届江苏高考数学文总复习讲义 正弦定理和余弦定理.docx
《届江苏高考数学文总复习讲义 正弦定理和余弦定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届江苏高考数学文总复习讲义 正弦定理和余弦定理.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
届江苏高考数学文总复习讲义正弦定理和余弦定理
第七节
正弦定理和余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径）
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式（边角转化）
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
2．三角形中常用的面积公式
（1）S＝ah（h表示边a上的高）；
（2）S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；
（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．
[小题体验]
1．（2019·启东中学检测）在△ABC中，A＝30°，AC＝2，BC＝2，则AB＝________.
答案：
2或4
2．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.
答案：
6
3．（2019·淮安调研）在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．
解析：
在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，
由余弦定理，得cosA＝＝，
代入数据化简得AB2－2AB－4＝0，
解得AB＝＋（负值舍去）．
故△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝3＋.
答案：
3＋
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．
解析：
因为＝，
所以sinB＝sinA＝sin45°＝.
又因为a＜b，所以B有两个解，
即此三角形有两解．
答案：
两解
2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.
解析：
在△ABC中，
因为sinB＝，0＜B＜π，
所以B＝或B＝.
又因为B＋C＜π，C＝，所以B＝，
所以A＝.
因为＝，所以b＝＝1.
答案：
1
[典例引领]
（2018·南京高三年级学情调研）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝.
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
解：
（1）法一：
在△ABC中，
由余弦定理得cosB＝＝.
因为c＝2a，所以＝，
即＝，
所以＝.
又由正弦定理得＝，
所以＝.
法二：
因为cosB＝，B∈（0，π），
所以sinB＝＝.
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin（B＋C）＝cosC＋sinC，
即－sinC＝2cosC.
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝.
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝.
又0＜B＜π，
所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.
因为C－B＝，即C＝B＋，
所以A＝π－（B＋C）＝－2B，
所以sinA＝sin＝sincos2B－cossin2B＝×－×＝.
[由题悟法]
1．正、余弦定理适用类型
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2．判断三角形解的个数的注意点
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
[即时应用]
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为________．
解析：
因为S△ABC＝bcsinA＝2，
所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，
又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，
可得b＝2或b＝3.
答案：
2或3
2．（2018·苏州高三期中调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA（m∈R），且a2－4bc＝0.
（1）当a＝2，m＝时，求b，c的值；
（2）若角A为锐角，求m的取值范围．
解：
由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.
（1）当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，
解得或
（2）cosA＝＝
＝＝2m2－3，
因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈（0,1），
所以＜m2＜2，
又由b＋c＝ma，可得m＞0，
所以＜m＜，即m的取值范围为.
[典例引领]
在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．
解析：
由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
答案：
直角三角形
[类题通法]
判定三角形形状的2种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．
[即时应用]
1．（2019·宿迁期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2acosB，则△ABC的形状为______________．
解析：
∵c＝2acosB，
∴由正弦定理，得sinC＝sin（A＋B）＝2sinAcosB，
即sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，
∴sinAcosB＝cosAsinB，可得tanA＝tanB，
又0＜A＜π，0＜B＜π，∴A＝B，
故△ABC的形状为等腰三角形．
答案：
等腰三角形
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为________．
解析：
因为＝，所以＝，所以b＝c.
又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝＝.
因为A∈（0，π），所以A＝，所以△ABC是等边三角形．
答案：
等边三角形
[典例引领]
（2018·徐州高三年级期中考试）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋2c＝2bcosA.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝2，a＋c＝4，求△ABC的面积．
解：
（1）因为a＋2c＝2bcosA，
由正弦定理，得sinA＋2sinC＝2sinBcosA.
因为C＝π－（A＋B），
所以sinA＋2sin（A＋B）＝2sinBcosA.
即sinA＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝2sinBcosA，
所以sinA（1＋2cosB）＝0.
因为sinA≠0，所以cosB＝－.
又因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）由余弦定理a2＋c2－2accosB＝b2及b＝2，
得a2＋c2＋ac＝12，即（a＋c）2－ac＝12.
又因为a＋c＝4，所以ac＝4，
所以S△ABC＝acsinB＝×4×＝.
[由题悟法]
三角形面积公式的应用原则
（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[即时应用]
（2018·镇江高三期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.
（1）求C的大小；
（2）若b＝2a，且△ABC的面积为2，求c的值．
解：
（1）由正弦定理＝＝及bcosA＋acosB＝－2ccosC，
得sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC，
所以sin（B＋A）＝－2sinCcosC，
所以sinC＝－2sinCcosC.
因为C∈（0，π），所以sinC＞0，
所以cosC＝－，
所以C＝.
（2）因为△ABC的面积为2，
所以absinC＝2，所以ab＝8.
又b＝2a，所以a＝2，b＝4，
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4×＝28，
所以c＝2.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2019·泰州模拟）在△ABC中，BC＝3，B－A＝，且cosB＝－，则AC＝________.
解析：
∵B－A＝，∴cosB＝cos＝－sinA＝－，∴sinA＝，sinB＝.
∴由正弦定理，得AC＝＝＝4.
答案：
4
2．（2018·姜堰中学测试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则＝________.
解析：
由已知及余弦定理得cosB＝＝＝，所以＝.
答案：
3．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，则b＝________.
解析：
bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，
所以b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝.
答案：
4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为________．
解析：
由题意得cosA＝＝，
所以sinA＝＝，
所以边AC上的高h＝ABsinA＝.
答案：
5．（2019·如东调研）设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＝2，c＝3，C＝，则△ABC的面积为________．
解析：
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－ab，即9＝12－ab，故ab＝3，
则S△ABC＝absinC＝.
答案：
6．（2018·苏锡常镇一调）若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是________．
解析：
由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m＝＝·＋＞×＋＝2.
答案：
（2，＋∞）
二保高考，全练题型做到高考达标
1．在△ABC中，2acosA＋bcosC＋ccosB＝0，则角A的大小为________．
解析：
由余弦定理得2acosA＋b·＋c·＝0，即2acosA＋a＝0，
所以cosA＝－，A＝120°.
答案：
120°
2．（2018·海门中学检测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为________．
解析：
依题意得cosC＝＝，即C＝60°，因此△ABC的面积等于absinC＝××＝.
答案：
3．（2019·镇江调研）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝4，则b＝________.
解析：
∵A＝60°，a＝，c＝4，
∴由余弦定理，得13＝b2＋16－8bcos60°，
即b2－4b＋3＝0，
解得b＝1或3.
答案：
1或3
4．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（b－c）（sinB＋sinC）＝（a－c）sinA，则角B的大小为____．
解析：
由正弦定理＝＝及（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－c）sinA得（b－c）（b＋c）＝（a－c）a，即b2－c2＝a2－ac，所以a2＋c2－b2＝ac，又因为cosB＝，所以cosB＝，所以B＝30°.
答案：
30°
5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于________．
解析：
由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，
故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈（0，π），所以B＝.
故A＝B＝，则△ABC是正三角形，
所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.
答案：
6．（2019·无锡调研）在△ABC中，C＝，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，则AB＝________.
解析：
∵a，b是方程x2－13x＋40＝0的两根，
∴a＋b＝13，ab＝40，
由余弦定理，得AB2＝a2＋b2－2abcosC＝（a＋b）2－3ab＝132－3×40＝49，
则AB＝7.
答案：
7
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝________.
解析：
因为asinAsinB＋bcos2A＝a，由正弦定理得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，所以sinB＝sinA，所以＝＝.
答案：
8．（2019·苏州一模）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，则＋的值为________．
解析：
∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝π，∴B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，
故＋＝＝
＝＝＝1.
答案：
1
9．（2018·苏锡常镇调研）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acosB＝3，bcosA＝1，且A－B＝.
（1）求c的长；
（2）求B的大小．
解：
（1）法一：
在△ABC中，acosB＝3，
由余弦定理，得a·＝3，即a2＋c2－b2＝6c.①
由bcosA＝1，得b·＝1，即b2＋c2－a2＝2c.②
①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.
法二：
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sinAcosB＋sinBcosA＝sin（A＋B）＝sinC，
由正弦定理，得sinA＝，sinB＝，
代入上式得，c＝acosB＋bcosA＝3＋1＝4.
（2）由正弦定理得＝＝＝3.
又tan（A－B）＝＝＝，
解得tanB＝，又B∈（0，π），所以B＝.
10．（2019·盐城期中）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且sin＋sin＝.
（1）求角C的大小；
（2）若c＝3且sinA＝2sinB，求△ABC的面积．
解：
（1）由sin＋sin＝，
得（cosC－sinC）＋（cosC＋sinC）＝，
∴cosC＝，
又0＜C＜π，∴C＝.
（2）由c＝3且sinA＝2sinB，可得a＝2b，
由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝4b2＋b2－4b2×＝3b2＝27，
∴b＝3，a＝6，
则△ABC的面积为S＝absinC＝×6×3×＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B－A）＋sin（B＋A）＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是________．
解析：
由sin（B－A）＋sin（B＋A）＝3sin2A，得2sinBcosA＝6sinAcosA，所以cosA＝0或sinB＝3sinA.
若cosA＝0，则A＝，在Rt△ABC中，C＝，
所以b＝＝，此时△ABC的面积S＝bc＝××＝；
若sinB＝3sinA，即b＝3a，由余弦定理得7＝a2＋9a2－2·a·3a·，得a＝1，所以b＝3，此时△ABC的面积S＝absinC＝×1×3×＝.
答案：
或
2．（2019·苏州高三期中调研）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．
解析：
由b＝acosC＋csinA及正弦定理可得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，所以sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinCsinA，化简可得sinA＝cosA，所以A＝.在△ACD中，由余弦定理可得CD2＝2＝b2＋－2b··cosA≥bc－bc，当且仅当b＝时取“＝”，所以bc≤4＋2，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝bc≤＋1，所以△ABC面积的最大值是＋1.
升级会员 