现代电路理论第六章.ppt

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第六章动态非线性电路的定性、定量方法,第一节引言,一、非线性动态电路,至少包含一个非线性元件的动态电路，采用非线性微分方程描述,定性分析定量分析,第二节一阶非线性电路,一、一阶非线性电路,用一阶非线性微分方程描述的电路,状态变量可以是电容电压（电荷）或电感电流（磁通量）。

在给定初始条件时，可用数值方法或近似方法来求解。

若一端口N的驱动点特性可以用分段线性化表示，则DP图中的每段折线都可以用等效电压源（电流源）和线性电阻（电导）的串联（并联）组合表示。

对每一段折线可以形成一个等效的线性一阶电路。

二、用分段线性化分析方法求解一阶电路的过程,动态点：

方程的解动态路径：

三、分段线性电容（电感）,第三节相空间、轨点、平衡点,一、非自治系统和自治系统,二、相空间、轨点、相图，相点（x，y）,二阶自治电路,其解为,轨道方程的参数形式,例如对单变量二阶微分方程,三、极平面，平衡点,平衡点：

其直流或静态工作点相联系,奇点：

四、渐近稳定的平衡点，非渐近稳定的平衡点,例6-1,K=1时（0，0）的平衡点。

K=-1时（0，0）三个平衡点。

第四节非线性电路方程的线性化及平衡点类型,一、非线性方程的线性化,将给定的非线性方程在其平衡点或奇点邻近予以线性化，用所得线性方程确定非线性方程的轨道的性状。

设X（x,y）和Y（x,y）在（0，0）的某个邻域内连续可微，得：

其线性化方程为,矩阵形式为,设的解线性独立解为,双曲平衡点：

矩阵A不存在零实部的特征值；非双曲平衡点：

矩阵A的特征值至少存在一个实部为零。

则,初始状态为,A的特征值为，对解得特征向量为,当时，的通解为：

二、系数矩阵A线性非奇异变数为标准型取,M为实系数2*2非奇异矩阵,又,

（1）对角型：

经变换的可能有三种,

（2）若当型：

（3）共轭型：

均为实数，不一定相等,为重复的实根,特征值为,A的特征值,三、平衡点的类型,平衡点的类型,为实数,稳定的结点,为共轭复数,为虚数,不稳定的结点,鞍点,不稳定的焦点,稳定的焦点,中心,第五节李雅普诺夫直接法,非线性电路的平稳的是非双曲平衡点，对应线性化后的矩阵A的特征值至少有一个是零实部。

用李雅普诺夫直接法进行判断所确定的稳定性称为李雅普诺夫意义下的稳定性。

则平衡点是稳定的，如果是正定函数，则平衡点是渐近稳定的。

李雅普诺夫直接法判定平衡点稳定性的定理：

如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W（x）沿着状态方程的解轨道的时间导数是非正的，即：

平衡点不稳定的定理。

第六节周期解与极限环,当系数矩阵的特征值为纯虚数时，电路中可能建立并维持特定周期的周期振荡，称为极限环。

如：

第七节摄动法,一、二阶或二阶以上非线性动态电路的稳态解有四种可能形式。

1.平衡点2.周期解3.拟周期解4.混沌,二、弱非线性电路和强非线性电路,三、用近似解析方法求解自治电路中周期解,二阶电路,五、奇异摄动法（多时间尺度法）,电路方程的解表示的x,要使上式无长期项，则,第八节平均法,求解弱非线性微分电路的方程,第九节谐波平衡法,用于求解周期激励下非线性电路总的稳态周期解。

例.铁磁谐振电路方程,其解是一个与激励同周期的非正弦周期响应，傅里叶级数形式为：

二阶弱非线性非自治电路方程：