小学数学概念的学习.pptx

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小学数学概念的学习数学概念的学习一、什么是概念二、概念的内涵和外延三、概念间的关系四、概念的定义五、概念的划分六、数学概念及其特点七、数学概念学习的心理分析八、数学概念学习的基本理论九、数学概念的教学课堂模式十、小学数学中常见的概念一、什么是概念一、什么是概念概念概念是反映客观事物本质属性的思维形式。

概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。

抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。

概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。

如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细胞。

二、概念的内涵和外延二、概念的内涵和外延1.概念的内涵概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的方面）；概念的外延概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）。

例如，“平行四边形”的内涵包括：

是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分等等。

“平行四边形”的外延包括：

矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行四边形。

2.概念的内涵与外延之间的反变关系概念的内涵与外延之间的反变关系：

要对概念加深认识，还要注意逻辑学中称之为概念的内涵与外延的反变关系，即：

概念的内涵扩大时，其所得的新概念的外延缩小；当概念的内涵缩小时，其所得的新概念的外延扩大。

反之，也成立。

例如，在“矩形”概念的内涵中增加“一组邻边相等”的属性时，就得到外延缩小了的“正方形”的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性，就得到外延扩大了的“平行四边形”的概念。

利用概念的内涵与外延的反变关系，通过采取扩大概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质，这种方法在逻辑学中称之为“概念的限制”；通过缩小概念内涵的同时扩大概念外延的方法来认识同类概念的共同性质，这种方法在逻辑学上称之为“概念的概括”。

三、概念间的关系（指概念外延间的关系）同一关系如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关同一关系系，这两个概念叫做同一概念（图

（1）。

例如，“等边三角形”和“正三角形”，一个圆的“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。

具有同一关系的两个概念在推理时可以互相代替。

从属关系从属关系如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关系叫做从属关系从属关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概念A叫做种概念（图

（2）。

例如“有理数”和“实数”具有从属关系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是种概念。

属概念和种概念是相对的。

例如，“矩形”和“平行四边形”具有从属关系，这时，“矩形”是种概念；“正方形”和“矩形”也具有从属关系，而这时“矩形”是属概念。

交叉关系交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么这两个概念之间的关系叫做交叉关系交叉关系，这两个概念叫做交叉概念（图（3）。

例如，“有理数”和“正实数”是交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。

又如，“矩形”和“菱形”是交叉概念，它们外延的交集是“正方形”的外延。

全异关系全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么这两个概念之间的关系叫做全异关系全异关系（或不相容关系），这两个概念叫做全异概念（图（4）。

“直角三角形”和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。

在全异关系中，有两种常见的特殊情形：

（1）矛盾关系。

如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集等于某一属概念C的外延，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系，这两个概念叫做矛盾概念（图（5）。

例如，“有理数”和“无理数”相对于实数来说具有矛盾关系。

又如“等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。

（2）对立关系。

如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集为某一属概念C的真子集，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系，这两个概念叫做对立概念（图（6）例如，“锐角三角形”和“直角三角形”是一对对立概念。

四、概念的定义和原始概念把把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。

（概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。

（揭示概念内揭示概念内涵的逻辑方法涵的逻辑方法）原始概念：

原始概念：

一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念如：

点、线、面、空间、集合、元素、对应等。

定义的结构：

定义的结构：

被定义项（被定义的概念）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。

如：

平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。

下定义的方法：

下定义的方法：

邻近的属加种差的定义邻近的属：

邻近的属：

在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的，叫这个概念的邻近的属。

如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。

种差：

种差：

用于区别该概念和邻近的属概念的属性）例：

例：

一个角是直角一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做叫做矩形矩形（种差）（种差）（邻近的属）（被定义的项）（邻近的属）（被定义的项）两组对边分别平行两组对边分别平行的的四边形四边形叫做叫做平行四边形平行四边形（种差）（种差）（邻近的属）（邻近的属）（被定义项）（被定义项）注：

注：

一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。

一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。

发生定义用用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。

一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。

例如：

“圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线”。

这种定义一般说来语言叙述比较长，但直观、生动，有时可以用图形直观地表示出来。

关系定义用用对象之间的关系作为种差而作出的定义。

对象之间的关系作为种差而作出的定义。

例如：

“偶数就是能被2整除的整数”外延定义列举列举概念的全部对象来下定义。

概念的全部对象来下定义。

例如：

“有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称”递归定义当当被定义的对象与自然数性质有关时常采用。

被定义的对象与自然数性质有关时常采用。

公理定义法约定式定义）规定“”下定义的基本要求定义要下得正确,必须遵守以下规则

（1）定义应当相称所谓定义相称指下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大,也不能缩小,即通常说的不能过宽也不能过窄。

定义过宽：

下定义概念的外延大于被定义概念的外延。

例如:

A、无理数是无限小数；B、直径是弦。

此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。

例A中的下定义概念“无限小数”外延大于被定义概念“无理数”外延。

因无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。

例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。

定义过窄：

下定义概念的外延小于被定义概念的外延。

例如:

A、无理数是有理数的不尽方根；B、各角为直角的菱形是矩形。

此两例都犯了定义过窄的错误。

例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。

因为、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。

例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。

因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。

（2）定义不能恶性循环在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。

下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。

如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。

违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。

循环定义常有以下两种情况：

恶性循环：

在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。

例如用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。

这样定义概念不能揭示概念的内涵。

词语反复：

用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己,这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。

以下几例都犯了词语反复的错误。

1互质数就是互为质数的数。

2基础知识就是最基础的知识。

（3）定义一般不用否定形式定义应从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示,一般不用否定形式。

例如“不是有理数的数叫做无理数”。

这样定义无理数,既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。

但是,有些概念的特有属性就是它缺少某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。

例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。

（4）定义应当简明（5）定义一般不用比喻说法在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。

例如“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。

从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。

又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。

再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。

这个定义既不清楚确切,也不简明。

定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。

五、概念的划分和分类划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。

概念的划分：

把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法。

概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。

概念分类的要求：

（1）排中律：

不能同假，必有一真，即A和A必居其一，且仅居其一，A或A）

（2）同一律：

保持同一性，A是A（3）无矛盾律：

使用同一标准，逐级分类等划分规则

（1）划分后各子项应当互不相容：

子项之间必须有全异关系，违反这条规则叫做犯了子项相容的错误。

例如：

把平行四边形划分为菱形、正方形和邻边不等的平行四边形。

（2）各个子项必须穷尽母项：

子项的总和应当与母项全同，违反这条规则叫做犯了子项不穷尽错误。

例如：

把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形。

（3）每一次划分应当用同一个划分标准：

划分的标准可以不同，但每一次划分时不能用两种或两种以上的划分标准。

（4）不能越级划分：

应取最接近的种概念，否则就叫做犯了越级分类的错误。

如：

把实数分成整数和分数。

二分法首先把被划分的概念分为两个互相矛盾的概念，再继续按照此方法进行，最后得到的种概念就一定能够满足前面的三条规则。

七、数学概念数学数学数学数学概念的意义概念的意义概念的意义概念的意义反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。

数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径数学概念产生和发展的途径

（1）从现实模型直接得来；

（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；（5）根据有理论上存在的可能性而提出等数学概念是发展变化的：

原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。

如：

自然数集（加零）扩大的自然数集（加正分数）算术数集（加负整（分）数）有理数集（加无理数）实数集（加虚数）复数集概念和词语密切联系：

语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。

概念和语词之间概念和语词之间是对应关系，但不是等同关系是对应关系，但不是等同关系数学概念的重要性：

非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。

数量关系和数量关系和数量关系和数量关系和空间形式空间形式空间形式空间形式数学概念的基本特征概念发展的抽象性概念表征的多元性概念理解的层次性概念理解的层次性概念联结的系统性八、数学概念学习的心理分析概念学习的基本形式1.概念的形成概念形成就是让学生从大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。

因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。

可概括如