人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法和因式分解 同步课时练习.docx

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人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法和因式分解同步课时练习

第十四章　整式的乘法与因式分解

14．1　整式的乘法

14．1.1　同底数幂的乘法

01　　基础题

知识点1　同底数幂的乘法运算

1．填空：

（－2）×（－2）2×（－2）3＝（－2）1＋2＋3＝（－2）6＝64．

2．下列各项中，两个幂是同底数幂的是（D）

A．x2与a2B．（－a）5与a3

C．（x－y）2与（y－x）2D．－x2与x3

3．（南通中考）计算x2·x3的结果是（B）

A．2x5B．x5

C．x6D．x8

4．（福州中考）下列算式中，结果等于a6的是（D）

A．a4＋a2B．a2＋a2＋a2

C．a2·a3D．a2·a2·a2

5．计算（－a）4·a3的结果是（A）

A．a7B．a12

C．－a7D．－a12

6．计算：

（1）a·a9；

解：

原式＝a1＋9＝a10.

（2）（－

）2×（－

）3；

解：

原式＝（－

）2＋3＝（－

）5＝－

.

（3）（－a）·（－a）3；

解：

原式＝（－a）1＋3＝（－a）4＝a4.

（4）x3n·x2n－2.

解：

原式＝x3n＋2n－2＝x5n－2.

知识点2　同底数幂的乘法的逆运算

7．若27＝24·2x，则x＝3．

8．若10x＝4，10y＝7，则10x＋y＝28．

易错点　对同底数幂的乘法法则理解不透而出错

9．请分析以下解答是否正确，若不正确，请写出正确的解答．

（1）计算：

x5·x2＝x5×2＝x10；

（2）若am＝3，an＝5，则am＋n＝am＋an＝3＋5＝8.

解：

（1）

（2）解答均不正确，正确的解答如下：

（1）x5·x2＝x5＋2＝x7.

（2）am＋n＝am·an＝3×5＝15.

02　　中档题

10．式子a2m＋3不能写成（C）

A．a2m·a3B．am·am＋3

C．a2m＋3D．am＋1·am＋2

11．若2n＋2n＋2n＋2n＝8，则n＝（A）

A．1B．2

C．0D.

12．已知a2·ax－3＝a6，那么x的值为7．

13．计算：

（1）－x2·（－x）4·（－x）3；

解：

原式＝－x2·x4·（－x3）

＝x2·x4·x3

＝x9.

（2）（m－n）·（n－m）3·（n－m）4.

解：

原式＝－（n－m）·（n－m）3·（n－m）4

＝－（n－m）1＋3＋4

＝－（n－m）8.

14．（本课时T8变式）已知4x＝8，4y＝32，求x＋y的值．

解：

∵4x·4y＝8×32＝256＝44，而4x·4y＝4x＋y，

∴x＋y＝4.

14.1.2　幂的乘方

01　　基础题

知识点1　幂的乘方运算

1．填空：

（a3）4＝a3×4＝a12．

2．在下列各式的括号内，应填入b4的是（C）

A．b12＝（　　）8B．b12＝（　　）6

C．b12＝（　　）3D．b12＝（　　）2

3．（铁岭中考）计算（－b2）3的结果正确的是（A）

A．－b6B．b6C．b5D．－b5

4．（南京中考）计算a3·（a3）2的结果是（B）

A．a8B．a9C．a11D．a18

5．计算：

（1）（102）8；

解：

原式＝102×8

＝1016.

（2）（xm）2；

解：

原式＝xm·2

＝x2m.

（3）[（－a）3]5；

解：

原式＝（－a）3×5

＝（－a）15

＝－a15.

（4）（am＋1）2.

解：

原式＝a2（m＋1）

＝a2m＋2.

知识点2　幂的乘方的逆运算

6．已知（am）n＝3，则（an）m＝3，（an）3m＝27，a4mn＝81．

7．（阳泉期末）若an＝3，则a2n＝9．

8．（教材P106习题T13变式）已知：

10m＝3，10n＝2，求

（1）103m；

（2）102n；（3）103m＋2n的值．

解：

（1）103m＝（10m）3＝33＝27.

（2）102n＝（10n）2＝22＝4.

（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.

易错点　对幂的乘方法则理解不透而出错

9．下列四个算式中正确的有（C）

①（a4）4＝a4＋4＝a8；②[（b2）2]2＝b2×2×2＝b8；

③[（－x）3]2＝（－x）6＝x6；④（－y2）3＝y6.

A．0个B．1个

C．2个D．3个

02　　中档题

10．（青岛中考）计算（a2）3－5a3·a3的结果是（C）

A．a5－5a6B．a6－5a9

C．－4a6D．4a6

11．（临汾期末）若2x＝3，2y＝5，则22x＋y的值是（D）

A．11B．15C．30D．45

12．（朔州右玉县月考）已知2m＝a，2n＝b，则22m＋3n用a，b可以表示为（D）

A．6abB．a2＋b3

C．2a＋3bD．a2b3

13．计算：

（1）（－a2）3·a3＋（－a）2·a7－5（a3）3；

解：

原式＝－a6·a3＋a2·a7－5a9.

＝－a9＋a9－5a9.

＝－5a9.

（2）[（x＋y）3]6＋[（x＋y）9]2.

解：

原式＝（x＋y）18＋（x＋y）18

＝2（x＋y）18.

03　　综合题

14．（临汾蒲县期末）若x，y均为正整数，且2x＋1·4y＝128，则x＋y的值为（D）

A．3B．5

C．3或4或5D．4或5

利用幂的乘方法则比较大小

1.已知a＝240，b＝332，c＝424，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：

b＞c＞a．

解析：

（化为同指数幂比较）a＝240＝（25）8＝328，b＝332＝（34）8＝818，c＝424＝（43）8＝648，∵81>64>32，∴818>648>328.∴b>c>a.,

2.已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来：

a＞b＞c．

解析：

（化为同底数幂比较）a＝8131＝（34）31＝3124，b＝2741＝（33）41＝3123，c＝961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴a＞b＞c.

试比较35555，44444，53333三个数的大小，用“>”将它们连接起来：

44__444＞35__555＞53__333．）

14.1.3　积的乘方

01　　基础题

知识点1　积的乘方运算

1．填空：

（a2b3）4＝a2×4b3×4＝a8b12．

2．（晋城期末）计算：

（a2b3）2＝a4b6．

3．（临汾期中）计算（－x2y）3的结果是（A）

A．－x6y3B．x6y3

C．－x5y3D．x5y3

4．（遵义中考）下列运算正确的是（C）

A．（－a2）3＝－a5B．a3·a5＝a15

C．（－a2b3）2＝a4b6D．3a2－2a2＝1

5．计算：

（1）（2ab）3；

解：

原式＝23·a3·b3

＝8a3b3.　　

（2）（－3x）4；

解：

原式＝（－3）4·x4

＝81x4.

（3）（xmyn）2；

解：

原式＝（xm）2·（yn）2

＝x2my2n.

（4）（－3×102）4.

解：

原式＝（－3）4×（102）4

＝81×108

＝8.1×109.

知识点2　积的乘方的逆运算

6．填空：

45×（0.25）5＝（4×0.25）5＝1.

7．计算：

（－

）2019×（

）2019.

解：

原式＝[（－

）×

]2019＝（－1）2019＝－1.

易错点　对积的乘方法则理解不透而出错

8．指出下列的计算哪些是对的，哪些是错的，并将错误的改正．

（1）（ab2）2＝ab4；

（2）（3cd）3＝9c3d3；

（3）（－3a3）2＝－9a6；

（4）（－x3y）3＝－x6y3.

解：

（1）

（2）（3）（4）都是错的．改正如下：

（1）（ab2）2＝a2b4；

（2）（3cd）3＝27c3d3；（3）（－3a3）2＝9a6；（4）（－x3y）3＝－x9y3.

02　　中档题

9．如果（ambn）3＝a9b12，那么m，n的值为（B）

A．m＝9，n＝4B．m＝3，n＝4

C．m＝4，n＝3D．m＝9，n＝6

10．（忻州期末）计算：

（－

）10×29＝

．

11．一个立方体的棱长是1.5×102cm，则这个立方体的体积为3.375×106cm3.（结果用科学记数法表示）

12．计算：

（1）[（－3a2b3）3]2；

解：

原式＝[（－3）3×（a2）3×（b3）3]2

＝（－27a6b9）2

＝729a12b18.

（2）（－2xy2）6＋（－3x2y4）3；

解：

原式＝64x6y12－27x6y12

＝37x6y12.

（3）（忻州期末）－4a·a3·a4＋（－a2）4＋（－2a4）2.

解：

原式＝－4a8＋a8＋4a8

＝a8.

13．【整体思想】已知n是正整数，且x3n＝2，求（3x3n）3＋（－2x2n）3的值．

解：

（3x3n）3＋（－2x2n）3

＝33×（x3n）3＋（－2）3×（x3n）2

＝27×8＋（－8）×4

＝184.

03　　综合题

14．已知2n＝a，5n＝b，20n＝c，试探究a，b，c之间有什么关系．

解：

∵20n＝（22×5）n＝22n×5n＝（2n）2×5n＝a2b，且20n＝c，∴c＝a2b.

小专题（十三）　幂的运算性质的应用

类型1　直接利用幂的运算性质进行计算

1．计算：

（1）a·a4＝a5；

（2）（a5）2＝a10；

（3）（－a4）3＝－a12；

（4）（2y2）3＝8y6；

（5）（ab3）2＝a2b6；

（6）（－a2b3c）3＝－a6b9c3；

（7）（a2）3·a4＝a10；

（8）（－3a）2·a3＝9a5；

（9）（anbm＋4）3＝a3nb3m＋12；

（10）（－am）5·an＝－a5m＋n．

2．计算：

（1）（－a2）3＋（－a3）2－a2·a3；

解：

原式＝－a6＋a6－a5＝－a5.

（2）a·a2·a3＋（a3）2－（2a2）3；

解：

原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.

（3）－（－x2）3·（－x2）2－x·（－x3）3；

解：

原式＝x6·x4＋x10

＝2x10.

（4）（－2x2）3＋（－3x3）2＋（x2）2·x2；

解：

原式＝－8x6＋9x6＋x6

＝2x6.

（5）（－2x2y）3－（－2x3y）2＋6x6y3＋2x6y2.

解：

原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2

＝－2x6y3－2x6y2.

类型2　逆用幂的运算性质

（1）将指数相加的幂写成同底数幂的积，

即am＋n＝am·an；

（2）将指数相乘的幂写成幂的乘方，

即amn＝（am）n；

（3）将相同指数幂的积写成积的乘方，

即ambm＝（ab）m.

3．已知ax＝－2，ay＝3.求：

（1）ax＋y的值；

（2）a3x的值；

（3）a3x＋2y的值．

解：

（1）ax＋y＝ax·ay＝－2×3＝－6.

（2）a3x＝（ax）3＝（－2）3＝－8.

（3）a3x＋2y＝（a3x）·（a2y）

＝（ax）3·（ay）2

＝（－2）3·32

＝－8×9

＝－72.

4．计算：

0.1252019×（－82020）．

解：

原式＝（

）2019×（－82019×8）

＝（

）2019×（－82019）×8

＝－（

×8）2019×8

＝－1×8

＝－8.

5．已知2a＝m，2b＝n，3a＝p（a，b都是正整数），用含m，n或p的式子表示下列各式：

（1）4a＋b；　　　　　

（2）6a.

解：

（1）4a＋b＝4a·4b

＝（22）a·（22）b

＝（2a）2·（2b）2

＝m2n2.

（2）6a＝（2×3）a

＝2a×3a

＝mp.

14.1.4　整式的乘法

第1课时　单项式与单项式相乘

01　　基础题

知识点1　单项式与单项式相乘

1．填空：

5a2b3·3ab2＝5×3a2＋1b3＋2＝15a3b5．

2．计算：

（1）（天津中考）2x4·x3＝2x7；

（2）（－2a）·（

a3）＝－

a4．

3．（柳州中考）计算：

2a·ab＝（B）

A．2abB．2a2bC．3abD．3a2b

4．计算：

（1）2x2y·（－4xy3z）；

解：

原式＝[2×（－4）]（x2·x）·（y·y3）·z

＝－8x3y4z.

（2）5a2·（3a3）2；

解：

原式＝5a2·9a6＝45a8.

（3）（－

x2y）3·（2xy2）2.

解：

原式＝－

x6y3·4x2y4

＝－

x8y7.

知识点2　单项式与单项式相乘的应用

5．一种计算机每秒可做4×108次运算，则它工作3×103s运算的次数为（B）

A．12×1024B．1.2×1012

C．12×1012D．12×108

6．一个直角三角形的两直角边的长分别是2a和3a，则此三角形的面积是3a2；当a＝2时，这个三角形的面积等于12．

7．某市环保局欲将一个长为2×103dm，宽为4×102dm，高为8×10dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体储水池净化，求长方体废水池的容积．

解：

（2×103）×（4×102）×（8×10）＝6.4×107（dm3）．

答：

长方体废水池的容积是6.4×107dm3.

易错点1　漏掉指数是1的项而出错

8．计算：

（x2y）2·3xy2z＝3x5y4z．

易错点2　混淆幂的运算法则，弄错运算顺序而出错

9．计算：

－

x5y2·（－4x2y）2＝－8x9y4．

02　　中档题

10．（临汾期中）某公园一块草坪的形状如图所示（阴影部分），用含字母a的式子表示它的面积为22a2．

11．计算：

（1）（－3x2y）2·（－

xyz）·

xz2；

解：

原式＝9x4y2·（－

xyz）·

xz2

＝－

x6y3z3.

（2）（－4ab3）·（－

ab）－（

ab2）2.

解：

原式＝

a2b4－

a2b4＝

a2b4.

12．先化简，再求值：

2x2y·（－2xy2）3＋（2xy）3·（－xy2）2，其中x＝4，y＝

.

解：

原式＝－2x2y·8x3y6＋8x3y3·x2y4

＝－16x5y7＋8x5y7

＝－8x5y7.

当x＝4，y＝

时，原式＝－

.

03　　综合题

13．已知单项式9am＋1bn＋1与－2a2m－1b2n－1的积与5a3b6是同类项，求m，n的值．

解：

（9am＋1bn＋1）·（－2a2m－1b2n－1）

＝9×（－2）·am＋1·a2m－1·bn＋1·b2n－1

＝－18a3mb3n.

∵－18a3mb3n与5a3b6是同类项，

∴3m＝3，3n＝6.

解得m＝1，n＝2.

第2课时　单项式与多项式相乘

01　　基础题

知识点1　单项式与多项式相乘

1．填空：

6m（3m2－

m－1）＝6m·3m2＋6m·（－

m）＋6m·（－1）＝18m3－4m2－6m．

2．（湖州中考）计算2x（3x2＋1）正确的结果是（C）

A．5x3＋2xB．6x3＋1

C．6x3＋2xD．6x2＋2x

3．下列计算正确的是（D）

A．（－2a）·（3ab－2a2b）＝－6a2b－4a3b

B．（2ab2）·（－a2＋2b2－1）＝－4a3b4

C．（abc）·（3a2b－2ab2）＝3a3b2－2a2b2

D．（ab）2·（3ab2－c）＝3a3b4－a2b2c

4．计算：

（1）（2xy2－3xy）·2xy；

解：

原式＝2xy2·2xy－3xy·2xy

＝4x2y3－6x2y2.

（2）－x（2x＋3x2－2）．

解：

原式＝－x·2x＋（－x）·3x2＋（－x）·（－2）

＝－2x2－3x3＋2x.

5．化简求值：

3a（a2－2a＋1）－2a2（a－3），其中a＝2.

解：

原式＝3a3－6a2＋3a－2a3＋6a2＝a3＋3a.

当a＝2时，原式＝23＋3×2＝14.

知识点2　单项式与多项式相乘的应用

6．若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x－4，则该长方体的体积为（C）

A．3x3－4x2B．6x2－8x

C．6x3－8x2D．6x3－8x

7．（阳泉期末）边长分别为a和b（a＞b）的两个正方形按如图所示的样式摆放，则图中阴影部分的面积是

a2－

ab＋b2．

易错点1　漏掉或漏乘多项式中的常数项而出错

8．计算：

2xy2（x2－2y2＋1）＝2x3y2－4xy4＋2xy2．

易错点2　相乘时符号出错

9．计算：

－2x（3x2y－2xy）＝－6x3y＋4x2y．

02　　中档题

10．方程3x（7－x）＝18－x（3x－15）的解为x＝3．

11．计算：

（1）（－

ab）（

ab2－2ab＋

b＋1）；

解：

原式＝（－

ab）·

ab2＋（－

ab）·（－2ab）＋（－

ab）·

b＋（－

ab）×1

＝－

a2b3＋a2b2－

ab2－

ab.

（2）3ab（a2b－ab2－ab）－ab2（2a2－3ab＋2a）．

解：

原式＝3a3b2－3a2b3－3a2b2－2a3b2＋3a2b3－2a2b2

＝a3b2－5a2b2.

12．已知ab2＝－1，求（－ab）（a2b5－ab3－b）的值．

解：

原式＝－a3b6＋a2b4＋ab2

＝－（ab2）3＋（ab2）2＋ab2.

当ab2＝－1时，

原式＝－（－1）3＋（－1）2＋（－1）＝1.

03　　综合题

13．某同学在计算一个多项式乘－3x2时，算成了加上－3x2，得到的答案是x2－

x＋1，那么正确的计算结果是多少？

解：

设这个多项式为A，则

A＋（－3x2）＝x2－

x＋1，

∴A＝4x2－

x＋1.

∴A·（－3x2）

＝（4x2－

x＋1）（－3x2）

＝－12x4＋

x3－3x2.

第3课时　多项式与多项式相乘

01　　基础题

知识点1　多项式与多项式相乘

1．计算（2x－1）（5x＋2）的结果是（D）

A．10x2－2B．10x2－5x－2

C．10x2＋4x－2D．10x2－x－2

2．填空：

（2x－5y）（3x－y）＝2x·3x＋2x·（－y）＋（－5y）·3x＋（－5y）·（－y）＝6x2－17xy＋5y2.

3．计算：

（1）（2a＋b）（a－b）＝2a2－ab－b2；

（2）（x－2y）（x2＋2xy＋4y2）＝x3－8y3．

4．计算：

（1）（m＋1）（2m－1）；

解：

原式＝2m2－m＋2m－1

＝2m2＋m－1.

（2）（2a－3b）（3a＋2b）；

解：

原式＝6a2＋4ab－9ab－6b2

＝6a2－5ab－6b2.

（3）（2x－3y）（4x2＋6xy＋9y2）；

解：

原式＝8x3＋12x2y＋18xy2－12x2y－18xy2－27y3

＝8x3－27y3.

（4）

（2x－y）（x＋y）．

解：

原式＝

（2x2＋xy－y2）

＝x2＋

xy－

y2.

5．先化简，再求值：

（2x－5）（3x＋2）－6（x＋1）（x－2），其中x＝

.

解：

原式＝6x2＋4x－15x－10－6x2＋12x－6x＋12

＝－5x＋2.

当x＝

时，原式＝－5×

＋2＝1.

知识点2　多项式与多项式相乘的应用

6．若一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x－1和x，则它的体积是（B）

A．6x3－5x2＋4xB．6x3－11x2＋4x

C．6x3－4x2D．6x3－4x2＋x＋4

7．为参加市里的“灵智星”摄影大赛，小阳同学将同学们参加“义务献爱心”活动的照片放大为长a厘米，宽

a厘米的长方形形状，又精心在四周加上了宽2厘米的装饰彩框，那么小阳同学的这幅作品的面积是（

a2＋7a＋16）平方厘米．

知识点3　（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq

8．（武汉中考）计算（a－2）（a＋3）的结果是（B）

A．a2－6B．a2＋a－6

C．a2＋6D．a2－a＋6

9．下列多项式相乘的结果为x2＋3x－18的是（D）

A．（x－2）（x＋9）B．（x＋2）（x－9）

C．（x＋3）（x－6）D．（x－3）（x＋6）

10．已知（x＋1）（x－3）＝x2＋ax＋b，则a，b的值分别是（B）

A．a＝2，b＝3B．a＝－2，b＝－3

C．a＝－2，b＝3D．a＝2，b＝－3

11．计算：

（1）（x＋1）（x＋4）；

解：

原式＝x2＋5x＋4.

（2）（m－3）（m＋2）；

解：

原式＝m2－m－6.

（3）（y＋4）（y＋4）；

解：

原式＝y2＋8y＋16.

（4）（t－3）（t＋3）．

解：

原式＝t2－9.

易错点　相乘时符号出错

12．计算：

（x－8y）（x－y）＝x2－9xy＋8y2．

02　　中档题

13．已知M，N分别是二次多项式和三次多项式，则M·N（A）

A．一定是五次多项式

B．一定是六次多项式

C．一定是不高于五次的多项式

D．无法确定积的次数

14．已知（4x－7y）（5x－2y）＝M－43xy＋14y2，则M＝20x2．

15．（玉林中考）已知ab＝a＋b＋1，则（a－1）（b－1）＝2．

16．计算：

（1）（咸宁中考）（a＋3）（a－2）－a（a－1）；

解：

原式＝a2－2a＋3a－6－a2＋a

＝2a－6.

（2）（－7x2－8y2）·（－x2＋3y2）．

解：

原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4

＝7x4－13x2y2－24y4.

17．化简求值：

（x－2y）（x＋3y）－（2x－y）（x－4y），其中x＝－1，y＝2.

解：

原式＝x2＋3xy－2xy－6y2－（2x2－8xy－xy＋4y2）

＝x2＋xy－6y2－（2x2－9xy＋4y2）

＝－x2＋10xy－10y2.

当x＝－1，y＝2时，

原式＝－（－1）2＋10×（－1）×2－10×22

＝－61.

18．【关注趣味数学】小思同学用如图所示的A，B，C三类卡片若干张，拼出了一个长为2a＋b、宽为a＋b的长方形图形．请你通过计算求出小思同学拼这个长方形所用A，B，C三类卡片各几张（要求：

所拼图形中，卡片之间不能重叠，不能有空隙），并画出他的拼图示意图．

解：

因为（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，所以所用A，B，C三类卡片分别为3张，1张，2张，图略（图不唯一）．

03　　综合题

19．已知将（x3＋mx＋n）（x2－3x＋4）展开的结果中，不含x3和x2项．（m，n为常数）

（1）求m，n的值；

（2）在

（1）的条件下，求（m＋n）（m2－mn＋n2）的值．

解：

（1）原式＝x5－3x4＋4x3＋mx3－3mx2＋4mx＋nx2－3nx＋4n＝x5－3x4＋（4＋m）x3＋（－3m＋n）x2＋（4m－3n）x＋4n.

∵不含x3和x2项，

∴

解得

（2）（m＋n）（m2－mn＋n2）

＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3

＝m3