称为该曲线的显表达式。
2°隐表达式:
如果曲线上的点是
由方程F(x,y)=0的解(X,y)
所构成,则方程F(x,y厂0
表示该曲线
例如:
F(x,y)=X?
y2-a?
=0
表示一个圆的曲线,
F(x,ypaxbyc二0,
(a2b20)
表示一个直线。
3°曲线的参数表示:
如果曲线上的点可由
来描绘,则称它为曲线的参数方程
22
例如:
单位圆xy=1有参数表达
y=cos71
[0,2];
Q
2tan
2
26
1-tan一
2
y=cos^=(中
1+tan2—J
2
e
令t=tan-,(即是万有代换),
则有x=几,厂
单位圆的参数方程的几何意义:
过(-1,0)作斜率为k的直线与单位圆的交点坐标。
设斜率为k,则过点(-1,0)的直线方程为厂k(x1),求它与圆x2y2=1的交点,
联立得
k2(x+1)2+x2=1,
2k
从而
yr&
1-k2
1k2
2k
1k2
由参数方程
线称为旋轮线(也称为摆线)。
来源背景,它的几何意义是:
当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时,圆上一个固定点P所描绘出的路径(曲线)叫做旋轮线(也称为摆线)。
方程建立的过程。
手工操作运动法。
课外搜索阅读:
摆线、最速降线的文献资料。
4°曲线的极坐标表示:
r=rf),
极坐标表示与直坐标表
示可以互化,
X=「C)cos:
y=rC)sin
几种表示的优缺点
1、空间曲线的表示方法
1°参数表示法:
X二x(t)y=y(t)•Z=z(t)
所形成的点(X(t),y(t),z(t)),描绘出空间中的一条曲线,称为曲线的参数
例如:
x=acostI
t/),(a0,b0)
y=asint
bt
t2+22
由于xy=a,它的几何意义:
它的图形是圆柱螺线。
圆柱螺线的产生方式:
将平面上的矩形图形卷成圆柱,矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。
螺线的运动产生方式。
列举常见
的螺线2°曲线的向量表示法
向量:
既有大小又有方向的量称为向量。
在选定坐标系下
向量的表示:
xe「沁z®,
或r=(x,y,z)。
把参数曲线
x=x(t)y二y(t)z(t)
改写成向量形式
r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t[,],两者表示的是同样一条曲线,
r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)),t[:
:
]
称为该曲线的向量方程。
定义1.1
如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)都
是区间[:
八]上的连续函数,那么曲线
X二x(t)
^y=y(t)pp]
z=z(t)''
称为连续曲线。
空间曲线的一般定义:
设1是一个区间,定义在I上的向量值函数r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)),在空间R3中构成的点集:
,称为一条曲线,称r=r(t)为曲线:
的向量方程。
多种多样的曲线已被人们所发现所认识,满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。
练习:
试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处,用数学软件绘制出曲线的图形。
2222||a|Q(a,a)二印a?
as;
||ab||2=(ab,ab)
N|a||22(a,b)||b『。