38小学数学解题思路巧解妙算大全6.docx

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38小学数学解题思路巧解妙算大全6

【小学数学解题思路大全】

式题的巧解妙算 （六）

1.特殊数题

（1）21－12

　　当被减数和减数个位和十位上的数字（零除外）交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。

　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即（2－1）×9。

减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝（3－1）×9＝18。

减数从12—89，都可类推。

　　被减数和减数同时扩大（或缩小）十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大（或缩小）相同的倍数，其差不变。

如

　　210－120＝（2－1）×90＝90，

　　0.65－0.56＝（6－5）×0.09＝0.09。

（2）31×51

　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

　　若十位数字的和满10，进1。

如

　　证明：

（10a＋1）（10b＋1）

　　＝100ab＋10a＋10b＋1

　　＝100ab＋10（a＋b）＋1

　　（3）26×8642×62

　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。

若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：

（10a＋c）（10b＋c）

　　＝100ab＋10c（a＋b）＋cc

　　＝100（ab＋c）＋cc（a＋b＝10）。

（4）17×19

　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（17＋9）×10＋7×9＝323

证明：

（10＋a）（10＋b）

　　＝100＋10a＋10b＋ab

　　＝[（10＋a）＋b]×10＋ab。

（5）63×69

　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。

　　原式＝（63＋9）×6×10＋3×9

　　＝72×60＋27＝4347。

证明：

（10a＋c）（10a＋d）

　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd

　　＝10a[（10a＋c）＋d]＋cd。

（6）83×87

　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。

如

证明：

（10a＋c）（10a＋d）

　　=100aa＋10a（c＋d）＋cd

　　＝100a（a＋1）＋cd（c＋d＝10）。

（7）38×22

　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

　　原式＝（30＋8）×（30－8）

　　＝302－82＝836。

　　（8）88×37

　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

（9）36×15

　　乘数是15的两位数相乘。

　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。

　　55×15

（10）125×101

　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。

125＋1＝126。

　　原式＝12625。

　　再如348×101，因为348＋3＝351，

　　原式＝35148。

（11）84×49

　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。

　　原式＝8400÷2－84

　　＝4200－84＝4116。

（12）85×99

　　两位数乘以9、99、999、…。

在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。

　　原式＝8500－85＝8415

　　不难看出这类题的积：

　　最高位上的两位数（或一位数），是被乘数与1的差；

　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：

设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a（a≠0），则

　　如果被乘数的个位数是1，例如

　　31×999

　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。

　　71×9999＝709999－70＝709929。

　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为（10a＋1）的形式，由9组成的自然数可表示为（10n－1）的形式，其积为

　　（10a＋1）（10n－1）＝10n＋1a＋（10n－1）－10a。

（13）1÷19

　　这是一道颇为繁复的计算题。

　　原式＝0.052631578947368421。

　　根据“如果被除数不变，除数扩大（或缩小）若干倍，商反而缩小（或扩大）相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。

　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：

（1）先用0.1÷2＝0.05。

（2）把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　　仔细分析这个算式：

　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。

这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。

　　除数末位是9，都可用此法计算。

　　例如1÷29，用0.1÷3计算。

　　1÷399，用0.1÷40计算。

2.估算

　　数学素养与能力（含估算能力）的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。

已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。

　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：

“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。

当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。

检验预测或作出决定……”

（1）最高位估算

　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。

　　例11137＋5044－3169

　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。

　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。

　　例351.9×1.51

　　整体思考。

　　因为51.9≈50，

　　而50×1.51≈50×1.5＝75，

　　又51.9＞50，1.51＞1.5，

　　所以51.9×1.51＞75。

　　另外9×1＝9，

　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。

　　例43279÷79

　　把3279和79，看作3200和80。

准确商接近40，若相差较大，则是错的。

（2）最低位估算

　　例如，6403＋232＋1578

　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。

（3）规律估算

　　和大于每一个加数；

　　两个真分数（或纯小数）的和小于2；

　　一个真分数与一个带分数（或一个纯小数与一个带小数）的和大于这个带分数（或带小数），且小于这个带分数（或带小数）的整数部分与2的和；

　　两个带分数（或带小数）的和总是大于两个带分数（或带小数）整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；

　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；

　　差总是小于被减数；

　　整数与带分数（或带小数）的差小于整数与带分数（或带小数）的整数部分的差；带分数（或带小数），与整数的差大于带分数（或带小数）的整数部分与整数的差。

　　带分数（或带小数）与真分数（或纯小数）的差小于这个带分数（或带小数），且大于带分数（或带小数）减去1的差；

　　带分数与带分数（或带小数与带小数）的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；

　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；

　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；

　　带分数与带分数（或带小数与带小数）的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，

　　A＜AB＜B。

　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；

　　若除数＜1，则商＞被除数；

　　若除数＞1，则商＜被除数；

　　若被除数＞除数，则商＞1；

　　若被除数＜除数，则商＜1。

（4）位数估算

　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。

　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；

　　例如，451×7103

　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7（位数）。

在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；

　　例如，147342÷27

　　14不够27除，商是4－2＝2（位数）。

　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。

　　例如，30226÷238

　　302够238除，商是5－3＋1＝3（位数）。

（5）取整估算

　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。

　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。

　　12×8.5≈10×10，积接近100。

3.并项式

　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。

　　例13.34＋12.96＋6.66

　　　　＝12.96＋（3.34＋6.66）

　　＝12.96＋10＝22.96

　　＝3－3＝0

　　例315.74－（8.52＋3.74）

　　＝15.74－3.74－8.52

　　＝12－8.52＝3.48

　　例41600÷（400÷7）

　　＝1600÷400×7

　　＝4×7

　　＝28