天津市数学中考试题及标准答案.docx

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天津市数学中考试题及标准答案

年天津市数学中考试题及答案

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2001年天津市数学中考试卷

一、填空题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）

1．计算3xy2·（—2xy）＝．

2．分解因式：

am＋bm＋a＋b＝．

3．不等式组

的解集是．

4．已知x＋y＝4，且x－y＝10，则2xy＝．

5．化简：

＝．

6．抛物线y＝x2－6x＋4的顶点坐标为．

7．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是cm2．

8．如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF等于度．

第8题图第9题图

9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长为．

10．若—个梯形内接于圆，有如下四个结论：

①它是等腰梯形；②它是直角梯形；③它的对角线互相垂直；④它的对角互补．请写出正确结论的序号（请你认为正确结论的序号都填上）

二、选择题（本大题10个小题．每小题3分，共30分）

11．函数

的自变量x的取值范围是（）．

A．全体实数B．x≠0C．x＞0D．x≥0

12．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）．

A．

＜1B．

＞1C．－a＞－bD．a－b＞0

13．甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的时速是（）．

A．12.5千米B．15千米C．17.5千米D．20千米

14．若点A（m，n）在第二象限，则点B（

，－n）在（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

15．对于数据组2，4，4，5，3，9，4，5，1，8，其众数、中位数与平均数分别为（）．

A．4，4，6B．4，6，4.5C．4，4，4.5D．5，6，4.5

16．在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

17．已知两圆的半径分别为t＋3和t－3（其中t>3），圆心距为2t，则两圆的位置关系是（）．

A．相交B．相离C．外切D．内切

18．已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶a∶R等于（）．

A．1：

2

：

2B．1：

：

2

C．1：

2：

D．1：

：

2

19．某商品原价为100元，现在有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100，则调价后该商品价格最高的方案是（）．

A．先涨价m％，再降价n％B．先涨价n％，再降价m％

C．先涨价

％，再降价

％D．先涨价

％，再降价

％

20．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：

①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③

；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）

图1

A．2个B．3个C．4个D．5个

三、解答题（本大题8个小题，共60分）

21．（本题6分）

解方程

22．（本题7分）

已知：

关于x的—次函数y＝mx＋3n和反比例函数y＝

的图象都经过点（1，－2）．

求：

（1）—次函数和反比例函数的解析式；

（2）两个函数图象的另一个交点的坐标．

23．（本题7分）

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝

，BC＝a，AB＝b，且a＞b．若a、b分别是二次函数y＝x2－（2k＋1）x＋k2－2的图象与x轴两个交点的横坐标，求a、b的值．

24．（本题8分）

已知：

如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到0.01米）．（参考数据：

＝1.41421…；

＝1.73205…）

25．（本题8分）

如图，P是⊙O外一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4

．求∠EFD的度数．

25．解：

连结DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴PD2＝PE·PF．又PD＝4

，PF＝12，∴PE＝

＝4．则EF=PF－PE＝8，EO＝4．∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD，在Rt△PDO中，OD＝4，PO＝PE＋EO＝8，∴∠DPO＝30°，∠DOP＝60°．又OD＝OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD＝

∠DOP＝30°．

（题25要求圆周角∠DFE，因它处于一个任意三角形中，故联想作辅助线连结OD，应用“同弧所对圆心角是圆周角的2倍”求解，此时∠DOP处于一个Rt△中，易于求解．）

26．（本题8分）

如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．

求证：

（1）BE∥DG；

（2）CB2—CF2＝BF·FE．

26．证明：

（1）∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵GC为⊙O的切线，∠ECG＝∠CBE，∴∠ECG＝∠CEB，∴BE∥DG．

（2）由

（1），∠CBE＝∠BEC，在⊙O中，∠BAC＝∠BEC，∴∠BAC＝∠CBE．又∠BCA＝∠BCF，∴△ABC∽△BFC．∴

，即BC2＝AC·FC．∵AC＝AF＋FC，∴BC2＝（AF＋FC）·FC＝AF·FC＋FC2，∴CB2－CF2＝AF·FC．在⊙O中，有AF·FC＝BF·FE，∴CB2－CF2＝BF·FE．

（题26

（2）的待证式较复杂，难于直接证出，势必要设法代换推证，BC是△ABC与△BFC的公共边，只要证出它们相似，则有BC2＝CF·CA，这个等式与CF2又有公因式，故原式左边为CF（CA—CF）＝CF·AF，再用相交弦定理结论就得证了．这是这类题的一般思路．）

27．（本题8分）

某企业有九个生产车间，现在每个车间原有的成品—样多，每个车间每天生产的成品也—样多，有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用两天将第—、第二两个车间的所有成品（指原有的和后来生产的）检验完毕后，再去检验第三、第四两个车间的所有成品，又用去了三天时间：

同时，用这五天时间，B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件．每个车间每天生产b件成品．

（1）试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；

（2）求B组检验员的人数．

28．（本题8分）

已知：

在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；

（2）设AP＝xcm，试用含x的代表式表示y（cm）2；

（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．

试卷答案

一、填空题（本大题10个小题．每小题3分，满分30分）

1．－6x2y32．（a＋b）（m＋1）3．x＜4

4．－42

（题4可应用公式（x＋y）2＝（x—y）2＋4xy求解，这比解方程组

，求出x，y有创意．）

5．2

6．（3，－5）

7．8

8．68

（题8中可证得∠BDE＝∠CFD＝22°（等角的余角相等），故∠EDF＝180°—90°—22°＝68°．）

9．

10．①④

二、选择题（本大题10个小题，每小题3分，满分30分）

11．B12．D13．B14．D15．C

16．B

（题16中，等边三角形是轴对称图形而不是中心对称图形，而平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．）

17．C

18．A

19．A

（题19不妨用特殊值法求解，如设m＝20，n＝10代入选择题中计算，再作比较．）

20．C

三、解答题（本大题8个小题，其中第21题6分，第22、23题每题7分．第24～28题每题8分．满分60分）

21．解法1去分母．得（x＋9）2＋16x2＝8x（x＋9），整理后，得x2－6x＋9＝0．解这个方程，得x1＝x2＝3．经检验，x＝3是原方程的根．∴原方程的根是x＝3．

解法2令

，则原方程可变形为

，整理后，得u2－8u＋16＝0，解这个方程u1＝u2＝4．∴

，x＋9＝4x，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的根．∴原方程的根是x＝3．

22．解：

（1）由题意，得

解得

故所求的一次函数的解析式为y＝4x－6，反比例函数的解析式为

．

（2）建立方程组

解得

故两个函数图象的另一个交点为（

，－4）．

23．解：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即a2＋b2＝53．又∵a、b是二次函数y＝x2－（2k＋1）x＋k2—2的图象与x轴两个交点的横坐标．即a、b是方程x2－（2k＋1）x＋k2－2＝0的两个实数根，∴△＝[－（2k＋1）]2―4（k2―2）＝4k＋9＞0，解得k＞－

．由根与系数的关系，有a＋b＝2k＋1，ab＝k2－2．又∵a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，∴（2k+1）2－2（k2—2）＝53，即k2＋2k－24＝0．解这个方程，得k＝4，k＝－6．∵k＞－

，∴k＝－6舍去．于是a、b为方程x2－9x－14＝0的两个根，解得x1＝7，x2＝2．又∵a＞b，∴a＝7，b＝2．

（题23考查直角三角形，一元二次方程，二次函数知识的综合应用，由直角三角形性质得到a2＋b2＝53是整个试题解决的纽带，因为由此可变形得到a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝53，这就与韦达定理联系上了．）

24．解：

由题意，在Rt△ABD中，BD＝80（米），∠BDA=60°，AB＝BD·tan60°＝80

≈138.56（米）．在Rt△AEC中，EC＝BD＝80（米），∠ACE＝45°，得AE＝CE＝80（米）．∴CD＝BE＝AB－AE＝80

—80≈58.56（米）．

答：

塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米．

25．解：

连结DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴PD2＝PE·PF．又PD＝4

，PF＝12，∴PE＝

＝4．则EF=PF－PE＝8，EO＝4．∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD，在Rt△PDO中，OD＝4，PO＝PE＋EO＝8，∴∠DPO＝30°，∠DOP＝60°．又OD＝OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD＝

∠DOP＝30°．

（题25要求圆周角∠DFE，因它处于一个任意三角形中，故联想作辅助线连结OD，应用“同弧所对圆心角是圆周角的2倍”求解，此时∠DOP处于一个Rt△中，易于求解．）

26．证明：

（1）∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB，∵GC为⊙O的切线，∠ECG＝∠CBE，∴∠ECG＝∠CEB，∴BE∥DG．

（2）由

（1），∠CBE＝∠BEC，在⊙O中，∠BAC＝∠BEC，∴∠BAC＝∠CBE．又∠BCA＝∠BCF，∴△ABC∽△BFC．∴

，即BC2＝AC·FC．∵AC＝AF＋FC，∴BC2＝（AF＋FC）·FC＝AF·FC＋FC2，∴CB2－CF2＝AF·FC．在⊙O中，有AF·FC＝BF·FE，∴CB2－CF2＝BF·FE．

（题26

（2）的待证式较复杂，难于直接证出，势必要设法代换推证，BC是△ABC与△BFC的公共边，只要证出它们相似，则有BC2＝CF·CA，这个等式与CF2又有公因式，故原式左边为CF（CA—CF）＝CF·AF，再用相交弦定理结论就得证了．这是这类题的一般思路．）

27．解：

（1）根据题意，由于每个车间原有a件成品，每天生产b件成品，则每个车间5天后的成品数为（a＋5b）件，故月组检验员检验的所有成品总数为5（a＋5b）＝5a＋25b（件）．

（2）对于A组8名检验员，在前两天内每天检验的成品数为

，后检验的两个车间五天后的成品数为2（a＋5b），8名检验员在后三天内每天检验的成品数为

，因为检验员的检验速度相同，所以有

，即a＝4b．所以，一名检验员每天检验的成品数为

（件）．对于B组检验员，由

（1）知，5个车间5天后的成品数为5（a＋5b），则B组检验员每天检验的成品数为

件，即（a＋5b）件．由题意，知a≠0，b≠0，所以，B组检验员的人数为

．

答：

B组检验员检验的成品总数为（5a＋25b）件，B组有12名检验员．

（题27考查代数式的应用，文字长，数量关系较为复杂，解题前先要认真读题，领会题意，理清数量关系；再逐步列出代数式，进行必要的化简，有较强的分析能力是解题的关键．）

28．答：

（1）∵PQ∥BC，∴

．∵BC＝4，AB＝8，AP＝3，∴PQ＝

．∵D为AB的中点，∴AD＝

AB＝4，PD＝AD－AP＝1．

∵PQMN为正方形，DN＝PN－PD＝PQ－PD＝

，∴y＝MN·DN＝

cm2．

（2）∵AP＝x，∴AN＝

x．

当o≤x＜

时，y＝0；

当

≤x＜4时，

；

当4≤x＜

时，y＝x；

当

≤x≤8时，y＝2（8－x）＝－2x＋16．

（3）将y＝2代入y＝—2x＋16（

≤x≤8）时，得x＝7，即P点距A点7cm；

将y＝2代入

时，得

，即P点距A点

cm．