一元一次方程知识点及经典例题.docx
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一元一次方程知识点及经典例题
一、知识要点梳理
知识点一：
方程和方程的解
1.方程：
含有_____________的______叫方程
注意：
a.必须是等式b.必须含有未知数。
易错点：
（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；
（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。
考法：
判断是不是方程：
例：
下列式子：
（1）.8-7=1+0
（2）.
1、一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：
ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
2、方程的解：
判断一个数是否是某方程的解：
将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点二：
一元一次方程的解法
1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果，那么；（c为一个数或一个式子）。
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果，那么；如果，那么
要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
即：
（其中m≠0）
特别须注意：
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）
化为整数，如方程：
－
=1.6，将其化为：
－
=1.6。
方程的
右边没有变化，这要与“去分母”区别开。
2、解一元一次方程的一般步骤：
解一元一次方程的一般步骤
变形
具体方法
变形根据
注意事项
步骤
去分
方程两边都乘以
1．不能漏乘不含分母的项；
各个分母的最小公倍
等式性质2
2．分数线起到括号作用，去掉分母
母
数
后，如果分子是多项式，则要加括号
1
去括
先去小括号，再去
乘法分配律、
1．分配律应满足分配到每一项
号
中括号，最后去大括号
去括号法则
2．注意符号，特别是去掉括号
把含有未知数的
1．移项要变号；
移
项移到方程的一边，不
等式性质1
2．一般把含有未知数的项移到方程
项
含有未知数的项移到
左边，其余项移到右边
另一边
合并
把方程中的同类项
同
分别合并，化成
合并同类项
合并同类项时，把同类项的系数
类
“ax
b”的形式
法则
相加，字母与字母的指数不变
项
（a
0）
未知
方程两边同除以
数的
未知数的系数
a，得
系数
等式性质2
分子、分母不能颠倒
b
化成
x
“1”
a
要点诠释：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
牛刀小试
例1、解方程
（1）y-y1
2
y2
2
5
例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值
已知方程x104x的解与方程5x2m2的解相同，求m的值.
例3、解方程知识与绝对值知识综合题型
解方程：
|2x1|
7
3
2
二、经典例题透析
类型一：
一元一次方程的相关概念
1、已知下列各式：
①2x－5＝1；②8－7＝1；③x＋y；④x－y＝x2；⑤3x＋y＝6；⑥5x＋3y＋4z＝0；⑦
＝8；⑧x＝0。
其中方程的个数是（）
A、5B、6C、7D、8
举一反三：
[变式1]判断下列方程是否是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x
（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）
[变式2]已知：
（a-3）（2a+5）x+（a-3）y+6＝0是一元一次方程，求a的值。
[变式3]（2011重庆江津）已知3是关于x的方程2x－a=1的解,则a的值是（）
A．－5B．5C．7D．2
类型二：
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤是：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
如
果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。
1．巧凑整数解方程：
2、
举一反三：
[变式]解方程：
＝2x－5
2．．巧去括号解方程：
4、
举一反三：
[变式]解方程：
3
4．运用拆项法解方程：
5、
5．巧去分母解方程：
6、
举一反三：
[变式]（2011山东滨州）依据下列解方程的过程，请在前面的括号
内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：
原方程可变形为（__________________________）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（__________________________）
去括号，得9x+15=4x-2.（____________________________）
（____________________）,得9x-4x=-15-2.（____________________________）
合并，得5x=-17.（合并同类项）
（____________________）,得x=.（_________________________）
6．巧组合解方程：
7、
思路点拨：
按常规解法将方程两边同乘72化去分母，但运算较复杂，注意到左边的第
一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数4，移项局部通分化简，可简化解题过程。
7．巧解含有绝对值的方程：
8、|x－2|－3＝0
思路点拨：
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一
次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两
个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则x＝m或x＝－m；也可以根据绝对值的几何意义
进行去括号，如解法二。
举一反三：
【变式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是________.
4
；
[变式2]5|x|-16＝3|x|-4
[变式3]
8．利用整体思想解方程：
9、
思路点拨：
因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，
先求出整体的值，进而再求的值。
参考答案
例1：
解：
是方程的是①④⑤⑥⑦⑧，共六个，所以选B
总结升华：
根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：
一是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。
举一反三
1.解析：
判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。
答案：
（1）
（2）（3）不是，（4）是
2.解析：
分两种情况：
（1）只含字母y，则有（a-3）（2a+5）＝0且a-3≠0
（2）只含字母x，则有a-3＝0且（a-3）（2a+5）≠0不可能
综上，a的值为。
3.答案：
B
例2.解：
移项，得。
合并同类项，得2x＝－1。
系数化为1，得x＝－。
举一反三
解：
原方程可变形为
＝2x－5
整理，得8x＋18－（2＋15x）＝2x－5，
去括号，得8x＋18－2－15x＝2x－5
5
移项，得8x－15x－2x＝－5－18＋2
合并同类项，得－9x＝－21
系数化为1，得x＝。
例4解：
去括号，得
去小括号，得
去分母，得（3x－5）－8＝8
去括号、移项、合并同类项，得3x＝21
两边同除以3，得x＝7
∴原方程的解为x＝7
举一反三
解：
依次移项、去分母、去大括号，得
依次移项、去分母、去中括号，得
依次移项、去分母、去小括号，得
，∴x＝48
例5解：
原方程逆用分数加减法法则，得
移项、合并同类项，得。
系数化为1，得。
例6解：
原方程化为
去分母，得100x－（13－20x）＝7
去括号、移项、合并同类项，得120x＝20
两边同除以120，得x＝
6
∴原方程的解为
总结升华：
应用分数性质时要和等式性质相区别。
可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。
举一反三
【答案】解：
原方程可变形为（_分式的基本性质_）
去分母，得3（3x+5）=2（2x-1）.（_等式性质2_）
去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律_）
（______移项_______）,得9x-4x=-15-2.（等式性质1_）
合并，得5x=-17.（合并同类项）
（_______系数化为1____）,得x=.（等式性质2）
例7解：
移项通分，得
化简，得
去分母，得8x－144＝9x－99。
移项、合并，得x＝－45。
例8解法一：
移项，得|x－2|＝3
当x－2≥0时，原方程可化为x－2＝3，解得x＝5
当x－2＜0时，原方程可化为－（x－2）＝3，解得x＝－1。
所以方程|x－2|－3＝0的解有两个：
x＝5或x＝－1。
解法二：
移项，得|x－2|＝3。
因为绝对值等于3的数有两个：
3和－3，所以x－2＝3或x－2＝－3。
分别解这两个一元一次方程，得解为x＝5或x＝－1。
举一反三
1.
【答案】
2.
解：
5|x|-3|x|＝16-4
2|x|＝12
|x|＝6
＝±6
x
3.
解：
|3x-1|＝8
3x-1＝±8
3x＝1±8
3x＝9或3x＝-7
x＝3或
7
例9解：
移项通分，得：
化简，得：
移项，系数化1得：
总结升华：
解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。
对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。
三、课堂练习
一、选择题
3
;
（2）0.3x=1;（3）
x
2
其中
1、已知下列方程：
（1）x-2=
=5x-1;（4）x
-4x=3;（5）x=0;（6）x+2y=0.
x
2
一元一次方程的个数是（
）
A2
B3
C
4
D5
2、下列四组变形中，正确的是（）
A由5x+7=0,得5x=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0
x
1
D由5x=7,得x=35
C由=2,得x=
3
6
3、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头
2小时可把空池灌满；单独开乙水龙头
3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（
）
A
6小时
B5
小时
C2小时
D3小时
5
6
4、下列方程中，是由方程
7x-8=x+3
变形而得到的是（
）
A
7x=x+5
B
7x+5=x
C
6x=11
D
-8+3=-6x
5、下列方程的变形中，是移项的是（）
55
A由3=x，得x=3B由6x=3+5x，得6x=5x+3
22
8
⑤x
6；⑥x
2y
0．其中一元一次方程的个数是
（
）．
A．2
B．3
C．4
D．5
13已知关于
x
的方程
ax
5（2a
1）x
的解是x
1，则
a
的值是
（
）．
、
A．-5
B．-6
C．-7
D．8
14、方程
3x5
2x
移项后，正确的是
（
）．
1
A．3x
2x
5
1
B．3x
2x
1
5
C．3x
2x
1
5
D．3x
2x
1
5
15、
2x
4
3
x1
，去分母得
（
）．
方程2
3
2
A．2
2（2x
4）
3
3（x
1）
B．12
3（2x
4）
18
3（x
1）
C．12
（2x
4）
18
（x
1）
D．62（2x
4）
9（x1）
16、甲、乙两人骑自行车同时从相距
65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲
比乙每小时多骑
2．5km，则乙的时速是
（
）．
A．12．5km
B．15km
C．17．5km
D．20km
17、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚
25％，另一件赔
25％，那么
这两件衣服售出后商店是
（
）．
A．不赚不赔
B．赚8元
C．亏8元
D．赚15元
二、填空题：
1、圆的周长为4，半径为x,列出方程为。
2、已知方程（m-2）x
m1
.
+5=9是关于x的一元一次方程，则m=
3、已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+1的值是。
4、3a2m3b4与2a6mb4是同类项，则m=.
5、若xy+（y+1）2=0,则x-y=.
6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商
品仍获利10元，那么原来标价为。
7、当x=时，82x的值是0.
15
9
10
三、一元一次方程应用题（找出等量关系）
一、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设
出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，?
然后利用已找出的等
量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验
所求出的未知数的值是否是方程的解，?
是否符合实际，检验后写出答案．
1、数字问题
要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
例1、若三个连续的偶数和为18，求这三个数。
例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上
的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：
原
两位数+36=对调后新两位数
例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位
与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
分析：
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
2、日历中的规律：
横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________
例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被
___________整除。
A3B4C5D6
例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？
11
3、等积变形问题
常用等量关系为：
①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g，应截圆钢多长？
例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为
125125mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少
mm？
（结果保留整数
314.）
4、和、差、倍、分问题：
倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，
增长率⋯⋯”来体现。
多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余⋯⋯”来体现。
（1）劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化.
例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
（2）配套问题：
例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）
12
例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
分析：
列表法。
每人每天
人数
数量
大齿轮
16个
x人
16x
小齿轮
10个
85x
人
1085x
等量关系：
小齿轮数量的
2倍＝大齿轮数量的
3倍
解：
设分别安排x名、85x名工人加工大、小齿轮
3（16x）2[10（85x）]
48x170020x
68x1700
x25
85x60人
答：
略.
（3）分配问题：
例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
例2.三个正整数的比为1：
2：
4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？
（比例分配问题常用等量关系：
各部分之和＝总量。
）
（4）年龄问题：
例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？
例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。
13
5、工程问题
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例1.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作
3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
分析设工程总量为单位1，等量关系为：
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
11
解：
设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（15+12）
x
×3+12=1，
...................
例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长
6500
米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成
480
米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？
6、①打折销售问题
（1）销售问题中常出现的量有：
进价、售价、标价、利润等
（2）基本关系式：
①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价。
由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。
由③④可得出⑤利润率
＝。
②市场经济问题
商品利润
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝×100%商品成本价
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，
14
即按原标价的80%出售．
例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。
问：
买这件衣服需要多少钱？
若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？
利润是多少？
例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？
7、行程问题。
（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注
意两者运动时出发的时间和地点）
要掌握行程中的基本关系：
路程＝速度×时间。
①相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：
甲走的路程+乙走的路程=
全路程
②追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：
同时不同地：
甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程
同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程
解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况
下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，
一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
15
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600
公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时
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