余弦函数的定义域和值域高中数学知识点讲解含答案.docx
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余弦函数的定义域和值域高中数学知识点讲解含答案
余弦函数的定义域和值域（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共2小题）
11
1．（2009•丰台区二模）函数f（x）（sinxcosx）|sinxcosx|的值域是（ ）
22
2
A．，B．[,1]C．D．[1,]
2222
[11]
2[1,1]
2．（2008•怀柔区模拟）已知函数f（x）3cosx1，则f（x）的取值范围是（ ）
A．[1，2]B．[1，2]C．[2，4]D．[2，4]
二．填空题（共5小题）
3．（2013秋•宣武区校级月考）y23cos（x）的最大值为 ，此时x ．
4
1
4．（2011秋•通州区校级期末）已知函数f（x）cosx，则f（x）的定义域为 ．
2
5．（2010•朝阳区二模）函数的值域是 ．
y2cos2x
7
6．（2009春•海淀区期中）数列{}的通项公式acos，nN*，当n 时，有最小值．
aa
nnn
2n
7．（2006春•北京校级期末）函数ycos2x4cosx，[，]的值域是 ．
x
32
三．解答题（共1小题）
6cosx5cosx1
42
8．（2003•北京）已知函数f（x），求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．
cos2x
第1页（共5页）
余弦函数的定义域和值域（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
11
1．（2009•丰台区二模）函数f（x）（sinxcosx）|sinxcosx|的值域是（ ）
22
A．，B．[,1]C．D．[1,]
[11]
2[1,1]2
2222
【分析】根据绝对值内式子的符号分sinx…cosx和cosxsinx两种情况，化简解析式并用分段函数表示，在根据函
数图象求出每一部分的值域，最后在和在一起．
11
sinxsinx…cosx
【解答】解：
f（x）（sinxcosx）|sinxcosx|，
22
cosxcosxsinx
在坐标系中画出一个周期内ysinx和ycosx的图象：
2
由图得，当时，，；
sinx…cosxsinx[1]
2
2
当cosxsinx时，cosx（，1]，
2
2
[,1]
原函数的值域是．
2
故选：
B．
【点评】本题考查了由正弦（余弦）函数的图象求其它函数的值域，此题需要化简函数解析式，根据分段函数求值
域的方法，即求出每个范围内的值域，最后再并在一起．
2．（2008•怀柔区模拟）已知函数f（x）3cosx1，则f（x）的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
[12][12][24][24]
【分析】令，则，根据单调性判断最大最小值，进而确定的取值范围．
cosxt（t[1,1]）f（x）3t1f（x）
【解答】解：
令，
cosxt（t[1,1]）
则，
f（x）3t1
当t1时，fmax4；
第2页（共5页）
当1时，．
tfmin2
所以f（x）的取值范围为：
[2，4]
故选：
C．
【点评】本题考查了余弦函数的值域以及一次函数的单调性，属于基础题型．
二．填空题（共5小题）
3．（2013秋•宣武区校级月考）y23cos（x）的最大值为 5 ，此时x ．
4
【分析】根据余弦函数的最值，直接求出y23cos（x）的最大值，以及取得最值时的x的值．
4
【解答】解：
Qycos（x）的值域为[1，1]，所以y23cos（x）的最大值为5，此时cos（x）1，
444
x2k，kZ，
4
3
x2k，（kZ）．
4
3
故答案为：
5；2k，（kZ）
4
【点评】本题考查三角函数的最值，利用三角函数的有界性，即基本函数的最值，是求三角函数最值的常用方法．
1
4．（2011秋•通州区校级期末）已知函数f（x）cosx，则f（x）的定义域为 {x|2k„x„2k,kZ} ．
233
【分析】由函数（）cos，知x…，解得2k„x„2k,kZ，由此能求出f（x）的定义
fxx1cos10
2233
域．
1
【解答】解：
Q函数f（x）cosx，
2
cos0x…
x1…cos1
，即，x1…cos1
22
解得2k„x„2k,kZ，
33
f（x）的定义域为：
{x|2k„x„2k,kZ}，
33
故答案：
{x|2k„x„2k,kZ}．
33
【点评】本题考查余弦函数的定义域和值域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦函数的性质的灵
活运用．
5．（2010•朝阳区二模）函数2cos的值域是 ， ．
y2x[02]
【分析】由余弦函数的性质可知1„cosx„1，从而有0„cos2x„1，从而可求函数的值域
【解答】解：
Q1„cosx„1
„2„„„
0cosx10y2
第3页（共5页）
故答案为：
[0，2]
【点评】本题主要考查了函数的值域的求解，解题的关键是熟练应用余弦函数的性质，属于基础试题
7
6．（2009春•海淀区期中）数列的通项公式acos，nN*，当n 4 时，a有最小值．
{a}
nnn
2n
7
【分析】由数列的通项公式a，nN*，分别令n1，2，3，4，5，6，7，结合三角函数的性质求出
{a}cos
nn
2n
an…8nN*7
7
aaaacos0n4
，a，a，a，，，，再由当，时，是锐角，，能够求出当时，
1234567n
2n2n
a
n
有最小值．
7
【解答】解：
Q数列{}的通项公式acos，nN*，
a
nn
2n
a
1
7
coscos（4）cos（）cos0
2222
，
a
2
72
coscos
（2）cos（）cos
44442
，
a
3
73
coscos（）cos
6662
，
a
4
1cos
7422
coscos（）cos
88822
．
733
acoscos（）coscosa
54
1010108
．
7553
acoscos（）coscosa
65
12121210
，
a
7cos0
2
．
n…nN*7
7
当8，时，是锐角，acos0，
n
2n2n
n4
当时，a有最小值．
n
故答案为：
4．
【点评】本题以数列为载体，考查余弦函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
7．（2006春•北京校级期末）函数ycos2x4cosx，x[，]的值域是 [3，1] ．
32
【分析】根据二倍角的余弦函数公式化简函数解析式，得到关于cosx的二次函数，根据二次函数开口向上且在对称
轴的左边函数为减函数，利用cosx在x[，]的值域即可求出y的最大值和最小值得到函数的值域．
32
ycos2x4cosx2cos2x4cosx12（cosx1）23[]cosx[01]
32
【解答】解：
，由于，x，，故，，
而当时，为减函数，所以当时，的最小值为；
cosx1ycosx1y2（11）233
当时，的最大值为．
cosx0y2（01）231
第4页（共5页）
所以函数的值域是，．
y[31]
故答案为：
，．
[31]
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值
域．做题时注意余弦函数的值域．
三．解答题（共1小题）
6cosx5cosx1
42
8．（2003•北京）已知函数f（x），求f（x）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．
cos2x
【分析】由分母和余弦函数的性质求出函数的定义域，再求出的式子，由奇（偶函数的定义判断
cos2x0f（x））
函数的奇偶性，由二倍角公式对解析式化简后，由函数的定义域以及余弦函数的值域求出函数的值域．
k
cos2x02x
242
【解答】解：
由得，xk，解得，（kz），
k
函数的定义域为xx，kz}；
42
f（x）{|
Qf（x）
的定义域关于原点对称，
6cos（x）5cos（x）16cosx5cosx1
4242
且f（x）f（x），
cos（2x）cos2x
f（x）
是偶函数．
k
又Q当x，kz时，
42
f（x）
6cosx5cosx1
42
cos2x
（2cosx1）（3cosx1）
22
2
3cosx1
，cos2x
{y|1„y112}
f（x）的值域为或y„．
22
【点评】本小题主要考查余弦函数的性质和倍角公式的应用，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．
第5页（共5页）
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