中考解直角三角形常见类型doc.docx
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中考解直角三角形常见类型doc
中考解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余：
可表示如下：
∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长
为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B
弦c
a勾
A
C
b股
边
勾：
直角三角形较短的直角边
弦：
斜边
股：
直角三角形较长的直角
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a，b，c
有下面关系：
a2＋
b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形
是直角三角形
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直
角三角形。
3、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：
勾三、股四、弦
五）
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为c）；
（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
4.勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
sinA
A的对边a
斜边c
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
cosA
A的邻边b
斜边c
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
A的对边a
tanA
A的邻边b
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
A的邻边b
cotA
A的对边a
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
30°
45°
60°
sinα
1
2
3
2
2
2
cosα
3
2
1
2
2
2
tanα
3
1
3
3
cotα
3
1
3
3
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：
sinA=cos（90°—A），cosA=sin（90°—A）；
（2）平方关系：
sin2Acos2A1
（3）倒数关系：
tanA?
tan（90°—A）=1
（4）商（弦切）关系：
tanA=sinA
cosA
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做
解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：
a2b2c2（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
正弦sin，余弦cos，正切tan
（4）面积公式：
（hc为c边上的高）
考点五、解直角三角形应用
1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和
几何知识综合求解
2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：
（1）仰角：
视线在水平线上方的角；俯角：
视线在水平线下方的角。
视线
铅垂线
仰角
水平线
h
ih:
l
俯角
视线
α
l
（2）坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（坡比）。
用字母i
表示，即i
h。
坡度一般写成1:
m的形式，如i
1:
5等。
把坡面与水
l
平面的夹角记作
h
tan
。
（叫做坡角），那么i
l
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：
45°、135°、225°。
解直角三角形的基本类型及其解法公式（总结）
1、解直角三角形的类型与解法
已知、
解
已知条件解法步骤
法
三角
类型
两直角边（如a，b）
a
由tanA
＝b，求∠A；∠B＝90°－A，
Rt△ABC
＝a2
b2
两
斜边，一直角边（如c，
a
a）
由SinA
＝c，求∠A；∠B＝90°－A，
＝c2-a2
B
边
c
一
锐角，邻边
b
∠B＝90°－A，a＝b·SinA，c＝cosAcosA
边
一角边
（如∠A，b）
a
一
和
锐角，对边
a
a
A
b
∠B＝90°－A，b＝tanA，c＝sinA
C
角
一锐角
（如∠A，a）
斜边，锐角（如c，∠∠B＝90°－A，a＝c·SinA，b＝c·co
A）A
2、测量物体的高度的常见模型
1）利用水平距离测量物体高度
数学模型
ι
αx1x2β
a
ι
αβ
ax
所应测数据数量关系
用
工
具
tanα＝，tanβ＝
x1x2
tanα·tanβ
＝a·
tanα＝tanβ＝
axx
侧α、β、
倾
tanα·tanβ
水平距离
＝a·tanβ－tanα
器
a
皮
尺
根据
原理
直角
三角
形的
边角
关系
2）测量底部可以到达的物体的高度
数学模型
所
应测数
数量关系
根据
用
据
原理
工
具
h＝a1，h＝a1a3
a3a2a2
a1镜子
h
a3
a2
皮
目高a1
反射
尺
水平距
定律
镜
离a2
子
水平距
离a3
h
＝
a3
aa
同一时刻物高
a1
a2
h＝13
h
a2
a1
与影长成正比
a3
a2
皮
1
标杆高a
尺
标杆影
标
长a2
杆
物体影
长a3
αh
a1a2
h1侧倾器
高a1
水平距
皮
离a2
尺
倾斜角
侧
α
倾
器
αh
βh2
a1
仰角α
俯角β
水平距
离a1
tanα＝ha1,
a2
h＝a1＋a2tanα
tanα＝h1,tanβ＝h2
a1a1
h＝h1＋h2＝a1（tanα＋
tanβ）
矩形的性质和
直角三角形的边角关系
矩形的性质和
直角三角形的
边角关系
3）测量底部不可到达的物体的高度（
数学模型所应测数
用据
工
具
h1
αh
β
x
仰角α
俯角β
1）
数量关系
tanα＝h1，tanβ＝a
xx
tanα
h＝a＋h1＝a＋tanβa＝
tanα
a（1＋tanβ）
根据
理论
高度a
皮
a－h
a
αβ
tanα＝x
tanβ＝
x
a
尺
h
a－h
a
侧
∴x＝tanα＝tanβ∴h＝
x
俯角α
倾
atanα
俯角β
a－tanβ
器
高度
矩形的性质
和直角三角
形的边角关
系
测量底部不可到达的物体的高度
（2）
数字模型
所
应测距
数量关系
用
离
工
具
A
tanα＝
h1
tan
a1
x
h1
1
a1tan
tan
h
∴h＝
tan
tan
αβ
a2
a1x
h＝a2＋h1＝a2＋a1tan
tan
仰角α，
仰角β
水平距
离a1
侧倾器
高a2
根据
原理
β＝h1
x
tan
tan
h1皮
β
h
尺
a
x
α
侧
倾
仰角α
器
仰角β
高度a
a
h
αβ
x
仰角α
仰角β
高度a
hh－a
tanα＝x,tanβ＝x
tanα
h＝tanα－tanβ
hh－a
tanα＝x,tanβ＝x、h＝
tanα
tanα－tanβ
ha＋h
tanα＝x,tanβ＝x
tanα
h＝tabβ－tanα
矩形的
性质和
直角三
角形的
边角关
系
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