优化设计第二次课.ppt

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第四节第四节优化设计问题的基本解法优化设计问题的基本解法求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。

求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。

解析解法就是把所研究的对象用数学方程解析解法就是把所研究的对象用数学方程解析解法就是把所研究的对象用数学方程解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型数学模型数学模型数学模型）描述出描述出描述出描述出来，然后再用数学解析方法来，然后再用数学解析方法来，然后再用数学解析方法来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等如微分、变分方法等如微分、变分方法等如微分、变分方法等）求出优化解。

求出优化解。

但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解。

不便于甚至不可能用解析方法求解。

另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用差值或拟合方法构造一个近似函数式，再过大量试验数据用差值或拟合方法构造一个近似函数式，再过大量试验数据用差值或拟合方法构造一个近似函数式，再过大量试验数据用差值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验导，从任取一点出发通过少量试验导，从任取一点出发通过少量试验导，从任取一点出发通过少量试验（探索式的计算探索式的计算探索式的计算探索式的计算），并根据试，并根据试，并根据试，并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。

这种方法是属验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。

这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。

于近似的、迭代性质的数值解法。

11、迭代法的基本方法、迭代法的基本方法数数数数值值值值迭迭迭迭代代代代法法法法的的的的基基基基本本本本思思思思想想想想是是是是：

首首首首先先先先选选选选择择择择一一一一个个个个尽尽尽尽可可可可能能能能接接接接近近近近极极极极值值值值点点点点的的的的初初初初始始始始点点点点，从从从从这这这这个个个个初初初初始始始始点点点点出出出出发发发发，按按按按照照照照依依依依据据据据某某某某种种种种方方方方法法法法确确确确定定定定的的的的一一一一个个个个使使使使目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值下下下下降降降降的的的的可可可可行行行行方方方方向向向向走走走走一一一一定定定定的的的的步步步步长长长长，得得得得到到到到第第第第一一一一个个个个新新新新的的的的设设设设计计计计点点点点。

初初初初始始始始点点点点和和和和第第第第一一一一个个个个新新新新点点点点的的的的目目目目标标标标函函函函数数数数值值值值应应应应满满满满足足足足然然然然后后后后，以以以以点点点点作作作作为为为为新新新新的的的的出出出出发发发发点点点点，重重重重复复复复上上上上述述述述步步步步骤骤骤骤，得得得得到到到到第第第第二二二二个个个个点点点点。

继继继继续续续续下下下下去去去去，依依依依次次次次可可可可得得得得到到到到点点点点，最最最最终终终终得得得得到到到到一一一一个个个个近近近近似似似似的的的的最最最最优优优优点点点点，它它它它与与与与理理理理论论论论的的的的最最最最优优优优点点点点的的的的逼逼逼逼近近近近程程程程度度度度应应应应该该该该满满满满足足足足一一一一定定定定的的的的精精精精度度度度要要要要求。

求。

在机械优化设计中，迭代的基本方法大致可以分为两类：

11）优化准则法）优化准则法）优化准则法）优化准则法22）数学规划法）数学规划法）数学规划法）数学规划法迭代法的基本解法思想迭代法的基本解法思想迭代法的基本解法思想迭代法的基本解法思想22、迭代过程的终止准则、迭代过程的终止准则收敛于收敛于，存在一个只与，存在一个只与有关而与有关而与自然数自然数NN，使得当两自然数，使得当两自然数mm，pNpN时，满足时，满足或或柯西准则柯西准则：

对于某种迭代程序产生的序列：

对于某种迭代程序产生的序列的实数的实数无关的无关的11点距准则（模准则）：

点距准则（模准则）：

22函数下降量准则（值准则）函数下降量准则（值准则）：

33梯度准则：

梯度准则：

在最优点在最优点计算精度，应适当，一般取计算精度，应适当，一般取常用迭代收敛准则常用迭代收敛准则优化设计的数学基础优化设计的数学基础第一节第一节多元函数的方向导数和梯度多元函数的方向导数和梯度一、偏导数一、偏导数我们设二元数我们设二元数我们设二元数我们设二元数，在点，在点，在点，在点处沿处沿处沿处沿轴方向有增量轴方向有增量轴方向有增量轴方向有增量，则，则，则，则函数的相应增量为函数的相应增量为函数的相应增量为函数的相应增量为若极限若极限若极限若极限存在，则这个极限称为函数存在，则这个极限称为函数存在，则这个极限称为函数存在，则这个极限称为函数在在在在点点点点PP处的对处的对处的对处的对的偏导数，记作的偏导数，记作的偏导数，记作的偏导数，记作二、方向导数二、方向导数设二元函数设二元函数设二元函数设二元函数由点由点由点由点沿着与沿着与沿着与沿着与轴正向夹角为轴正向夹角为轴正向夹角为轴正向夹角为的的的的向量向量向量向量SS的方向，变化到点的方向，变化到点的方向，变化到点的方向，变化到点于是，函数相应的增量为于是，函数相应的增量为于是，函数相应的增量为于是，函数相应的增量为点点点点至点至点至点至点的距离为的距离为的距离为的距离为当当当当无限缩小，若极限无限缩小，若极限无限缩小，若极限无限缩小，若极限存在，则这个极限就称为函数的方向导数，记作存在，则这个极限就称为函数的方向导数，记作存在，则这个极限就称为函数的方向导数，记作存在，则这个极限就称为函数的方向导数，记作方向导数是函数在某点沿给定方向的变化率，所以，可以把它方向导数是函数在某点沿给定方向的变化率，所以，可以把它方向导数是函数在某点沿给定方向的变化率，所以，可以把它方向导数是函数在某点沿给定方向的变化率，所以，可以把它看成是偏导数的推广，并可用偏导数来表示，即看成是偏导数的推广，并可用偏导数来表示，即看成是偏导数的推广，并可用偏导数来表示，即看成是偏导数的推广，并可用偏导数来表示，即同理，对于三元函数同理，对于三元函数同理，对于三元函数同理，对于三元函数在三维空间的一点在三维空间的一点在三维空间的一点在三维空间的一点沿向量沿向量沿向量沿向量的方向的方向导数为的方向的方向导数为的方向的方向导数为的方向的方向导数为同理多元函数的方向导数可写成同理多元函数的方向导数可写成同理多元函数的方向导数可写成同理多元函数的方向导数可写成例：

求目标函数例：

求目标函数在点在点在点在点处沿向量处沿向量处沿向量处沿向量和和和和两方两方两方两方向的方向导数。

如图所示，向量向的方向导数。

如图所示，向量的方向：

的方向：

向量向量向量向量的方向：

的方向：

，。

三、梯度三、梯度二元函数二元函数二元函数二元函数在在在在点处的方向导数点处的方向导数点处的方向导数点处的方向导数的表达式可的表达式可的表达式可的表达式可改写成下面的形式改写成下面的形式改写成下面的形式改写成下面的形式令在它称为函数的在它称为函数的在它称为函数的在它称为函数的梯度梯度梯度梯度若设若设若设若设则有则有则有则有例：

求二元函数例：

求二元函数在在在在处函数变化处函数变化处函数变化处函数变化率最大的方向和数值。

率最大的方向和数值。

多元函数多元函数多元函数多元函数在在在在点处的方向点处的方向点处的方向点处的方向梯度梯度梯度梯度可以定义为可以定义为可以定义为可以定义为方向导数方向导数方向导数方向导数可以表示为可以表示为可以表示为可以表示为其中其中其中其中梯度的模梯度的模梯度的模梯度的模梯度方向单位向量梯度方向单位向量梯度方向单位向量梯度方向单位向量梯度在优化设计方法中具有重要的作用，它具有下列几个重梯度在优化设计方法中具有重要的作用，它具有下列几个重梯度在优化设计方法中具有重要的作用，它具有下列几个重梯度在优化设计方法中具有重要的作用，它具有下列几个重要的性质要的性质要的性质要的性质

（1）

（1）梯梯梯梯度度度度是是是是一一一一个个个个向向向向量量量量，函函函函数数数数的的的的梯梯梯梯度度度度方方方方向向向向是是是是函函函函数数数数变变变变化化化化率率率率最最最最大大大大的的的的方向。

方向。

（2）

（2）函函函函数数数数在在在在某某某某点点点点的的的的梯梯梯梯度度度度方方方方向向向向是是是是指指指指在在在在该该该该点点点点函函函函数数数数值值值值的的的的最最最最快快快快上上上上升升升升方方方方向向向向，函函函函数数数数在在在在其其其其定定定定义义义义域域域域内内内内的的的的各各各各点点点点都都都都对对对对应应应应着着着着一一一一个个个个确确确确定定定定的的的的梯梯梯梯度度度度，所所所所以以以以函函函函数数数数在在在在某某某某点点点点的的的的梯梯梯梯度度度度仅仅仅仅仅仅仅仅是是是是对对对对函函函函数数数数在在在在该该该该点点点点附附附附近近近近而而而而言言言言的的的的，梯梯梯梯度度度度是是是是函函函函数的一种局部性质。

数的一种局部性质。

（3）（3）函函函函数数数数在在在在某某某某点点点点的的的的梯梯梯梯度度度度与与与与过过过过该该该该点点点点的的的的函函函函数数数数等等等等值值值值面面面面（线线线线）是是是是正正正正交交交交的的的的即即即即梯度方向是函数等值面梯度方向是函数等值面梯度方向是函数等值面梯度方向是函数等值面（线线线线）的法线方向。

的法线方向。

四、几种特殊类型函数的梯度四、几种特殊类型函数的梯度二次函数用向量及矩阵的表达方法二次函数用向量及矩阵的表达方法二次函数用向量及矩阵的表达方法二次函数用向量及矩阵的表达方法若若若若令令令令，则则则则例：

将函数例：

将函数写成向量及矩写成向量及矩写成向量及矩写成向量及矩阵形式阵形式阵形式阵形式nn维函数用向量及矩阵的表达方法维函数用向量及矩阵的表达方法维函数用向量及矩阵的表达方法维函数用向量及矩阵的表达方法式中式中式中式中几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度11）因为因为因为因为所以有所以有所以有所以有从而得到函数的梯度为从而得到函数的梯度为从而得到函数的梯度为从而得到函数的梯度为几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度几种特殊形式的函数的梯度2

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