高考数学总复习教案98双曲线 高考.docx

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高考数学总复习教案98双曲线高考

第九章　平面解析几何第8课时　双曲线

考情分析

考点新知

建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．

①了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.

②掌握双曲线的简单应用.

1.若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为________．

答案：

解析：

∵双曲线方程可化为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝.∴c2＝a2＋b2＝，c＝.∴左焦点坐标为.

2.双曲线－＝1的渐近线方程为________．

答案：

y＝±2x

解析：

∵a＝2，b＝4，∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

3.若双曲线－y2＝1的一个焦点为（2，0），则它的离心率为________．

答案：

解析：

依题意得a2＋1＝4，a2＝3，故e＝＝＝.

4.（选修11P39习题2

（2）改编）双曲线的焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为，则双曲线的标准方程为______________________.

答案：

－＝1

解析：

焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为－＝1.由题意，得解得∴焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1.

5.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于________．

答案：

24

解析：

由P是双曲线上的一点和3PF1＝4PF2可知，PF1－PF2＝2，解得PF1＝8，PF2＝6.又F1F2＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝×6×8＝24.

1.双曲线的定义

平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

－＝1（a>0，b>0）

－＝1（a>0，b>0）

图形

性质

范围

x≤－a或x≥a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：

x轴，y轴

_对称中心：

（0，0）

对称轴：

x轴，y轴_

对称中心：

（0，0）

顶点

顶点坐标：

A1（－a，0），A2（a，0）

顶点坐标：

A1（0，－a），A20，a

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈（1，＋∞）

实虚轴

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）

3.等轴双曲线

实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程

为x2－y2＝λ（λ≠0），离心率e＝，渐近线方程为y＝±x．

[备课札记]

题型1　求双曲线方程

例1　已知双曲线的离心率等于2，且经过点M（－2，3），求双曲线的标准方程．

解：

若双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），由已知可得＝2，即c＝2a.又M（－2，3）在双曲线上，∴－＝1,∴4b2－9a2＝a2b2①.∵c＝2a，∴b2＝3a2，代入①得a2＝1，b2＝3.

∴双曲线方程为x2－＝1.同理，若双曲线方程为－＝1，则双曲线方程为－＝1.

已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，求双曲线方程．

解：

由题意知：

右顶点坐标为（a，0），其到渐近线的距离为d＝＝＝1，故a＝2.又渐近线方程为y＝±x，所以b＝，所以双曲线方程为－＝1.

题型2　求双曲线的基本量

例2　已知双曲线的焦点在x轴上，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

解：

（1）依题意可设双曲线的方程为－＝1（a>0,b>0），则2a＝2,所以a＝1.设双曲线的一个焦点为（c,0）,一条渐近线的方程为bx－ay＝0，则焦点到渐近线的距离d＝＝b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.

（2）双曲线的实轴长为2，虚轴长为2，焦点坐标为（－，0）,（，0），离心率为，渐近线方程为y＝±x.

如图，F1、F2分别是双曲线C：

－＝1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若MF2＝F1F2，则C的离心率是________．

答案：

解析：

设双曲线的焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）．

∵B（0，b），∴F1B所在的直线为－＋＝1.①

双曲线渐近线为y＝±x，由得Q.

由得P，∴PQ的中点坐标为.

由a2＋b2＝c2得，PQ的中点坐标可化为.

直线F1B的斜率为k＝，∴PQ的垂直平分线为y－＝－.

令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F2M＝.

由MF2＝F1F2得＝＝2c，即3a2＝2c2，∴e2＝，∴e＝.

题型3　与椭圆、抛物线有关的基本量

例3　已知双曲线过点（3，－2），且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

解：

（1）由题意，椭圆4x2＋9y2＝36的焦点为（±，0），即c＝，

∴设所求双曲线的方程为－＝1，

∵双曲线过点（3，－2），

∴－＝1,∴a2＝3或a2＝15（舍去）．

故所求双曲线的方程为－＝1.

（2）由

（1）可知双曲线的右准线为x＝.

设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px（p>0），则p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝－x.

双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

解：

设双曲线的方程为－＝1（a>0，b>0），

由椭圆方程＋＝1，求得两焦点为（－2，0）、（2，0），

∴对于双曲线C：

c＝2.

又y＝x为双曲线C的一条渐近线，

∴＝，解得a2＝1，b2＝3.

∴双曲线C的方程为x2－＝1.

1.已知双曲线C：

－＝1的焦距为10，P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为________．

答案：

－＝1

解析：

∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①

又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P（2，1）在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②

由①②解得a＝2，b＝.

2.若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________．

答案：

48

解析：

根据双曲线方程－＝1知a2＝16，b2＝m，并在双曲线中有a2＋b2＝c2，∴离心率e＝＝2＝4＝m＝48.

3.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2＝________．

答案：

2

解析：

不妨设点P在双曲线的右支上，

因为PF1⊥PF2，所以

（2）2＝PF＋PF，

又因为PF1－PF2＝2，

所以（PF1－PF2）2＝4，

可得2PF1·PF2＝4，

则（PF1＋PF2）2＝PF＋PF＋2PF1·PF2＝12，

所以PF1＋PF2＝2.

4.已知双曲线－＝1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率为________．

答案：

解析：

由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝.

5.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若PF＝5，则双曲线的渐近线方程为________．

答案：

y＝±x

解析：

设点P（m，n），依题意得，点F（2，0），由点P在抛物线y2＝8x上，且PF＝5得由此解得m＝3，n2＝24.于是有由此解得a2＝1，b2＝3，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

6.已知椭圆＋＝1（a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且PT的最小值为（a－c），则椭圆的离心率e的取值范围是________．

答案：

解析：

因为PT＝（b＞c），而PF2的最小值为a－c，所以PT的最小值为.

依题意有，≥（a－c），

所以（a－c）2≥4（b－c）2，

所以a－c≥2（b－c），

所以a＋c≥2b，

所以（a＋c）2≥4（a2－c2），

所以5c2＋2ac－3a2≥0，

所以5e2＋2e－3≥0　①.

又b＞0，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，

所以2e2＜1　②，

联立①②，得≤e＜.

1.双曲线－＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________．

答案：

13

解析：

由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，

则|PF2|＝（a＋c＋c－a）＝c＝5，

由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.

2.已知△ABC外接圆半径R＝，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B、C为焦点的双曲线方程为______________．

答案：

－＝1

解析：

∵sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，AC＝2Rsin∠ABC＝2××＝14，

sin∠ACB＝sin（60°－∠BAC）＝sin60°cos∠BAC－cos60°·sin∠BAC＝×－×＝，

∴AB＝2Rsin∠ACB＝2××＝6,

∴2a＝|AC－AB|＝14－6＝8，

∴a＝4，又c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，∴所求双曲线方程为－＝1.

3.根据下列条件，求双曲线方程．

（1）与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；

（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）．

解：

解法1：

（1）设双曲线的方程为－＝1，

由题意，得解得a2＝，b2＝4.

所以双曲线的方程为－＝1.

（2）设双曲线方程为－＝1.由题意易求得c＝2.

又双曲线过点（3，2），∴－＝1.

又∵a2＋b2＝

（2）2，∴a2＝12，b2＝8.

故所求双曲线的方程为－＝1.

解法2：

（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.

（2）设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1.

4.已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．

（1）求双曲线的方程；

（2）若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．

解：

（1）依题意，b＝，＝2a＝1，c＝2，∴双曲线的方程为：

x2－＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），F2（2，0），直线l：

y＝k（x－2），

由消元得（k2－3）x2－4k2x＋4k2＋3＝0，

k≠±时，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k（x1－x2），

△F1AB的面积S＝·＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，

所以直线l的方程为y＝±（x－2）．

1.应用双曲线的定义需注意的问题

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．

2.区分双曲线与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1，椭圆的离心率e∈（0，1）．

3.双曲线方程的求法

（1）若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）；

（2）与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；

（3）若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．

[备课札记]