概率练习册第七章答案.docx

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概率练习册第七章答案

概率练习册第七章答案

7-2单正态总体的假设检验

1・已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布

N（4.55,0.1082）,现在测定了9炉铁水,其平均含碳量为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55（0.05）?

解提出检验假设

H0:

4.55,H1:

4.55

以H0成立为前提，确定检验H0的统计量及其分布

查标准正态分布表可得uu0.0251.96，而

2

说明小概率事件没有发生，因此接受H。

.即认为现在生产的铁水平

均含碳量为4.55.

2.机器包装食盐，每袋净重量x（单位：

g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g）,标准差不能超过10（g）o某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量为：

497507510475484

488524491515

以显著性水平-0.05检验这天包装机工作是否正常？

解.作假设//0：

0-2>102,耳：

/<102选取统计量z2=^s2=A5^z2（w-d

K10~

对给定的显著性水平a=0.05,

査*分布表得：

加』7-1）=加列⑻=2.733,于是拒绝域为龙$52.733由已知计算得52=22&44

而z2=殳二2=_A_52=18.2752>2.733

0*0&

因此接受弘，即可以认为这天包装机工作不正常。

3.根据长期的经验，某工厂生产的铜丝的折

断力X:

N（,2），已知264斤2，今从该厂所生产的一大批铜丝中随机地抽取10个样本，测得折断力（单位：

斤）为578,572,570,568,570,572，570,572,596,584。

现问：

这一批铜丝的平均折断力可否认为是570斤？

（0・05）

解.由于已知的情形下检验

H0:

572,H1:

572

故选取统计量UX572~N（0,1）

/Jn64/J10

查标准正态分布表可得uU0.0251.96，并计算得X575.2而

2

x572

64/10

拒绝H0，即不能认为这一批铜丝的平均折断力是570斤。

4.某工厂生产的某种电缆的抗断强度的标准差为240kg,这种电缆的制造方法改变以后,抽取8根电缆,测得样本抗断强度的标准差为300kg,假设电缆强度服从正态分布n（,2）,给定显著水平0.01,试问改变制造方法后电缆抗断

2402

强度的标准差是否有显著变化？

解检验假设H0:

22402,H1:

选取检验统计量

722

24?

S~（n1）;

对给定的显著性水平=0.05,

查2分布表得：

（n

1）

0.995⑺0.989

2（n1）0.005（7）20.278，

2

20.278

于是拒绝域为20.989或

由已知计算得s20.2282

10.94

n1q2

2S

o

却

73002

因此接受H。

.即能认为电缆抗断强度的标准差没有显著变化。

习题7-3双正态总体的假设检验

1•在漂白工艺中，温度会对针织品的断裂强力有影响。

假定断裂强力服从正态分布，在两种不同温度下，分别进行了8次试验，测得断裂强力的数据如下（单位：

kg）：

70°C:

20.518.819.820.9

21.519.521.021.2

80°C:

17.720.320.018.8

19.020.120.219.1

判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异？

（取显著性水平0.05）

解.冋题为方差未知对两总体均值差进行双边检验因此选用t检验法.

0・12,

作假设H0:

12,H1:

12

选取检验统计量

其中

sW

tX1X2

Sw.1/n11/“2

（n11）S12（n21）S；

拒绝域为

|t|

X1

X2

t/2（“

SwV1/“1

1/n2

算

194（

“1g2

6.2,（“21）s；

t

2.16

2.1448

1

计_

X120.4,X2

代入计算，得

5.8n18,n28

m“22

n22）t0.025（14）2・1448

故拒绝H。

，即可以认定这两种温度下的断裂强力有明显差异。

2•在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成一种致癌物质亚硝基二甲胺（NDM）到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面是新、老两种过程中形成的NDMA含量的抽样（以10亿份中的份数记）：

e|645565564674e21221032101F

NDMA含量服从正态

x、y记老、新过程

0.05，检验H。

:

设新、老两种过程中形成的分布，且方差相等。

分别以的总体均值，取显著性水平

xy2；Hi:

2

解：

H0:

Xy；Hi:

xy2

选取检验统计量

SwA/1/ni1/n2

n22）.

其中

拒绝域为

将

代入计算，得

故拒绝H0.

n1

n2

2

tt/2（n1n22）

t0.005（22）

1.7171

x5.25,y1.5,s；

0.931,s；

1片n2

12，

2

s2（ni1）Si（匕1）S2

Sw-

t4.43931.7171

3.设从两个不同的地区各取得某种植物的样品

12个，测得该种植物中铁元素含量（g/g）的数据如

下：

地区A:

11.518.67.618.211.416.519.210.1

11.29.014.015.3

地区B:

16.215.212.39.710.219.517.012.0

18.09.019.010.0

假定已经知道这种植物中铁元素含量分布为正态，且分布的方差是不受地区影响的，检验这两

个地区该种植物中铁元素含量的分布是否相同。

（0.05）

解：

作假设H。

：

12,H1:

12

选取检验统计量_

X1X2

T,-~tgr）22）.

Sw^1/n11丘

拒绝域为

|t|—t/2（nin22）t°.025（22）2.0739

SwJ1/ni1/n2

将xi13.6,】214,s214.65,s；15.17nin?

12

代入计算，得

t0.17242.0739

故接受Ho，即可以认定两个地区该种植物中铁元素含量的分布相同。

4.在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行的.每炼一炉钢时除操作方法外,

其它条件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法炼一炉,以后交替进行,各炼10炉,其得率分别为

（1）标准方法:

78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,

75.5,76.7,77.3;

（2）新方法:

79.1,81.0,

77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,

82.1;设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体，问建议的新操作方法能否提高得率’

（取0.05）

解检验假设H0：

12,H1：

12.

选检验统计量

FS'/Sf~F（n11,n21）,

拒绝域为

FF1/2（n11,n21）F°.975（9,9）—0.2481

4.03

或FF/2（n11,n21）F0.025（9,9）4.03

将S23.325,s22.225.

代入计算得

2.225

Fs2/s；33251.494.03

故接受H0:

jI

作假设Ho：

12,Hi:

12

选取检验统计量

T

X1X2

t（n1ni2）.

SwJ1/51/ni

其中

sW

（n11）S12

（ni1）Sf

n22

拒绝域为

|t

t（mn2

2）to.o5（18）

1.7341

将

X1

76.23,Xi

79.43,s；3.325,sf2.225n1n210

代入计算，得

t

4.29531.7341

故拒绝H0，即可以认定建议的新操作方法能提高得率。

概率论与数理统计模拟题

（一）

一、填空题（本大题共6小题、7个空，每空3分，共21分）

1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至

少命中一次的概率为15,则该射手的命中率为

2.设X服从泊松分布，且P{X=0}=P{X=1}，则

P{X=2}=

3.设连续型随机变量X的密度函数为

4.设随机变量

X~N（10,0.022），（2.5）0.9938,则X落在区间（9.95,10.05）上的概率

为.（其中（x）为标准正态分布函数）5.设X是一随机变量，且E（X）=5，D（X）

=9,问对Y=aX+b（a,b为常数），当a=

b=时，E（Y）=0，D（Y）=1.

6.已知D（X）=9,D（Y）=4,D（XY）16,则

XY

答案：

1.

3.3

■

1

2

o11

2・一e

2

4.0.9876

5

1

.3，

1（写对一种

情形即可）

6.

1

4

二、单选题

（本大题共

6小题，每小题3分，共

18分）

1.下列各项中表示A，B，C三事件中至少有一个发

生的是（

）

（A）ABC

（B）

ABACBC

（C）ABC

（D）

ABC

2.离散型随机变量X

服从参数p

1的01分布，

Fx是其分布函数，则

F1=（）

（A）

0

（B）i

（C）i

（D）1

3.X~B（ng），

若EX=2，

则DX=（

）

（D）8

4.若随机变量X、Y相互独立，方差分别为8

和6,则D（X-2Y）=（）

（A）0（B）32（C）-24

（D）48

5.设总体X~N（,2），其中,2是未知参数，Xi,X2,,Xn为取自于总体X的样本，则如下为统计量的是

（）

anan—

（A）十Xi（B）n（Xi）2（C）—

niini1

（D）-

6•设总体X~N（,2），其中,2是未知参数，X1,X2,,Xn

为取自于总体X的样本，则

-服从分布

（）

（A）N,1（B）N0,1

（C）N0,2

（D）N,2

答案：

1.D2.D3.C

4.B

5.A

6.B

二、计算题（本大题共2小题,

每小题12分，

共24分）

1•二维离散型随机变量（X，丫）的联合分布列

（3）求PY1|X2（4）判定X与Y

是否不相关，给出理由

（5）判定X与丫是否独立，给出理由。

解

（1）

X

2

0

1

P

0.6

0.2

0.2

0.7

0.3

（2）

DY=0.21

EX=1.4

EY=0.3

DX=0.64

2二空2^__L1

PX23

（4）cov（X,Y）

E（XY）EXEY0.54.23.7

故X与丫相关

（5）由PX0

0.2

PY00.7PX0,Y00知

PX

0，Y0PX0PY0

故X与Y不独立,.

2•设二维随机变量

（X,Y）的联合密度函数为:

cxy

f（x,y）0y

（0x1,0y1）,

（其他）.

试求

（1）系数c；

函数；（3）

X和Y各自的边缘密度

XY

解：

（1）1

f（x,y）dxdy

0c

0cxydxdy—

所以c4

⑵fx（x）f（x,y）dy

1

4xydy

0

2x（0x1）,

（其他）,

1

fY（y）f（x,y）dx04xydx2y（0y1），

0（其他）,

⑶由X与Y的边缘密度易知X与Y相互独立,故XY=0

四、解答题（10分）

设总体X~e（），其中是未知参数，Xi,X2,,Xn为取自于总体X的样本，

（1）请给出的矩估计或极大似然估计

（2）若样本X1,X2,,Xn的取值为：

6.1,6.3,

5.8,5.6,5.9,6.1,6.2,6.0,

请求出问题

（1）中给出的估计的估计值

解:

（1）

E（X）

x月1

xedx=—

0

令

X

E（X），即X

从而

的矩估计为

n

n

1

X

Xi

i1

（2）似然函数为

n

n

L（

）

i1

Xie

nexp（Xi），

i1

In（L（））

nln（）

n

Xi.

似然方程为

i1

n

xi

i1

dln（）

d

得参数的极大似然估计值为

Xi

i1

（3）将数据代入以上结果得

Xi

i1

五、应用题（本大题共2小题，每小题9分，共

18分）

1.设有两箱同类零件，第一箱内装有40件，其中15件是一等品；第二箱内装有30件，其中10件是一等品，现将两箱零件混放在一起，从中任意挑出一件，试求：

（1）取出的零件是一等品的概率

（2）

如果取出的零件是一等品，问他属于第一箱的概率。

2.设一批零件中各零件的重量都是随机变量，他们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望

的概率是多少？

（20.9772）

解：

P{Xi2510}12510250011

（2）10.97720.0228

i10.1J2500

六、证明题（9分）

X1X2~P

概率论与数理统计模拟题

（二）

一.选择题（每题3分，共21分）

1.设事件A与B互不相容，且P（A）O,P（B）0,则有

（）

A.P（AB）P（A）P（B）B.P（AB）P（A）P（B）

4.已知随机变量X的分布函数为（）

B.1

D.丄

6

5•设随机变量X:

2

（2）,Y:

2（3），且X,Y相互独立，则券所服从的分布为（）

A.F（2,2）B.F（2,3）

C.F（3,2）D.F（3,3）

6.设离散型随机变量x和y的联合概率分布为

（X,Y）（1,1）（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）

若X,Y

（A）

（C）

p1111

69183

独立，则，的值为

-5丄（A）12

18,18■'丿9’9

11（D）3丄.

66'丿99

7■■设Xi0，事事件件不发生（i1,2L,100）,且P（A）=0.8,Xi,X2,l,Xio0

1,事件A发生'/

相互独立,令丫盂〉则由中心极限定理知丫

似服从的分布是（）

A.N（0,1）B.N（0.8,0.0016）

答案：

1.A2.A3.C4.D5.B

6.D7.B

二.填空题（每小题2分,共12分）

1.设事件a,b仅发生一个的概率为0.3,且

P（A）P（B）0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为

2.设Xi,X2,L,Xi7是总体N（,4）的样本，S2是样本方差，

若P（S2a）0.01，贝ya

（注:

爲（17）33.4,爲5（17）35.7,爲（16）32.0,

爲05（16）34.2）

3.设随机变量X的概率密度为f（x）2：

0其它1,现

0,其匕,

对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不

大于0.5的次数，贝Vey.

4.设X1,X2,L,Xn为正态总体N（,4）的一个样本，x表示样本均值，则的

置信度为1的置信区间为.

5.设X1,X2...Xn为正态总体N（u,2）的一个样本,iW），则

〜分布.

s

7.在0,T内通过某交通路口的汽车数X服从泊松

分布，且已知P（X=4）=3P（X=3）,则在0,t内至少有一辆汽车通过的概率为

答案：

1.0.42.83.1

-2_2

[x—U,XU]

Jn空Qn~2

三.判断题（本题共10分，每小题2分。

正确打“/，错误打“X”）

⑴设A、B是Q中的随机事件,必有

P（A-B）=P（A）-P（B）（）

⑵若X服从参数为入的泊松分布，则EX=DX

（）

（3）样本方差S2「（人X）2是母体方差DX的无偏

ni1

四.（10分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为

0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，

求

（1）一个产品经检查后被认为是合格

品的概率；

（2）—个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：

设A‘任取一产品，经检验认为是合格品'

B

‘任取一产品确是合格品’

则

（1）

P（A）P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）

0.90.950.10.020.857.

（2）

P（B|A）P（AB）0.90.950.9977

P（A）0.857'

（3）

求

（1）常数a；

（2）X的分布函数F（x）；

P（1X3）.

解：

（1）1f（x）dxo（ax1）dx（号x2x）22a2

・1

…a

2

（2）x的分布函数为

0,x0,

0x2x2.

2

Xcc

x,0x2,

4

1,x2.

六.（14分）设（X,Y）在由直线x1,xe2,y0及曲线y-

x

所围成的区域

上服从均匀分布，求边缘密度fx（x）和fY（y）,并说明X与Y是否独立.

解：

区域D的面积SD：

1e2

-dxInXrx

2

（X,Y）的概率密度为

f（x,y）

1

2

（x,y）D,

0,

其它.

fx（X）

…、.x-dy,1x

21e,

1xe2,

f（x,y）dy02y

'2x

0,其它.

0

J

其它.

7.（12分）已知分子运动的速度x具有概率密

度

4x2（x）2cc

f（x）P,x0,0,X1,X2,L,Xn为X的简单

0,x0.

随

机样本

（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；

（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。

・解：

（1）先求矩估计

4x3

x2

（一）2

dx

1EX

2x2（-）2

4（与

2

厂°

厂-

卩X

2

0

i—xedx

厂0

T

再求极大似然估计

n1n

InL

3nInln（24n）In（%Lxn）2—2x2

i1

令乎殂gnx2@0得的极大似然估计di1

（2）对矩估计

E“—EX飞2=，所以矩估计亍x是

的无偏估计.

8.证明题（9分）

设总体X:

N（u,2）,Xi,X2...Xn是是来自总体的简单随机样本证明:

212

（Xiu）:

i1

证明：

Xi,X2...Xn是是来自总体的简单随机样本，所

以Xi,X2...Xn独立且与总体X:

N（u,）同分布。

2Xu

Xi:

N（u,2）（1in）——:

N（0,1）（1in）

X1,X2...X

，所以心,J...J独立。

2

Xju