•通过上式要求kii的值，需要对
（一）从乍出假设，假
设命按利率复利i计算，即有
（1-r）4=（1+01_?
-1#.
•通过迭代的方法可以求出i的值。
若基金各时刻的余额保持大于0的话，显然收益率是唯一的。
d•若用下式近似表示（1一鬲（单利近似代替复利），可以较方便的计算初收益率，且误差较小：
（1一屛=（1—
•:
•则当期利率可近似表示为
I
新增净投入的平均时刻的利率
❖假设所有新增投资平均发生在期中，贝IJ
.II21
I——
生）+0.5CAq+0.5（A|—Aq—/）4）+£—/
❖假设所有新的净投入都是在时刻k进行的，则有T呈
IZ/
+（1—/c）C观+（1—k）（A[——/）kA^+（1—k）刍—（1—k）/
币值加权收益率计算公式
21
A+^C/l-r）
・I
iu=
A+0.5CA+B-I
z—
~4+（1—k）C—fc4+（l—k）B—（1—k”
•:
•收益率的精确求法：
A）（i+，）+工G（i+z）d=a
t
♦:
♦其中，i是当期的利率
•【例4・4】某项投资1月1日投资100万元，4
月1日该项目投资余额为112万元，同时赎回20万元。
9月1日投资余额为110万元，同时投入30万元，至年底累积至120万元，试计算该项投资账户在当年的收益率。
•【练习】年初某基金有资金1000元，在4月末新投入资金500元，在6月末赎回资金100元，8月末赎回资金200元。
到年底，基金余额为1272元。
计算基金收益率。
❖币值加权收益率可以准确衡量其赚钱或亏损的程度。
•:
•在币值加权收益率的计算中，各不同时期投入、赎回的资金额对收益率的影响很大。
若在高收益期投入的或保持的资金量较大，而低收益期投入的或保持的资金量较小，则总收益率就会较高。
投资额加权收益率所计算的是特定期间内、特定投资行为的收益率，与具体的投资相关。
4
时间加权收益率
•:
•假设有一种投资基金，有很多都投资于该项基金，一年下来，缪息额投资者可能会赚钱,而另外一些投资者可能会亏本，原因？
•如何能反映基金经理人的经营业绩呢？
❖即如何度量该项投资基金本身的收益特性？
•时间加权收益率是扣除了资金增减变化后计算的收益率，即在本金恒定的基础上计算的d攵益家。
时间加权收益率
❖某资金基金参与人在年初时有1万元资金在基金中，在年中，其基金价值降为5000元时，又追加5000元》投入，保持1万元在该基金中，至年底时，基金又升值，其基金价值2万元。
按投资额加权收益率计算方法，有I
10000（1+i）+5000（1+沪=20000
i=40.69%
•若该投资基金参与人在年中基金价值下降时,赎回2500元投资，则至年末基金升值时，其投资的价值为5000元。
仍按投资额加权收益率计算方法，有
10000（1+0-2500（1+02=5000
心一28.92%
♦对于同一期间内同一基金不同的投资行为，收益率是不同的。
产生差别的原因是前一种投资行为在基金升值又投入一部分资金，而后一种投资行为在基金升值前却赎回了一部分资金，失去了一部分基金价值翻番的机会。
2•某投资基金年初价值为1000万元，至年中时降至价值500万元，到年底价值又升至1000万元。
若基金在这一年中没有新投入、没有赎回资金的话，
•：
•当年的收益率为0。
•:
•从上面例子可以看出，这一个投资期（1年）内，
分为两个时间段。
第一个时间段的投资收益率
❖-0.5,第二个时间段的投资收益率1。
则整个期间的收益率：
j=（l—0.5）（1+1）—1=0
•这就是时间加权收益率
•币值加权收益率是从具体投资人的角度计算的收益率，而时间加权收益率是从整个基金管理人的角度计算的收益率，这个收益率能更好的反映基金的运作情况。
计算时间加权收益率的方法
•:
•一个期间，有n次投资，其中G为各时刻投入或赎回的资金净额，A为各时刻的整个基金的余额，不包括该时刻的新投入或赎回额。
而是和邻两个投入资金的时刻间的收益率。
则
—且-1—
71-4（0）N（0）为期初的本金
Jk+i二人+c7k=\,2,..・,n期末的累祝值为^7）=4^
❖从0至1这一期间内的收益率可由下式计算：
1+/・=（1+久）（1+厶）・・・（1+人）1
•:
•即
AnA（
7=（1+久）（1+厶）…（1+厶）一l=—）-1
12”A（0）Ak+Ck|
♦:
♦上式表明，若在0时刻起，投入一元资金，不论这一年各时间段的收益率如何变化，这一元资金一直保持在基金中，至年底可产生的收益。
冷
【例牛5】一个养老金账户在2007年1月1口的余额为40000元。
在2007
年，该账户的现金流及余额变化情况如下表所示，其中负值表示取出养
老金，正值表示增加本金。
请计算该账户在2007年的时间加权收益率。
时间
现金流发生前的余额账户
现金流
现金流发生后的余额账户
2007.1」
40000
2007.5.1
41000
-2000
39000
2007.7.1
40000
-2000
38000
2007.9.1
38000
500
38500
2007.12.31
41000
【例4・6】基金在1月1日的余额为A,在6卄
30日的余额为B,在12月31日的余额为C。
❖
（1）如果没有资金的存入和撤岀，请证明币值加权q攵益举和时间加权收益皋都等于（C-A）/A.
❖
（2）如果在6月30日计算余额后存入资金D,试
求币值加权收益率和时间加权收益举。
❖（3）如果在6月30日计算余额之前存入资金D,试求币值加权收益奉和时间加权收益率。
$【例4-7]A和B均为基金经理人。
在2006年1月1日，两人的基金余额均为1000元在2006年的12月31日，A的基金价值为2000元。
2007年1月1日，A收到一笔20000元的新增投资。
到2007年12月31H,A的余额为22000元。
•:
•在2006年的12月31H,B的基金价值为1200元。
2007年1月1日，一笔1000元的资金从B中撤岀。
至IJ2007年12月31H,B的余额为180元。
•:
•请计算A、B两人在这两年的币值加权收益率和时间加权收益率，并分别比较2006年和2007年谁的收益率高。
【练习】某投资基金一年内四个时间段各期收益率及甲、乙两投资人的个人投资额及积累值如表3・2所示。
计算甲、乙投资人及基金的投资收益率。
时间点
基金各期收益率
甲各时刻投资额
甲各时刻以
金积累额
乙各时刻投资额
乙各时刻基金积累额
0
1000
100
1
30%
100
1415
100
245
2
10%
100
1661.5
100
375.5
3
-20%
100
1419.2
100
389.6
4
10%
100
1666.12
100
533.56
•【练习】某项投资1月1日价值10万元；5月1日该项目投资价值升至112000元，同时又投入3万元；11月1日，项目投资价值降到125000元，同时又赎回42000元；年末项目投资投资价值又升至10万元。
计算投资收益率；
（1）用币值加权收益率计算法；
（2）用时间加权收益率计算法。
两种方法的比较
•:
•区别：
当收益率不存在或者存在多个收益率时，收益卑法不如舀现值法方便。
净现值法对投资的收益显示较为直观，可以知道未来的最低收益值。
而收益率法比较好理解，也
便于在不同投资方式间进行比较。
实务中偏
爱净现值法进行资本预算。
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