郭硕鸿电动力学课后答案.doc
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郭硕鸿《电动力学》课后答案
电动力学答案
第一章电磁现象的普遍规律
1.根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：
解：
（1）
（2）在
（1）中令得：
，
所以
即
2.设是空间坐标的函数，证明：
，，
证明：
（1）
（2）
（3）
3.设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：
；；；
，。
（2）求，，，，及
，其中、及均为常向量。
（1）证明：
可见
可见
，
（2）解：
因为，为常向量，所以，，，
又，
为常向量，，而，
所以
4.应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明
证明：
（I）设为任意非零常矢量，则
根据矢量分析公式，
令其中，，便得
所以
因为是任意非零常向量，所以
（II）设为任意非零常向量，令，代入斯托克斯公式，得
（1）
（1）式左边为：
（2）
（1）式右边为：
（3）
所以（4）
因为为任意非零常向量，所以
5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：
证明：
方法（I）
因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故
，
同理，
所以
方法（II）
根据并矢的散度公式得：
6.若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
证明：
其中，（）
，（）
又
所以，当时，
7.有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：
（1）空间各点的电场；
（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
解：
（1）设场点到球心距离为。
以球心为中心，以为半径作一球面作为高斯面。
由对称性可知，电场沿径向分布，且相同处场强大小相同。
当时，，。
当时，
，，
向量式为
当时，
向量式为
（2）当时，
当时，
当时，
8.内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。
解：
（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为。
由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。
当时，由安培环路定理得：
当时，由环路定理得：
所以，
向量式为
当时，
所以，
向量式为
（2）当时，磁化强度为
所以
在处，磁化面电流密度为
在处，磁化面电流密度为
向量式为
9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。
证明：
在均匀介质中
所以
10.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反（但两个电流元之间
的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）
证明:
线圈1在线圈2的磁场中受的力:
而，
（1）
同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：
（2）
（1）式中：
同理
（2）式中：
11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E的电池，求：
（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；
（2）介质分界面上的自由电荷面密度。
（若介质是漏电的，电导率分别为和当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？
）
解：
忽略边缘效应，平行板电容器内部场强方向垂直于极板，且介质中的场强分段均匀，分别设为和，电位移分别设为和，其方向均由正极板指向负极板。
当介质不漏电时，介质内没有自由电荷，因此，介质分界面处自由电荷面密度为
取高斯柱面，使其一端在极板A内，另一端在介质1内，由高斯定理得：
同理，在极板B内和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
在介质1和介质2内作高斯柱面，由高斯定理得：
所以有，
由于E
所以E
当介质漏电时，重复上述步骤，可得：
，，
介质1中电流密度
介质2中电流密度
由于电流恒定，，
再由E得
E
EE
E
E
12.证明：
（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足
其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。
（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足
其中和分别为两种介质的电导率。
证明：
（1）由的切向分量连续，得
（1）
交界面处无自由电荷，所以的法向分量连续，即
（2）
（1）、
（2）式相除，得
（2）当两种电介质内流有恒定电流时
由的法向分量连续，得
（3）
（1）、（3）式相除，即得
13.试用边值关系证明：
在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。
证明：
（1）设导体外表面处电场强度为，其方向与法线之间夹角为，则其切向分量为。
在静电情况下，导体内部场强处处为零，由于在分界面上的切向分量连续，所以
因此
即只有法向分量，电场线与导体表面垂直。
（2）在恒定电流情况下，设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为，则电流密度与导体表面夹角也是。
导体外的电流密度，由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以
因此
即只有切向分量，从而只有切向分量，电场线与导体表面平行。
14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非磁性物质。
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。
（2）求随时间的衰减规律。
（3）求与轴相距为的地方的能量耗散功率密度。
（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。
解：
（1）以电容器轴线为轴作一圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L，其中
则由高斯定理得：
（1）
所以，
（2）
再由电流连续性方程得：
（3）
所以（4）
即与严格抵消，因此内部无磁场。
（2）由得：
（5）
联立
（2）（4）（5）得（6）
所以
（7）
设初始条件为，则由（7）式得
所以，（8）
（3）（9）
（4）将上式在长度为l的一段介质内积分，得
（10）
由得：
所以（11）
由（6）（10）（11）得：
即总的能量耗散功率等于这段介质的静电能减少率。
第二章静电场
1.一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：
（2）计算自由电荷体密度；
（3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
2.在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：
（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；
（2）导体球上带总电荷
解：
（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场方向的轴线，取该轴线为极轴，球心为原点建立球坐标系。
当时，电势满足拉普拉斯方程，通解为
因为无穷远处，
所以，，
当时，
所以
即：
所以
（2）设球体待定电势为，同理可得
当时，由题意，金属球带电量
所以
3.均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。
提示：
空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。
解：
（一）分离变量法
空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。
设极化电荷产生的电势为，它满足拉普拉斯方程。
在球坐标系中解的形式为：
当时，，。
当时，为有限，。
所以，
由于球对称性，电势只与R有关，所以
，
所以空间各点电势可写成
当时，由得：
由得：
，
则
所以
（二）应用高斯定理
在球外，R>R0，由高斯定理得：
，（整个导体球的束缚电荷），所以，积分后得：
在球内，R，所以
，积分后得：
结果相同。
4.均匀介质球（电容率为）的中心置一自由电偶极子，球外充满了另一种介质（电容率为），求空间各点的电势和极化电荷分布。
解：
以球心为原点，的方向为极轴方向建立球坐标系。
空间各点的电势可分为三种电荷的贡献，即球心处自由电偶极子、极化电偶极子及球面上的极化面电荷三部分的贡献，其中电偶极子产生的总电势为。
所以球内电势可写成：
；球外电势可写成：
其中和为球面的极化面电荷激发的电势，满足拉普拉斯方程。
由于对称性，和均与无关。
考虑到时为有限值；时，故拉普拉斯方程的解为：
由此
（1）
（2）
边界条件为：
（3）
（4）
将
（1）
（2）代入（3）和（4），然后比较的系数，可得：
于是得到所求的解为：
在均匀介质内部，只在自由电荷不为零的地方，极化电荷才不为零，所以在球体内部，只有球心处存在极化电荷。
所以
在两介质交
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