曲线方程的表示方法DOC.docx
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曲线方程的表示方法DOC
第一章曲线论
§1.1曲线方程的表示方法
曲线的概念：
曲线是点按照某一规律在空间中运动的轨迹。
现实中的各种轨迹曲线图形。
在空间直角坐标系Oxyz中，
点P的坐标表示为（x,y,z），x轴、y
轴、z轴上的单位向量分别记为
i,j,k。
4T今4T
向量r=OP=xiyjzk，可简记为r二（x,y,z）。
对任意向量a,b，成立三角形不等式
Ilab||-||a||||b||,
1由一11：
1卜|2一b||
补充知识：
（1）向量的内积
TT
设a=佝玄忌），b=（b1,b2，b3），
定义ab=||a||||b||cos，称为向量a与b的内积；记为ab或（a,b），其中：
是向量a与b的夹角。
—fT
可以证明：
ab二aid已2^asb3。
（2）向量的外积（或叉积）
定义向量c的大小为
||a||||b||sn,（ow）,
且C与a,b垂直，方向为使a,b,C恰成右手坐标系，此向量C称为a与b的外积，记为ab；
在直角坐标系中，可以证明:
二（aija2,a3），
（bi,b2,b3），
a2
b3
外积的大小除了按上面的方法计算外，还有下面简便的计算
Ilab『=||a『||b『sinJ
=||a||2||b||2（1-cos2T
q|a||2||b||2-（a,b）2
T
设a二（az®）
（bi,b2,bs）,
T
C=（C1,C2,C3）
混合积
显然有a（bC）=（ab）C=（Ca）b
几何意义
二重外积展开式
a（b
（ac）b-（bc）a
Lagrange恒等式
"彳47acad
宫b）Gd）=4444bcbd
Ta
定理设「几「：
）为三阶正交矩阵，
）（bT）=sgn（detT）（ab）T。
a二（31,82,83）,b=（bi,b2,b3）,则有
证明
由外积的计算公式，并利用
Lagrange恒等式,
可得
JbT
/（\
X
二sgn（detT）（ab）T,
这是由于2,?
2鳥构成右手系，或构
成左手系。
求zx2y2-2x-4y9Ix2y2-6x2y11的最小
值.
解：
：
；‘x2y-2x-4y9=,x-1〕亠iy-2〕亠i02
是点Px,y,0与点A1,2,2的距离，
又Jx2+y2_6x十2y十11=J（x_3）2+（y+1）2+（0_1）2
是点Px,y,0与点B3,-1,-1的距离也是点Px,y,0与点
C3,-1,1的距离，
由于|AB|斗PA|+1PB|,故z的最小值为|AB|=辰.
注意点A（1,2,2）与点C（3,—1,1）同在xOy平面的一侧，在xOy平面上寻找一点P（x,y,0）,使|PA+|PC|最小，点B（3,-1,-1）是点C（3,-1,1）关于xOy平面的对称点,|PC|=|PB|,|AC|=J14,
此题的几何意义是经典熟知的.
'、平面曲线的几种表示方法
1°显表达：
y二f（x），函数
y=f（x）的图象G（f）说成
是一段曲线。
y=f（X）是该曲线的表达式，如果某曲线是函数y=f（x）的图象，则y=f（x）称为该曲线的显表达式。
2°隐表达式：
如果曲线上的点是
由方程F（x,y）=0的解（X,y）
所构成，则方程F（x,y厂0
表示该曲线
例如：
F（x,y）=X?
y2-a?
=0
表示一个圆的曲线，
F（x,ypaxbyc二0,
（a2b20）
表示一个直线。
3°曲线的参数表示:
如果曲线上的点可由
来描绘，则称它为曲线的参数方程
22
例如：
单位圆xy=1有参数表达
y=cos71
[0,2]；
Q
2tan
2
26
1-tan一
2
y=cos^=（中
1+tan2—J
2
e
令t=tan-,（即是万有代换）,
则有x=几，厂
单位圆的参数方程的几何意义：
过（-1,0）作斜率为k的直线与单位圆的交点坐标。
设斜率为k，则过点（-1,0）的直线方程为厂k（x1），求它与圆x2y2=1的交点，
联立得
k2（x+1）2+x2=1,
2k
从而
yr&
1-k2
1k2
2k
1k2
由参数方程
线称为旋轮线（也称为摆线）。
来源背景，它的几何意义是:
当一个圆沿着一条直线无滑动地滚动时，圆上一个固定点P所描绘出的路径（曲线）叫做旋轮线（也称为摆线）。
方程建立的过程。
手工操作运动法。
课外搜索阅读：
摆线、最速降线的文献资料。
4°曲线的极坐标表示：
r=rf）,
极坐标表示与直坐标表
示可以互化，
X=「C）cos：
y=rC）sin
几种表示的优缺点
1、空间曲线的表示方法
1°参数表示法：
X二x（t）y=y（t）•Z=z（t）
所形成的点（X（t）,y（t）,z（t））,描绘出空间中的一条曲线，称为曲线的参数
例如：
x=acostI
t/）,（a0,b0）
y=asint
bt
t2+22
由于xy=a,它的几何意义：
它的图形是圆柱螺线。
圆柱螺线的产生方式：
将平面上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对角线在圆柱上就是圆柱螺线。
螺线的运动产生方式。
列举常见
的螺线2°曲线的向量表示法
向量：
既有大小又有方向的量称为向量。
在选定坐标系下
向量的表示：
xe「沁z®，
或r=（x,y,z）。
把参数曲线
x=x（t）y二y（t）z（t）
改写成向量形式
r=r（t）=（x（t）,y（t）,z（t））,t［,］，两者表示的是同样一条曲线，
r=r（t）=（x（t）,y（t）,z（t）），t［：
：
］
称为该曲线的向量方程。
定义1.1
如果x=x（t）,y=y（t）,z=z（t）都
是区间［：
八］上的连续函数，那么曲线
X二x（t）
^y=y（t）pp］
z=z（t）''
称为连续曲线。
空间曲线的一般定义：
设1是一个区间，定义在I上的向量值函数r=r（t）=（x（t）,y（t）,z（t）），在空间R3中构成的点集：
，称为一条曲线，称r=r（t）为曲线：
的向量方程。
多种多样的曲线已被人们所发现所认识，满足各种条件的曲线也被人们寻找出来。
练习：
试列举你所知道的曲线名称、曲线方程、曲线的来源、曲线的用处，用数学软件绘制出曲线的图形。
2222||a|Q（a,a）二印a?
as；
||ab||2=（ab,ab）
N|a||22（a,b）||b『。
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