八年级数学探索勾股定理同步练习.docx

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八年级数学探索勾股定理同步练习

第一章勾股定理

参考例题

［例1］如下图所示，△ABC中，AB=15cm，AC=24cm，∠A=60°，求BC的长.

分析：

△ABC是一般三角形，若要求出BC的长，只能将BC置于一个直角三角形中.

解：

过点C作CD⊥AB于点D

在Rt△ACD中，∠A=60°

∠ACD=90°－60°=30°

AD=

AC=12（cm）

CD2=AC2－AD2=242－122=432，

DB=AB－AD=15－12=3.

在Rt△BCD中，

BC2=DB2+CD2=32+432=441

BC=21cm.

评注：

本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解.

［例2］如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.

求B点到入射点的距离.

分析：

此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.

解：

作出B点关于CD的对称点B′，连结AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点.

因为B′D=DB.

所以B′D=AC.

∠B′DO=∠OCA=90°，

∠B′=∠CAO

所以△B′DO≌△ACO（SSS）

则OC=OD=

AB=

×6=3米.

连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2

所以OB2=32+42=52，即OB=5（米）.

所以点B到入射点的距离为5米.

评注：

这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.

1.探索勾股定理

（一）

在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？

它的意思是说：

如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：

32+42=52.

（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？

该如何考虑呢？

（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？

测验评价等级：

ABC，我对测验结果（满意、一般、不满意）

参考答案

（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：

AC=4，BC=3,

S正方形ABED=S正方形FCGH－4SRt△ABC

=（3+4）2－4×

×3×4=72－24=25

即AB2=25，又AC=4，BC=3，

AC2+BC2=42+32=25

∴AB2=AC2+BC2

（2）如图（图见题干中图）

S正方形ABED=S正方形KLCJ－4SRt△ABC=（4+7）2－4×

×4×7=121－56=65=42+72

2.探索勾股定理

（二）

下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.

①图乙和图丙中

（1）

（2）（3）是否为正方形？

为什么？

②图中

（1）

（2）（3）的面积分别是多少？

③图中

（1）

（2）的面积之和是多少？

④图中

（1）

（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？

为什么？

由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

测验评价等级：

ABC，我对测验结果（满意、一般、不满意）

参考答案

①图乙、图丙中

（1）

（2）（3）都是正方形.易得

（1）是以a为边长的正方形，

（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.

②图中

（1）的面积为a2,

（2）的面积为b2,（3）的面积为c2.

③图中

（1）

（2）面积之和为a2+b2.

④图中

（1）

（2）面积之和等于（3）的面积.

因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，

（1）

（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b）2减去四个Rt△ABC的面积.

由此可得：

任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.

2.探索勾股定理

（二）

班级：

________姓名：

________

1.填空题

（1）某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.

（2）有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.

（3）如图1：

隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m,CB=40m，那么A、B两点间的距离是_________.

图1

2.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm，求这个三角形的面积.

3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm

（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.

（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.

4.如图2：

要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m,棚宽a=2.4m,棚的长为12m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？

5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

测验评价结果：

_____________；对自己想说的一句话是：

______________________.

参考答案

1.

（1）2.5

（2）30（3）30米

2.如图：

等边△ABC中BC=12cm，AB=AC=10cm

作AD⊥BC，垂足为D，则D为BC中点，BD=CD=6cm

在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64

∴AD=8cm

∴S△ABD=

BC·AD=

×12×8=48（cm2）

3.解：

（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=2.1cm，BC=2.8cm

∴AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.25

∴AB=3.5cm

∵S△ABC=

AC·BC=

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

∴CD=

=

=1.68（cm）

（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得：

AD2+CD2=AC2

∴AD2=AC2－CD2=2.12－1.682

=（2.1+1.68）（2.1－1.68）

=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21

=22×9×0.21×0.21

∴AD=2×3×0.21=1.26（cm）

∴BD=AB－AD=3.5－1.26=2.24（cm）

4.解：

在直角三角形中，由勾股定理可得：

直角三角形的斜边长为3m,所以矩形塑料薄膜的面积是：

3×12=36（m2）

5.解：

根据题意得：

Rt△ADE≌Rt△AEF

∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE

设CE=xcm，则DE=EF=CD－CE=8－x

在Rt△ABF中由勾股定理得：

AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，

∴BF=6cm

∴CF=BC－BF=10－6=4（cm）

在Rt△ECF中由勾股定理可得：

EF2=CE2+CF2，即（8－x）2=x2+42

∴64－16x+x2=x2+16

∴x=3（cm）,即CE=3cm