曲线方程的表示方法DOC.docx

1、曲线方程的表示方法DOC第一章曲线论 1.1曲线方程的表示方法曲线的概念：曲线是点按照某一 规律在空间中运动的轨迹。现实中的各种轨迹曲线图形。在空间直角坐标系 Oxyz中，点P的坐标表示为(x,y,z)，x轴、y轴、z轴上的单位向量分别记为i ,j,k 。4 T 今 4 T向量r = OP = xi yj zk，可简记 为 r 二(x,y,z)。对任意向量a,b，成立三角形不 等式Ila b|-|a| |b|,1由一 11：1卜|2一 b|补充知识：（1）向量的内积T T设 a =佝玄忌），b = （b1,b2，b3），定义a b =|a | |b|cos，称为向量a 与b的内积；记为a b或

2、（a,b），其中： 是向量a与b的夹角。f T可以证明：a b二aid 已2 asb3。（2） 向量的外积（或叉积）定义向量c的大小为|a| |b|sn ,（o w）,且C与a,b垂直，方向为使a,b , C恰 成右手坐标系，此向量 C称为a与b 的外积，记为a b ；在直角坐标系中，可以证明:二(ai j a2 ,a3)，(bi,b2,b3)，a2b3外积的大小除了按上面的方法计 算外，还有下面简便的计算Ila b = |a|bsinJ= |a|2|b|2 (1-cos2Tq|a|2|b|2-(a,b)2T设 a 二(az)(bi,b2,bs),TC = (C1, C2,C3)混合积显然有

3、a（b C）=（a b）C=（C a）b几何意义二重外积展开式a (b(a c)b - (b c)aLagrange恒等式彳 4 7 a c a d宫 b) G d)= 4 4 4 4 b c b dTa定理设几：）为三阶正交矩阵，)(bT)=sgn(detT)(a b)T 。a 二(31,82,83), b = (bi,b2,b3), 则有证明由外积的计算公式，并利用Lagrange恒等式,可得JbT/(X二 sgn(detT)(a b)T ,这是由于 2,?2鳥构成右手系，或构成左手系。求 z x2 y2 - 2x - 4y 9 I x2 y2 - 6x 2y 11 的最小值.解：；x2

4、y - 2x - 4y 9 = , x -1亠 i y - 2亠 i 0 2是点P x, y,0与点A 1,2,2的距离，又 Jx2 + y2 _6x 十 2y 十 11 = J(x _ 3 )2 + ( y +1 )2 +(0_ 1)2是点P x, y,0与点B 3,-1,-1的距离也是点P x, y,0与点C 3, -1,1的距离，由于| AB|斗PA| +1 PB|,故z的最小值为| AB| = 辰 .注意点 A(1,2,2)与点C(3, 1,1)同在xOy平面的一侧，在xOy平 面上寻找一点P(x, y,0),使|PA+|PC|最小，点B(3,-1,-1)是点 C(3,-1,1)关于

5、xOy平面的对称点,|PC| =|PB|,| AC| = J14,此题的几何意义是经典熟知的 .、 平面曲线的几种表示方法1 显表达：y二f(x)，函数y = f(x)的图象G(f)说成是一段曲线。y = f(X)是该 曲线的表达式，如果某曲 线是函数y= f(x)的图象， 则y = f(x)称为该曲线的显 表达式。2隐表达式：如果曲线上的点是由方程F(x,y)= 0的解(X, y)所构成，则方程F(x,y厂0表示该曲线例如：F (x, y) = X? y2 - a? = 0表示一个圆的曲线，F (x, yp ax by c 二 0 ,(a2 b2 0)表示一个直线。3曲线的参数表示:如果曲线

6、上的点可由来描绘，则称它为曲线的参数方程2 2例如：单位圆x y = 1有参数表达y = cos710, 2 ；Q2tan22 61 - ta n 一2y = cos = (中1 + tan2 J2e令t = tan-,（即是万有代换）,则有x =几，厂单位圆的参数方程的几何意义： 过（-1,0）作斜率为k的直线与 单位圆的交点坐标。设斜率为k，则过点（-1,0）的直线 方程为厂k（x 1），求它与圆 x2 y2=1的交点，联立得k2（x+1）2+x2=1,2k从而yr &1 - k21 k22k1 k2由参数方程线称为旋轮线(也称为摆线)。 来源背景，它的几何意义是: 当一个圆沿着一条直线无

7、滑动地滚 动时，圆上一个固定点P所描绘出的 路径（曲线）叫做旋轮线（也称为 摆线）。方程建立的过程。手工操作运动法。课外搜索阅读：摆线、最速降 线的文献资料。4曲线的极坐标表示：r = rf ),极坐标表示与直坐标表示可以互化，X =C ）cos：y = rC )sin几种表示的优缺点1、空间曲线的表示方法1 参数表示法：X 二 x(t) y = y(t) Z= z(t)所形成的点(X(t), y(t), z(t),描绘出空 间中的一条曲线，称为曲线的参数例如：x = a cost It / ), (a 0,b 0)y = asintbtt 2+2 2由于x y = a , 它的几何意义：它的

8、图形是圆柱螺 线。圆柱螺线的产生方式：将平面 上的矩形图形卷成圆柱，矩形的对 角线在圆柱上就是圆柱螺线。螺线的运动产生方式。列举常见的螺线 2曲线的向量表示法向量：既有大小又有方向的量称 为向量。在选定坐标系下向量的表示：xe沁z，或 r = (x, y, z)。把参数曲线x = x(t) y 二 y(t) z(t)改写成向量形式r = r(t) = (x(t), y(t),z(t) , t ,， 两者表示的是同样一条曲线，r = r(t) = (x(t), y(t), z(t) ， t ：,：称为该曲线的向量方程。定义1.1如果 x= x(t), y = y(t), z= z(t)都是区间：八上的连续函数，那么曲 线X 二 x(t)y= y(t) p p z= z(t) 称为连续曲线。空间曲线的一般定义：设1是一个区间，定义在I上的向量 值函数 r = r (t) = (x(t), y(t), z(t)，在空间 R3中构成的点集：，称为一条曲线， 称r = r(t)为曲线：的向量方程。多种多样的曲线已被人们所发 现所认识，满足各种条件的曲线也 被人们寻找出来。练习：试列举你所知道的曲线名 称、曲线方程、曲线的来源、曲线 的用处，用数学软件绘制出曲线的 图形。2 2 2 2 |a|Q (a,a)二印 a? as ；|a b|2= (a b,a b)N|a|2 2(a,b) |b。