几何的五大模型.pptx

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几何问题-五大模型风子编辑概念概念1、等积变换模型1）等底等高的两个三角形面积相等2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图1S1：

S2=a：

b3）夹在一组平行线之间的等积变形，如图2SACD=SBCD反之，如果SACD=SBCD，则有直线AB/CDS1S2abABCD图1图2概念概念2、鸟头定理（共角定理）模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形2）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比ABCDEABCDE如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，或D是BA延长线上，E在AC上，则有SABC：

SADE=（ABAC）：

（ADAE）思考：

怎样用等积变换模型来证明这个模型ABCDE概念概念3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）1）不规则四边形S1S2S4S3OABCDabS1：

S2=S4：

S3AO：

OC=（S1+S2）：

（S3+S4）1）梯形S1S2S4S3OABCDabS1：

S3=a2：

b2S1：

S3：

S2：

S4=S3=a2：

b2：

ab：

abS梯形的对应份数为（a+b）2概念概念4、相似模型ABCDE金字塔模型沙漏模型FGEFDABGC1）相似三角形线段关系AD:

AB=AE:

AC=DE:

BC=AF:

AG2）相似三角形面积关系SADE：

SABC=AF2：

AG2概念：

概念：

ABCGDEFSABG：

SACG=SBGE：

SCGE=BE:

CESBGA：

SBGC=SGAF：

SGCF=AF:

CFSAGC：

SBGC=SAGD：

SBGD=AD:

BD5、燕尾定理模型燕尾定理模型1）翅膀之比等于尾巴之比2）翅膀面积之和：

尾巴面积=翅骨：

尾骨（SABG+SACG）：

SBGC=AG:

GE3）例题：

等积变换例题：

等积变换例题1：

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。

问：

长方形的面积是多少平方厘米？

红黄绿红分析：

S黄+S绿=S长方形2（=宽长2）黄色三角形面积21cm2，占长方形面积比例50%-15%=35%因此，长方形面积=2135%=60cm2例题：

等积变换例题：

等积变换例题2：

图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

ABCDEFP分析：

1、连接AE、BD，作两条平行线2、PD/BC，根据等积变换模型SPBD=SPCDAB/ED,根据等积变换模型SAEP=SPDB3、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形ADE相等，即：

S阴影=SADEF2=3.18思考：

几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。

例题：

一半模型例题：

一半模型例题3：

如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。

ABCDEF分析：

阴影部分是一个个三角形，矩形CDEF中阴影部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF2思考：

一半模型是什么意思？

例题：

燕尾定理模型例题：

燕尾定理模型例题4：

如图E在AD上，ADBC，AD=12cm，DE=3cm，求SABC是SEBC的几倍？

EABCD分析：

翅膀尾巴根据燕尾定理模型，S翅膀：

S尾巴=AE:

EDSABC=S翅膀+S尾巴SEBC=S尾巴SEBCSEBC=123=4例题5：

如图，A、B、C都是正方形边的中点，COD比AOB大15平方厘米的面积，AOB的面积是多少平方厘米。

AEBDCOABD的高是CBD的一半，而底边相同SCOD-SAOB=SCBD-SABD=SABD=15cm2SAOB=SABD2=7.5cm2分析：

例题：

等积变换模型例题：

等积变换模型例题4：

图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？

ABCDEFGH分析：

从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型651234正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为三等分点，想想？

可采用什么模型怎么变换呢？

先画几条符合该模型的辅助线想想？

HBE与HAB、HBF与HBC、HDG与HCD之间的比例关系都存在1:

3的关系所以：

S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12123=48例题：

鸟头（共角）模型例题：

鸟头（共角）模型例题4：

如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积ABCDEF分析：

1、想想？

ACB与FCE、CAB与FAD、ABC与DBC是什么关系2、互补。

在共角模型中，共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比3、SABC：

SFCE=BCCA：

CEAFSFCE=8SABC=8同理可知：

SFAD=6，SDBE=3所以：

SFDE=18思考？

共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试关键点：

添加辅助线例题：

梯形蝴蝶定理模型例题：

梯形蝴蝶定理模型例题4：

如图，面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积。

ADBCOEFS1S2S4S31、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型分析：

2、S2=S4，S1：

S3=a2：

b2S1：

S3：

S2：

S4=S3=a2：

b2：

ab：

abab3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们可以假设最小的三角形面积为1份。

想想？

其它各部分所占的份数4、a：

b=3:

1，S2=S4=3份，S1=9份5、想想？

正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系6、SADE=S2+S3，SBCF=S4+S3想想？

为什么，用了什么模型7、正方形ABCD被分成了24份S阴影=S2+S4=62412=3cm2例题：

相似模型例题：

相似模型例题4：

如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AGABCDEOGHF分析：

1、根据题目意思，是要找到线段间的关系，而图形中存在著多的相似三角形2、我们先来看看图中与AG、AH、HF相关的相似图形3、共找到三对相关的相似图形AB:

FD=AH:

HF=5：

3OE:

FD=1：

2AB：

OE=10：

3AO=AF/2=4cmAG=41013=40/13（cm）例题：

例题：

例题4：

正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形个边的中点，那么图中阴影六边形的面积是多少平方厘米。

A1A2A3A4A5A6B1B2B3B6B5B6O分析：

1、阴影部分的面积等于正六边形A1A2A3A4A5A6面积减去空白部分面积2、找规律，空白部分由6个A2OA3组成