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幂的运算解答题答案

2016暑假作业

（二）

幂的运算解答题（答案）

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．

（1）若33•9m+4÷272m﹣1的值为729，试求m的值；

（2）已知3m=4，3m﹣4n=

，求2008n的值．

【解答】解：

（1）∵33•9m+4÷272m﹣1=33•32（m+4）÷33（2m﹣1）=33+2（m+4）﹣3（2m﹣1）=729=36，

∴3+2（m+4）﹣3（2m﹣1）=6，

解得：

m=2；

（2）∵3m=4，

∴3m﹣4n=3m÷34n=4÷34n=

，

∴34n=81=34，

∴4n=4，

解得：

n=1，

∴2008n=2008．

2．

（1）已知am=2，an=3，求a3m+2n的值；

（2）已知x3=m，x5=n，试用含m，n的代数式表示x14．

【解答】解：

（1）∵am=2，an=3，

∴a3m+2n=a3m•a2n=（am）3•（an）2=23×32=72；

（2）∵x3=m，x5=n，

∴x14=（x3）3•x5=m3n．

3．在比较与时，为了解决问题，只要把问题一般化，比较nn+1与（n+1）n的大小（n≥1的整数），从分析n=1、2、3…这些简单的数入手，从中发现规律，归纳得出猜想．

（1）通过计算比较下列各数大小：

12　＜　21；23　＜　32；34　＞　43；45　＞　54；56　＞　65；67　＞　76．

（2）根据

（1）中结论你能猜想nn+1与（n+1）n的大小关系吗

（3）猜想大小关系：

　＞　（填“＜”、“＞”或“=”）．

【解答】解：

（1）12＜21；23＜32；34＞43；45＞54；56＞65；67＞76．

故答案为：

＜，＜，＞，＞，＞，＞；

（2）当n=1或2时，nn+1＜（n+1）n；

当n＞2的整数时，nn+1＞（n+1）n；

（3）＞．

故答案为：

＞．

4．已知x=3﹣q，y﹣1=21﹣p，z=4p•27﹣q，用x，y表示z的代数式．

【解答】解：

由y﹣1=21﹣p，

得

，

所以2p=2y．

z=4p•27﹣q=（22）p•（33）﹣q=（2p）2•（3﹣q）3=（2y）2•x3=4x3y2．

5．已知：

xm﹣n•x2n+1=x8，y2m﹣1•yn+2=y13，求10m•10n的值．

【解答】解：

∵xm﹣n•x2n+1=xm﹣n+2n+1=xm+n+1=x8，

y2m﹣1•yn+2=y2m﹣1+n+2=y2m+n+1=y13，

∴

，

解得

，

∴10m•10n=105•102=107．

6．计算：

（

×

×…×

×

×1）99•（1×2×3×…×98×99×100）99．

【解答】解：

原式=（1×1×2×

×3×

×4×

…×99×

×100）99

=10099．

7．（2015春•鄄城县期中）先阅读后作答：

根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：

（2a+b）（a十b）=2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．

（1）根据图②写出一个等式：

（2）（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．

【解答】解：

①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；

②画出的图形如下：

（答案不唯一，只要画图正确即得分）

8．（2015春•房山区期末）如图，有三种卡片①②③若干张，①是边长为a的小正方形，②是长为b宽为a的长方形，③是边长为b的大正方形．

（1）小明用1张卡片①，6张卡片②，9张卡片③拼出了一个新的正方形，那么这个正方形的边长是　a+3b　；

（2）如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，需要卡片①　3　张，卡片②　7　张，卡片③　2　张．

【解答】解：

（1）根据题意得：

a2+6ab+9b2=（a+3b）2，

则拼出的新正方形的边长是a+3b；

（2）根据题意得：

（3a+b）（a+2b）=3a2+7ab+2b2，

需要卡片①3张，卡片②7张，卡片③2张．

故答案为：

（1）a+3b；

（2）3，7，2．

9．（2011春•宜昌校级期中）若多项式x2+ax+8和多项式x2﹣3x+b相乘的积中不含x2、x3项，求ab．

【解答】解：

∵（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）

=x4+（﹣3+a）x3+（b﹣3a+8）x2﹣（﹣ab+24）x+8b，

又∵不含x2、x3项，

∴3+a=0，b﹣3a+8=0，

解得a=3，b=1，

∴ab=3．

10．若a，b，k均为整数且满足等式（x+a）（x+b）=x2+kx+36，写出两个符合条件的k的值．

【解答】解：

∵（x+a）（x+b）=x2+kx+36，

∴x2+（a+b）x+ab=x2+kx+36，

∴

（1）∵ab=36，

∴当a=1，b=36时，

k=a+b=1+36=37．

（2）∵ab=36，

∴当a=2，b=18时，

k=a+b=2+18=20．

综上，可得

符合条件的k的值是37、20（答案不唯一）．

11．解不等式组

．

【解答】解：

不等式组可化为：

，

由①得：

x＜

；由②得：

x＜﹣1，

则不等式组的解集为x＜﹣1．

12．在长为（3a+2）、宽为（2b+3）的长方形铁片的四角，裁去边长为a的正方形铁片，做成一个无盖的长方体铁盒，求这个长方体铁盒的体积．

【解答】解：

根据题意得：

a（3a+2﹣a）（2b+3﹣a）=a（2a+2）（﹣a+2b+3）=a（﹣2a2+4ab+6a﹣2a+4b+6）=﹣2a3+4a2b+4a2+4ab+6a．

13．已知：

x2+mx+n乘以x+2得到积是x3+2x+12，求m，n的值．

【解答】解：

根据题意得：

（x2+mx+n）（x+2）=x3+（2+m）x2+（2m+n）x+2n=x3+2x+12，

则2+m=0，2n=12，

解得：

m=﹣2，n=6．

14．当m、n为何值时，

x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项

【解答】解：

x[x（x+m）+nx（x+1）+m]=

x（x2+mx+nx2+nx+m）=

（1+n）x3+

（m+n）x2+

mx，

根据结果中不含x2和x3的项，得到1+n=0，m+n=0，

解得：

m=1，n=﹣1．

15．阅读下列解答过程，并回答问题．

在（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）中，x3项的系数为﹣3，x2项的系数为﹣5，求a，b的值．

解：

（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）

=2x4﹣3x3+2ax3﹣3ax3+2bx2﹣3bx①

=2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b）x2﹣3bx②

根据对应项系数相等，有

③

解得

④

（1）上述解题过程是否正确

（2）若不正确，从第几步开始出错

（3）写出正确的解题过程．

【解答】解：

（1）上述解题过程不正确；

（2）从第①步开始出错；

（3）正确解法为：

（x2+ax+b）（2x2﹣3x﹣1）

=2x4﹣3x3﹣x2+2ax3﹣3ax2﹣ax+2bx2﹣3bx﹣b

=2x4﹣（3﹣2a）x3﹣（3a﹣2b+1）x2﹣（3b+a）x﹣b，

根据题意得：

﹣（3﹣2a）=﹣3，﹣（3a﹣2b+1）=﹣5，

解得：

a=0，b=﹣2．

16．（2016春•江都区校级期中）你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．

（1）分别化简下列各式：

（x﹣1）（x+1）=　x2﹣1　；

（x﹣1）（x2+x+1）=　x3﹣1　；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　x4﹣1　；

…

（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=　x100﹣1　．

（2）请你利用上面的结论计算：

299+298+…+2+1．

【解答】解：

（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；

…

（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）=x100﹣1；

（2）299+298+…+2+1=（2﹣1）×（299+298+…+2+1）=2100﹣1．

故答案为：

（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1

17．（2015春•锦州校级月考）观察下列一组等式：

（a+1）（a2﹣a+1）=a3+1

（a+2）（a2﹣2a+4）=a3+8

（a+3）（a2﹣3a+9）=a3+27

（1）从以上等式中，你有何发现（用含x，y的式子表示）

（2）利用你发现的规律，在下面括号中添上适当的式子．

①（x+4）（x2﹣4x+16）=　x3+64　；

②（2x+1）（　4x2+2x+1　）=8x3+1；

③（　x+

　）（x2﹣

x+

）=x3+

；

（3）猜测：

（　x﹣y　）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．

【解答】解：

（1）（x+y）（x2﹣xy+y2）=x3+y3

（2）①（x+4）（x2﹣4x+16）=x3+64；

②（2x+1）（4x2﹣2x+1）=8x3+1；

③（x+

）（x2﹣

x+

）=x3+

；

（3）（x﹣y）（x2+xy+y2）=x3﹣y3．

故答案为：

（2）①x3+64；②4x2+2x+1；③x+

；（3）x﹣y．

18．（2014春•金牛区期末）若（x2+px﹣

）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，

（1）求p、q的值；

（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．

【解答】解：

（1）（x2+px﹣

）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣

）x2+（qp+1）x+q，

∵积中不含x项与x3项，

∴P﹣3=0，qp+1=0

∴p=3，q=﹣

，

（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014

=[﹣2×32×（﹣

）]2+

+

×（﹣

）2

=36﹣

+

=35

．

19．（2016春•冠县期中）计算：

（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2

（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．

【解答】解：

（1）原式=（x﹣2y）（x+2y）﹣x+2y+4y2=x2﹣4y2﹣x+2y+4y2=x2﹣x+2y；

（2）原式=a2b（a2b4+8a3b3+3a2）=a4b5+8a5b4+3a4b．

20．（2015秋•江津区期中）将4个数abcd排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成

，定义

=ad﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若

=7x．求x的值．

【解答】解：

=7x，

根据题意得：

（x+2）（x+2）﹣（x﹣3）（x+1）=7x

即：

（x2﹣4）﹣（x2﹣2x﹣3）=7x，

2x﹣1=7x

解得：

．

21．若3an﹣6b﹣2+m和﹣2a3m+1b2n的积与a11b15是同类项，求m、n的值．

【解答】解：

∵3an﹣6b﹣2+m和﹣2a3m+1b2n的积与a11b15是同类项，

∴n﹣6+3m+1=11，﹣2+m+2n=15，

解得：

m=3，n=7．

22．已知（x5my2m﹣2n）3•（2xnyn）3=8x6y15，求（m+n）m﹣n的值．

【解答】解：

由积的乘方，得

x15my6m﹣6n•（8x3ny3n）=8x6y15，

由单项式的乘法，得

8x15m+3ny6m﹣3n=8x6y15，

．

解得

．

（m+n）m﹣n=（﹣2）4=16，

（m+n）m﹣n的值为16．

23．关于x的多项式乘多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1），若结果中不含有x的一次项，求代数式：

2a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）+1的值．

【解答】解：

（x2﹣3x﹣2）（ax+1）

=ax3+x2﹣3ax2﹣3x﹣2ax﹣2

=ax3+（1﹣3a）x2﹣（3+2a）x﹣2，

∵关于x的多项式乘多项式（x2﹣3x﹣2）（ax+1）的结果中不含有x的一次项，

∴3+2a=0，

解得，a=﹣，

∴2a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）+1

=（2a+1）[2a﹣（2a﹣1）]+1

=（2a+1）（2a﹣2a+1）+1

=2a+1+1

=2a+2

=2×（﹣）+2

=﹣3+2

=﹣1，

即2a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）+1的值是﹣1．

24．（2012•沈阳模拟）认真阅读材料，然后回答问题：

我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：

（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…

下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：

（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；

（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．

（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．

【解答】解：

（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：

0=

，

当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：

1=

，

当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：

3=

，

当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：

6=

，

…

∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：

；

（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：

2n；

（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：

1+1=2=21，

当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：

1+2+1=4=22，

当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：

1+3+3+1=8=23，

当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：

1+4+6+4+1=16=24，

…

∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：

S=2n．

25．（2009•佛山）阅读材料：

把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．

例如：

（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（

x﹣2）2+

x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．

请根据阅读材料解决下列问题：

（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；

（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；

（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．

【解答】解：

（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：

x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

x2﹣4x+2=（x+

）2﹣（2

+4）x，

x2﹣4x+2=（

x﹣

）2﹣x2；

（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，

a2+ab+b2=（a+

b）2+

b2；

（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，

=（a2﹣ab+

b2）+（

b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），

=（a2﹣ab+

b2）+

（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），

=（a﹣

b）2+

（b﹣2）2+（c﹣1）2=0，

从而有a﹣

b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，

即a=1，b=2，c=1，

∴a+b+c=4．

26．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．

（a+b）0=1

（a+b）1=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

…

上面的构成规律聪明的你一定看懂了！

（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是　15　；

（2）利用上述规律直接写出27=　128　；

杨辉三角还有另一个特征：

（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与　11　的积．

（4）由此你可以写出115=　161051　．

（5）由第　9　行可写出118=　1　．

【解答】解：

（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；

（2）利用上述规律直接写出27=128；

杨辉三角还有另一个特征：

（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．

（4）由此你可以写出115=161051．

（5）由第9行可写出118=1．

故答案为：

15，128，11，161051，9，1．

27．（2015春•雅安期末）

（1）将下列左图剪切拼成右图，比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：

　a2﹣b2　（用式子表达）．

（2）运用你所得到的乘法公式，计算：

（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）．

【解答】解：

（1）乘法公式：

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；

故答案为：

a2﹣b2．

（2）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）

=[（a﹣c）+b][（a﹣c）﹣b]

=（a﹣c）2﹣b2

=a2﹣2ac+c2﹣b2．

28．（2015秋•闵行区期中）如图

（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图

（2）是由图

（1）中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

　a2﹣b2　、　（a+b）（a﹣b）　．

（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式　a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）　．

（3）试利用这个公式计算：

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．

【解答】解：

（1）∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，

故图

（1）阴影部分的面积值为：

a2﹣b2，图

（2）阴影部分的面积值为：

（a+b）（a﹣b）．

故答案为：

a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；

（2）以上结果可以验证乘法公式：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故答案为：

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；

（3）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1

=264﹣1+1

=264．

29．（2011春•乐平市期中）观察下列各式：

（x﹣1）（x+1）=x2﹣1

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1

（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1

①你能否由此归纳出一般性规律：

（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=　xn﹣1　；

②根据①求出：

1+2+22+…+262+263的结果．

【解答】解：

①（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=xn﹣1；

②原式=（2﹣1）（263+262+…+22+2+1）=264﹣1．

30．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．

（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式　a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）　，这个公式的名称叫　平方差公式　．

（2）根据你在

（1）中得到的公式计算下列算式：

（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）（1﹣

）…（1﹣

）（1﹣

）．

【解答】解：

（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b）；比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

（2）原式=

…

=

…

=